5.1.1 第2课时 数列与函数的关系 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知an＋1－an＝11(n∈N＋)，则数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上选项都不对 解析：选A.由题意可知an＋1－an＝11>0，即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列．故选A. 2．已知an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是(　　) A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．a10或a11 解析：选C.an是关于n的二次函数，其图象的对称轴为直线x＝.因为n∈N＋，所以a12或a13是数列{an}的最大项．故选C. 3．已知函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 025＝(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B．2 C．4 D．5 解析：选D.根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 025＝x3＝5.故选D. 4．已知数列的通项公式为an＝n2＋kn，则“k>－3”是“为递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 解析：选D.数列的通项公式为an＝n2＋kn，若为递增数列，则an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)＝2n＋1＋k>0对于任意n∈N＋恒成立，即k>－2n－1对于任意n∈N＋恒成立，故k>(－2n－1)max＝－3，则“k>－3”是“为递增数列”的充要条件．故选D. 5．已知函数f(x)＝x＋，设an＝f(n)，则下列说法中错误的是(　　) A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 解析：选D.对于A ，显然是无穷数列，故A正确；对于B，因为an＋1－an＝n＋1＋－n－＝1－>0，即an＋1>an，即是递增数列，故B正确；对于C，因为a1＝2，a2＝2＋＝，a1≠a2，故不是常数列，故C正确；对于D，由B知，是递增数列，当n趋近于正无穷大时，an＝n＋也趋近于正无穷大，所以中无最大项，故D错误．故选D. 6．(多选)如果数列为递增数列，则的通项公式可以为(　　) A．an＝ B．an＝2n－1 C．an＝2n2－5n D．an＝2n－1 解析：选BCD.对于A，可知a1＝2，a2＝1，故不是递增数列，故A不符合；对于B，an＋1－an＝2n＋1－＝2>0，故是递增数列，故B符合；对于C，an＋1－an＝22－5－＝4n－3>0，故是递增数列，故C符合；对于D，an＋1－an＝2n＋1－1－＝2n>0，故是递增数列，故D符合．故选BCD. 7．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________． 解析：符合条件的数列有：，，，…. 答案：(答案不唯一) 8．若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则这个数列中的最大项是第________项． 解析：an＝ ＝ ， 因为n＋≥2＝28， 当且仅当n＝14时，n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 答案：14 9．已知函数f(x)＝x2，定义数列{an}如下：an＋1＝f(an)，若给定a1的值，得到无穷数列{an}，且满足对任意的正整数n，均有an＋1＞an，则a1的取值范围是________． 解析：由题意，知an＋1＝f(an)＞0，即数列{an}从第二项开始各项均为正数． 因为an＋1＞an，所以a＞an， 当n＝2时，a＞a2，解得a2＞1， 所以a2＝a＞1， 解得a1＜－1或a1＞1. 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．(13分)已知数列的通项公式是an＝，判断该数列是递增数列还是递减数列，并求出这个数列的最小项． 解：令2n－7≥0，则n≥， 故当n<时，2n－7<0， 所以an＝ 故该数列既不是递增数列也不是递减数列， 又a1>a2>a3＝a4＝1<a5<…<an， 故数列的最小项为第3，4项，即a3＝a4＝1. 11．已知数列是递增数列，且an＝ 则实数a的取值范围是　(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为数列是递增数列， 且an＝ 所以 解得<a<2，则实数a的取值范围是.故选D. 12．(多选)费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…).若bn＝，则(　　) A．数列的最大项为b1 B．数列的最大项为b6 C．数列的最小项为b1 D．数列的最小项为b5 解析：选BD.bn＝＝，令f(n)＝2n－36，因为函数f＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn<0，当n≥6时，bn>0，所以数列的最大项为b6，数列的最小项为b5.故选BD. 13．已知函数f(x)＝数列满足an＝f(n)，n∈N＋，若an≥a3，则实数a的取值范围是________． 解析：当x≤a时，函数f(x)单调递减，当x>a时，函数f(x)单调递增．因为数列满足an＝f(n)，n∈N＋，若an≥a3，则a3是数列的最小项，所以3≤a<4，故实数a的取值范围是[3，4).　 答案： [3，4) 14．(13分)在数列中，已知an＝，且a2＝，a3＝. (1)求通项公式an；(6分) (2)求证：是递增数列．(7分) 解：(1)由an＝，且a2＝，a3＝可得 解得 所以数列的通项公式为an＝，n∈N＋. (2)证明：an＋1－an＝－ ＝ ＝>0， 即an＋1>an， 故是递增数列． 15．(15分)已知数列，的通项公式分别为an＝2n，bn＝2n－1；若λ>0，求对所有的正整数n都有2λ2－kλ＋2>成立的实数k的取值范围． 解：由已知得＝2－2n·， 所以－＝2－2n－2·－2－2n·＝2－2n－2<0， 所以数列为递减数列， 所以≤＝，即的最大值为， 因为对所有的正整数n都有2λ2－kλ＋2>成立， 所以2λ2－kλ＋2>，由λ>0可得k<2λ＋， 所以k<2λ＋(λ>0)恒成立，只需满足k<即可， 又y＝2λ＋≥2＝， 当且仅当2λ＝，即λ＝时等号成立， 所以＝， 故k<，所以实数k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $