5.1.2 数列中的递推（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 基础过关练 题组一　数列的递推关系及其应用 1.(2025江苏南通海安高级中学期中)已知数列{an}满足an+1=(-1)nan+1,且a2=1,则a6=(　　) A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 2.(2024辽宁沈阳铁路实验中学阶段检测)若数列{an}满足an+1=,a1=2,则a2 024=(　　) A.2　　　B.-1　　　 C.　　　D.-2 3.(2024天津英华实验学校月考)已知数列{an}满足an+1=an,且a1=1,则an=(　　) A.　　　B.　　　 C.　　　D. 4.(2025湖南岳阳第一中学开学考试)已知数列{an}满足a2=0,a2n+1=a2n+,a2n+2=a2n+1-(n∈N+),则数列{an}的第2 024项为(　　) A.　　　B.　　　 C.　　　D. 5.(多选题)(2025黑龙江大庆中学月考)已知正项数列{an}满足an+1=则下列结论正确的是(　　) A.若a1=10,则a2 023=2 B.若a3=16,则a1的值有3种情况 C.若数列{an}满足an+2=an,则a1=3 D.若an为奇数,则an-1=2an(n≥2) 题组二　数列的前n项和及其应用 6.(2025河南三门峡期末)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-n,则a5=(　　) A.77　　　B.153　　　C.161　　　D.238 7.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2,则下列说法正确的是(　　) A.{an}是递减数列 B.a10=-14 C.当n>5时,an<0 D.当n=4或n=5时,Sn取得最大值 8.(2025江西上饶六校联考)记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且=n2,则S30=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 9.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=An2+Bn,A≠0. (1)当A=2,且a2=-10时,求数列{an}的通项公式; (2)设{an}的各项均为负实数,当a3=-9时,求实数A的取值范围. 能力提升练 题组一　数列的递推关系及其应用 1.(2025湖北部分高中联考)若数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),则该数列的前2 023项的乘积是(　　) A.-2　　　B.-3　　　C.2　　　D.3 2.(多选题)(2024山东潍坊期中)已知正项数列{an}满足a1=1,an=,则(　　) A.a2=　　　B.{an}是递增数列 C.an+1-an>　　　D.an+1<1+ 3.(多选题)(2025吉林白山开学考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该列数的特点是前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面相邻两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.若记此数列为{an},前n项和为Sn,则a1=a2=1,an+2=an+an+1.下列对斐波那契数列的描述正确的是(　　) A.1+S2 022=a2 024 B.该数列的前2 024项中能被3整除的有507项 C.a2 024是偶数 D.++…+=a2 024a2 025 4.(2025江苏南通海安曲塘高级中学期中)已知数列{an}满足a1=0,an+1=则a10=　　　　.  题组二　数列的前n项和及其应用 5.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,若∀n∈N+,λan≤4+S2n恒成立,则实数λ的最大值是(　　) A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6 6.(2025安徽A10联盟期中)若数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1(n∈N+),则数列的前10项和为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 7.(多选题)(2025广东揭阳普宁多校联考)记Sn为正项数列{an}的前n项和,且Sn=-an+1,则(　　) A.a1=1　　　B.S2=2 C.数列{an}单调递增　　　D.an+1-1≤an 8.(2024山东德州开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=(3n+2)an+2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前100项和T100. