5.1.2 数列中的递推（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n(n∈N＋) B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N＋) C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N＋) D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N＋) 解析　结合数列的前几项进行验证，观察数列的变化规律，a2＝a1＋2；a3＝a2＋3；a4＝a3＋4；…；由此归纳出an＝an－1＋n(n≥2，n∈N＋). 答案　B 2．已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N＋)，则数列中最大项的值是(　　) A．107　　　　　　　 B．108 C．108 D．109 解析　由题意可知 an＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108， 由于n∈N＋，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108. ∴数列{an}中的最大值为a6＝108. 答案　B 3．(2024·河南洛阳高二月考)若数列{an}满足a1＝2，an＋1an＝an－1，则a2 025＝(　　) A． B．2 C．3 D．－1 解析　∵数列{an}满足a1＝2，an＋1an＝an－1， ∴an＋1＝1－，∴a2＝1－＝， a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2， a5＝1－＝， ∴{an}是周期为3的周期数列， 而2 025＝3×674＋3， 故a2 025＝a3＝－1. 答案　D 4．已知数列{an}满足an＋1＝an，a1＝1，则a11＝(　　) A． B． C． D． 解析　a11＝a10＝×a9＝××a8 ＝…＝××××…××a1 ＝a1＝，故选B. 答案　B 5．若数列{an}满足a1＝－，an＝1－(n≥2)，且Sn为其前n项和，则S10＝________． 解析　由题可得a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，所以数列{an}的周期为3，则S10＝3×＋＝. 答案　 6．在数列{an}中，a1＝，＝，则a97＝________． 解析　因为a1＝，＝，故有·……··＝××…× × ，即得＝，所以a97＝a1＝3. 答案　3 7．(2024·辽宁大连高二期中)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝n，则{an}的前8项和为________． 解析　∵数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝n， ∴a2－a1＝1，a3＋a2＝2，a4－a3＝3，a5＋a4＝4，a6－a5＝5，a7＋a6＝6，a8－a7＝7， 可得a1＋a3＝1，a2＋a4＝5，a5＋a7＝1， a6＋a8＝13， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝20. 答案　20 8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－30n. (1)当Sn取最小值时，求n的值； (2)求出{an}的通项公式． 解析　(1)Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝2－， 因为n∈N＋，所以当n＝7或n＝8时，Sn取最小值． (2)当n＝1时，a1＝S1＝2－30＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32， 当n＝1时，a1＝－28满足上式， 所以an＝4n－32. [关键能力·综合提升] 9．(多选)在数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－(n＝1，2，3，…)，能使an＝b的n的数值可以是(　　) A．13　　　 B．14　　　 C．15　　　 D．16 解析　∵a1＝b，an＋1＝－， ∴a2＝－，a3＝－，a4＝b， ∴{an}为周期为3的数列， ∴a13＝a16＝b. 答案　AD 10．由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则b6的值是(　　) A．9 B．17 C．33 D．65 答案　C 11．若数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n-1an＝8n(n∈N＋)，则an＝________． 解析　因为a1＋2a2＋4a3＋…＋2n-1an＝8n， 所以当n＝1时，a1＝8； 当n≥2时，a1＋2a2＋4a3＋…＋2n-2an－1＝8n－8， 两式相减得2n-1an＝8＝23， 所以an＝24-n(n≥2). 当n＝1时，a1＝8满足an＝24-n，所以an＝24-n. 答案　24-n 12．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，a8＝2，则a1＝________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2 023＝________． 解析　∵数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)， ∴an＋2＝＝＝. ∴an＋3＝＝＝an. ∴数列{an}是周期为3的数列． ∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝， 同理可得a6＝－1，则a1＝a7＝，a2＝a8＝2， a3＝a6＝－1. ∴S2 023＝(a1＋a2＋a3)×674＋a1＝×674＋＝. 答案　　 13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由题设知a1＝1. 当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1, 整理，得an＝an－1. 于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2， an＝an－1. 将以上(n－1)个等式中等号两端分别相乘， 整理，得an＝. 由于a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋). [核心价值·探索创新] 14．数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＝ 则数列{an}的前8项和为(　　) A．25 B．26 C．27 D．28 解析　当n＝3时，a3＝2＋a1＝2，当n＝4时，a4＝2a2＝2，当n＝5时，a5＝2＋a3＝4，当n＝6时，a6＝2a4＝4，当n＝7时，a7＝2＋a5＝6，当n＝8时，a8＝2a6＝8，则数列{an}的前8项和为0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＝27.故选C. 答案　C 15．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式． 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，可知a1＝2满足该式， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N＋). (2)an＝＋＋＋…＋，① an＋1＝＋＋＋…＋＋，② ②－①，得＝an＋1－an＝2， ∴bn＋1＝2(3n+1＋1)， 而b1＝8，故bn＝2(3n＋1)(n∈N＋). 学科网（北京）股份有限公司 $