第6章 阶段提升(三) 导数的几何意义及计算(范围：6.1)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学导数的几何意义及计算核心知识点，系统梳理导数运算（含基本公式、四则法则、复合函数求导）与几何意义（切线斜率、方程、公切线问题），构建从基础运算到几何应用再到综合问题的递进式学习支架。 该资料通过典型例题（如含待定系数的导数求解、公切线问题）培养学生数学思维（推理能力），解析步骤清晰且注重数学语言表达（如切线关系描述），课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

阶段提升(三)　导数的几何意义及计算(范围：6.1) 题型一　导数的运算 1．下列求导运算正确的是(　　) A．()′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex C．(x cos x)′＝－sin x D．(x－)′＝1＋ 解析：选D.对于A，()′＝－·(ln x)′＝－，故A错误；对于B，(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；对于C，(x cosx)′＝cos x－x sin x，故C错误；对于D，(x－)′＝1＋，故D正确． 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)＝(　　) A．1 B．－9 C．－6 D．4 解析：选C.因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6. 3．求下列函数的导数： (1)y＝x(ln x＋cos x)； (2)y＝； (3)y＝e-2x+1. 解：(1)y′＝ln x＋cos x＋x(－sin x)＝ln x＋cos x－x sin x＋1. (2)y′＝＝. (3)y′＝e-2x+1·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1. 　 注意　当函数解析式中含有待定系数(例如f′(x0)，a，b等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可． 题型二　导数的几何意义 1．曲线y＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由y＝x3－x2＋5，得y′＝x2－2x，所以当x＝1时，y′＝－1，又直线倾斜角的范围为0≤α＜π，则曲线y＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角是，故选D. 2．过原点且与函数f(x)＝ln (－x)图象相切的直线方程是(　　) A．y＝－x B．y＝－x C．y＝－x D．y＝－ex 解析：选C.因为f(x)＝ln (－x)，所以f′(x)＝，设所求切线的切点为(x0，f(x0))，则f′(x0)＝，由题知，＝＝，解得x0＝－e，所以切线斜率k＝f′(－e)＝－，故所求切线方程为y＝－x.故选C. 3．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________． 解析：设点P(x0，y0)，因为y＝x ln x，所以y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．所以由已知得曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率k＝1＋ln x0＝2.解得x0＝e，则y0＝eln e＝e，所以点P的坐标为(e，e). 答案：(e，e) 4．若曲线y＝f(x)＝x sin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________． 解析：由题可得f′(x)＝sin x＋x cos x，所以曲线y＝f(x)＝x sin x在x＝处的切线的斜率为f′()＝1.又因为该切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以(－)×1＝－1，解得a＝2. 答案：2 　 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 提醒　注意曲线上点的横坐标的取值范围． 题型三　两曲线的公切线问题 [典例] (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 【解析】　由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，当x＝0时，y′＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1. 由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝， 设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)， 由两曲线有公切线得＝2， 解得x0＝－， 则切点为(－，a－ln 2)，切线方程为y＝2(x＋)＋a－ln 2＝2x＋1＋a－ln 2， 根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 【答案】　ln 2 　 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. [跟踪训练] (1)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln (－x)的切线，则(　　) A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0 C．k＝，b＝－1 D．k＝1，b＝－1 解析：选A.方法一(设点法)：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为(x1，ln x1)，x1>0，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln (－x)的切点坐标为(x2，－ln (－x2))，x2<0. 对y＝ln x求导得y′＝，对y＝－ln (－x)求导得y′＝－， 所以有 即解得 所以k＝＝. 方法二(代入法)：对y＝ln x求导得y′＝，令＝k＝，得x＝e，又ln e＝1，所以曲线y＝ln x在点(e，1)处的切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x，同理得曲线y＝－ln (－x)在点(－e，－1)处的切线方程为y＝x，结合选项知A正确． (2)已知函数f(x)＝x2＋x与函数g(x)＝ln x＋2x.求曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在公共点处的公切线方程． 解：设曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切点为P(x0，y0)，因为f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln x＋2x，所以f′(x)＝2x＋1，g′(x)＝＋2， 令f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋1＝＋2， 解得x0＝1或x0＝－(舍去)， 所以P(1，2)，f′(1)＝3， 所以所求的公切线方程为y－2＝3(x－1)， 即3x－y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $