第5章 阶段提升(二) 等比数列(范围：5.3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列核心知识点，系统梳理基本量（a₁,q,aₙ,Sₙ）运算、性质应用（等比中项、前n项和性质）及综合问题（由Sₙ构造新数列），构建从基础到综合的递进学习支架。 资料融合方程与分类讨论思想，结合高考改编题设计例题，通过跟踪训练提升数学思维（推理、运算）和数学语言（模型应用）能力。课中辅助教师授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

阶段提升(二)　等比数列(范围：5.3) 1．在等比数列{an}中，a1＝4，a4＝32，则数列{an}的前10项和为(　　) A．211－2 B．212－2 C．211－4 D．212－4 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q， 则a4＝a1q3， 即32＝4q3，解得q＝2， 则数列{an}的前10项和为＝＝212－4. 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.设等比数列{an}的公比为q， 由S3＝a2＋5a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋5a1， 即a3＝4a1＝a1q2， 所以q2＝4， 又a5＝4，所以a1q4＝a1(q2)2＝16a1＝4， 所以a1＝. 3．(2024·全国甲卷改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)因为2Sn＝3an＋1－3， 所以2Sn＋1＝3an＋2－3， 两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1. 即＝， 所以等比数列{an}的公比为， 因为2S1＝3a2－3＝5a1－3＝2a1， 所以a1＝1，故an＝()n－1. (2)因为2Sn＝3an＋1－3， 所以Sn＝(an＋1－1)＝[()n－1]. 等比数列基本运算中的两种常用数学思想 方程的思想 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和为Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和为Sn＝＝ 注意　(1)等比数列求和需要讨论q＝1和q≠1两种情况； (2)计算过程中，若出现qn＝t，要注意n为奇数和偶数的区别． 　 1．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2am＝a6an，a＝a6a10，则m＋n＝(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析：选C.因为a2am＝a6an，a＝a6a10，公比q>1，所以由等比数列的性质可得2＋m＝6＋n，2m＝16，解得m＝8，n＝4，所以m＋n＝12. 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝(　　) A．60 B．61 C．62 D．63 解析：选D.因为{an}为等比数列，显然公比q≠－1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63. 3．已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝(　　) A．1 B．4 C．12 D．36 解析：选C.由题意得，S奇＋S偶＝4S偶，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列前n项和的性质可得S偶＝qS奇，即S奇＝S偶，所以S偶＋S偶＝4S偶，因为S偶≠0，所以＋1＝4，解得q＝，又前3项之积a1a2a3＝a＝64，所以a2＝4，所以a1＝＝12. 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口． [例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n，cn＝an－1. (1)求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：因为an＋Sn＝n，① 所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， 所以2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1， 又a1＋a1＝1，所以a1＝，a1－1＝－≠0， 因为＝，所以＝. 故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知cn＝－×()n－1＝－()n， 因为cn＝an－1，所以an＝1－()n. [跟踪训练1] (多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B．若{an}为等差数列，则{2an}为等比数列 C．若Sn＝n2＋1，则数列{an}为等差数列 D．若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列 解析：选BD.对于A，当a＝b＝c＝0时有b2＝ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误； 对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有＝2an＋1－an＝2d为大于零的常数，所以数列{2an }为等比数列，故B正确； 对于C，若Sn＝n2＋1，则a1＝S1＝2， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)， a1＝2显然不满足an＝2n－1，所以数列{an}不为等差数列，故C错误； 对于D，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝3n－3n－1＝2·3n－1(n≥2)，a1＝2显然满足an＝2·3n－1，所以数列{an}为等比数列，故D正确． [例2] 已知数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N＋). (1)求a2及an； (2)若Sn满足>，求n的值． 【解】　(1)由2an＋1＋Sn＝3，得2a2＋a1＝3.因为a1＝，所以a2＝.由2an＋1＋Sn＝3，2an＋Sn－1＝3(n≥2)，两式相减得＝(n≥2).又＝也满足上式，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．故an＝·()n－1＝3·()n(n∈N＋). (2)方法一：由(1)可得Sn＝＝3[1－()n]，所以S2n＝3[1－()2n].因此＝1＋()n.令1＋()n>，得()n>，即2n<63，则n≤5且n∈N＋. 故n的值可以为1，2，3，4，5. 方法二：由(1)可知，数列{an}是公比q＝的等比数列，故＝＝1＋qn＝1＋.后同方法一． 与等比数列有关的综合问题的解题方法与技巧 (1)化归思想：将非等比数列转化构造成等比数列，以便于利用其公式和性质解题． (2)等比数列公式和性质的灵活应用． (3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． [跟踪训练2] 若正项数列{an}满足a1＝2，a＝4a＋4an＋1，则数列{an}的通项公式是____________． 解析：在正项数列{an}中，a＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2，则有an＋1＝2an＋1，于是得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝3，因此数列{an＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则有an＋1＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－1，所以数列{an}的通项公式是an＝3×2n－1－1. 答案：an＝3×2n－1－1 学科网（北京）股份有限公司 $