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　因为an+1=(-1)nan+1,a2=1,所以a3=a2+1=2,a4=-a3+1= -1,a5=a4+1=0,a6=-a5+1=1. 2.B　由an+1=,a1=2,可得a2=-1,a3=,a4=2,……,所以数列{an}是周期为3的周期数列, 因为2 024=3×674+2,所以a2 024=a2=-1. 规律总结　周期数列的常见结论:若an+1=,则数列{an}的周期为3;若an+1=1-,则数列{an}的周期为3;若an+1=,则数列{an}的周期为4;若an+2=an+1-an,则数列{an}的周期为6. 3.B　由an+1=an,得=,所以=,=,=,……,=,=(n≥2), 所以=×××…××, 所以=, 因为a1=1,所以an=(n≥2), 经检验,a1=1满足上式,所以an=. 4.C　易得a2n+2=a2n+1-=a2n+-(n∈N+), 所以a2 024=a2 022+-, a2 022=a2 020+-, a2 020=a2 018+-, …… a6=a4+-, a4=a2+1-, 累加得a2 024=a2+1-+-+…+-+-=0+1-=. 规律总结　若an+1-an=f(n),则通常用累加法求{an}的通项公式或某一项,若利用累加得到an(n≥2),需注意验证a1是否符合. 5.BD　对于A,由a1=10及题意得该数列为10,5,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…,则a3n+1=4,a3n+2=2,a3n+3=1,又2 023=3×674+1,所以a2 023=4,A错误.对于B,若a2为偶数,则a2=2a3=32,于是a1=64或a1=29;若a2为奇数,则a2=a3-3=13,于是a1=26,因此a1的值会出现3种情况,B正确.对于C,由数列{an}满足an+2=an,得数列{an}是周期为2的周期数列,所以a3=a1,当a1为偶数时,a2=,则a3=+3=a1或a3==a1,解得a1=6或a1=0(舍去);当a1为奇数时,a2=a1+3,则a3==a1,解得a1=3,因此a1=3或a1=6,C错误.对于D,若an-1为奇数,则an=an-1+3,为偶数,与an为奇数矛盾,因此an-1为偶数,所以an=,则an-1=2an(n≥2),D正确. 6.C　因为Sn=3n-n,所以a5=S5-S4=(35-5)-(34-4)=161. 7.ACD　由Sn=9n-n2可得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+10,又a1=S1=8=-2×1+10,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为an=-2n+10. 对于A,由an+1-an=-2<0,得an+1<an,所以数列{an}是递减数列,所以A正确. 对于B,a10=-2×10+10=-10,所以B错误. 对于C,令an=-2n+10<0,得n>5,所以C正确. 对于D,因为Sn=9n-n2=-+,n∈N+,所以当n=4或n=5时,Sn取得最大值,所以D正确. 8.C　易得Sn+1=(n+1)2an+1,故Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,化简得(n2+2n)an+1=n2an,所以(n+2)an+1=nan, 又a1=1,故an≠0,故=, 累乘可得=×,即an+1=,故an=(n≥2), 当n=1时,也符合上式,故an=, 故Sn=n2an=,故S30=. 9.解析　(1)当A=2时,Sn=2n2+Bn, ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+Bn-2(n-1)2-B(n-1)=4n+B-2,∴a2=8+B-2=6+B, 又a2=-10,∴B=-16,∴an=4n-18(n≥2), 当n=1时,a1=S1=-14,显然满足上式. 故an=4n-18,n∈N+. (2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A, ∵a3=-9,∴6A+B-A=5A+B=-9, ∴B=-5A-9,∴an=2An-6A-9(n≥2). ∵当n=1时,a1=S1=A+B=-4A-9,满足上式, ∴an=2An-6A-9,n∈N+. ∵{an}的各项均为负实数, ∴∴-<A<0. 故实数A的取值范围为-<A<0. 能力提升练 1.D　因为a1=2,an+1=,所以a2===-3, 同理可得a3=-,a4=,a5=2,……, 所以数列{an}满足an+4=an(n∈N+),且a1·a2·a3·a4=1,又2 023=505×4+3, 所以该数列的前2 023项的乘积为a1·a2·a3·a4·…·a2 023=1505·a2 021·a2 022·a2 023=a1·a2·a3=3. 2.BCD　由题意得a1==1,即-a2-1=0,解得a2=,因为{an}为正项数列,所以a2=,故A错误; 因为an+1-an=an+1-==>0,所以{an}是递增数列,故B正确; 易知an+1>1,所以an+1-an=>=,即an+1-an>,故C正确; 因为an+1-an=<=,即an+1-an<, 所以a2-a1<1,a3-a2<,a4-a3<,……,an+1-an<,因此an+1-a1<1+++…+,即an+1<1+,故D正确. 3.AD　对于A,因为an+2=an+an+1,所以an=an+2-an+1,所以S2 022=a1+a2+a3+…+a2 022=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+…+(a2 024- a2 023)=a2 024-a2, 又a2=1,所以1+S2 022=a2 024,故A正确. 对于B,易得斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,它们除以3所得的余数分别为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,…,可以发现,余数以8为周期重复出现,一个周期内有两个能被3整除的数,又=253,所以该数列的前2 024项中能被3整除的有253×2=506项,故B错误. 对于C,因为a1=a2=1,a1,a2均为奇数,所以a3=a1+a2为偶数,所以a4=a2+a3为奇数,……,所以斐波那契数列中的项是按“奇、奇、偶”的规律出现的,又2 024=3×674+2,所以a2 024为奇数,故C错误. 对于D,a2 024a2 025=a2 024(a2 023+a2 024)=+a2 023a2 024=+a2 023(a2 022+a2 023)=++a2 022a2 023=++a2 022(a2 021+a2 022)=+++a2 021·a2 022=…=++…++a1a2,又a1=a2=1, 所以a2 024a2 025=++…++,故D正确. 4.答案　50 解析　当n=2k(k∈N+)时,a2k+1=a2k+2k①, 当n=2k-1(k∈N+)时,a2k=a2k-1+2k②, 由①②可得a2k+1-a2k-1=4k,所以a3-a1=4,a5-a3=8,……,a2k+1-a2k-1=4k,累加可得a2k+1-a1=4+8+…+4k=4(1+2+…+k)=2k2+2k,所以a2k+1=2k2+2k,k∈N+. 令2k+1=n(n≥3且n为奇数),则an=,当n=1时,a1=0,满足上式,所以当n为奇数时,an=, 则an+1=an+n+1=, 所以当n为偶数时,an=,所以a10==50. 5.C　当n=1时,a1=S1=22-2=2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n, 又a1=2满足上式,∴an=2n. ∵Sn=2n+1-2,∴S2n=22n+1-2. ∵∀n∈N+,λan≤4+S2n恒成立,且an=2n>0, ∴λ≤==2恒成立, 易知当n=1时,2有最小值,为5, ∴λ≤5,∴实数λ的最大值是5. 6.A　当n=1时,a1=1. 当n≥2时,设数列{nan}的前n项和为Sn,则Sn-Sn-1=nan=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2,因此an=(n≥2). 易知a1=1不满足an=,故an= 当n=1时,=. 当n≥2时,==-, 所以=-+…+++=+--. 故数列的前10项和为++--=. 7.ACD　对于A,S1=a1=-a1+1,化简得-2a1+1=(a1-1)2=0,所以a1=1,A正确. 对于B,S2=-a2+1=a1+a2,化简得a2(a2-2)=0. 因为数列{an}为正项数列,所以a2=2, 所以S2=a1+a2=3,B错误. 对于C,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-an+1-(-an-1+1)=-an-+an-1=(an-an-1)(an+an-1-1). 因为数列{an}为正项数列, 所以(an-an-1)(an+an-1-1)>0. 若数列{an}单调递减,则an-an-1<0,所以an=(an-an-1)(an+an-1-1)<(an-an-1)(an+an-1)<0,与数列{an}为正项数列矛盾,所以数列{an}单调递增,C正确. 对于D,an+1=Sn+1-Sn=-an+1+1-(-an+1)=-an+1-+an,所以-2an+1+1=-an+1,即(an+1-1)2=-an+1, 由A,C可知a1=1且{an}为递增数列,所以-an+1≤0,所以(an+1-1)2=-an+1≤,所以an+1-1≤an,D正确. 8.解析　(1)由6Sn=(3n+2)an+2得,当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2, 当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2, 所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1, 所以=,=,……,=,=, 累乘得=××…××,所以an=3n-1(n≥2), 当n=1时,a1=2满足上式,所以an=3n-1. (2)由(1)得bn===(-1)n+1, 所以T100=+--+…++--=-=. 13 学科网（北京）股份有限公司 $