6.3 利用导数解决实际问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“利用导数解决实际问题”核心知识点，衔接导数求导及单调性分析等基础，系统梳理成本最低、用料最省、面积容积最值、利润最大等实际问题的解决方法，构建从理论到应用的学习支架。 该资料以建桥费用、矩形花坛扩建、毛线玩具利润等实例为载体，引导学生用数学眼光抽象问题，通过导数求导与单调性分析培养数学思维，用函数表达式精准描述问题体现数学语言。课中实例助于理解，课后练习巩固提升，适合教学与自学。

6．3　利用导数解决实际问题 新课导入 学习目标 　　在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最小等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．因为利用导数可以求得最值，所以利用导数可以解决最优化问题，下面我们通过实例学习． 1.了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的最优化问题的方法． 一　成本最低、用料最省问题 [例1] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【解】　(1)相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，则y＝256＋(2＋)x·＝256·＋m＋2m－256(0<x<m). (2)当m＝640时，y＝f(x)＝640×＋1 024， f′(x)＝640×(－＋)＝640×， 因为f′(26)＝0且当x>26时，f′(x)>0， 则f(x)单调递增， 当0<x<26时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 所以f(x)min＝f(26)＝8 704， 所以需新建桥墩－1＝9(个). 　 成本最低、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． [跟踪训练1] 如图，工厂A到铁路专用线的距离AB＝20 km，在铁路专用线上距离B 100 km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路(向着A)，为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？(已知每千米的铁路运费是公路运费的60%) 解：设BD＝x，AD＝，CD＝100－x， 设公路每千米的运费为a(a＞0)，则铁路每千米的运费为a，则配件厂到工厂A所需的总运费为y＝a＋a(100－x)(0≤x≤100) y′＝－a，令y′＝0，即＝a， 解得x1＝15，x2＝－15(不合题意，舍去). 当0≤x<15时，y′<0，则函数y单调递减；当15<x≤100时，y′>0，则函数y单调递增，即当x＝15时， 函数y＝a＋a(100－x)取最小值． 故D处应选在距点B处15 km时运费最省． 二　面积、容积的最值问题 [例2] (对接教材例2)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3 m，AD＝2 m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AN的长是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积． 【解】　(1)设AN的长为x m(x>2)，矩形AMPN的面积为S， 由题意可知，＝， 即＝， 所以AM＝， 所以S＝x·＝， 由S>32，得>32， 又因为x>2， 所以3x2－32(x－2)>0， 即(3x－8)(x－8)>0(x>2)， 解得2<x<或x>8， 即AN的长的取值范围是∪(8，＋∞). (2)由(1)知S＝(x>2)， 所以S′＝＝＝， 令S′＝0，得x＝4， 当2<x<4时，S′<0，则函数S单调递减； 当x>4时，S′>0，则函数S单调递增， 所以当x＝4时，S取极小值，且为最小值， 即AN的长为4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小为24 m2. 　 解决面积、容积的最值问题的方法 解决面积、容积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 注意　(1)在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的． (2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． [跟踪训练2] 如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图1.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图2.则这个容器的容积的最大值为________． 解析：设容器的高为x，则容器底面正三角形的边长为a－2x(0<x<a)， 则三棱柱形容器容积V(x)＝x·(a－2x)2 ＝(12x3－4ax2＋a2x)， 则V′(x)＝(36x2－8ax＋a2)＝(2x－a)(6x－a)， 当x∈(0，a)时，V′(x)＞0，V(x)单调递增； 当x∈(a，a)时，V′(x)<0，V(x)单调递减， 所以当x＝a时，V(x)取得极大值，也是最大值， 即当x＝a时，V(x)max＝. 答案： 三　利润最大问题 [例3] 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业．某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工x万件毛线玩具，需要流动成本C(x)万元．当年加工量不足15万件时，C(x)＝12x－12ln (x＋1)；当年加工量不低于15万件时，C(x)＝21x＋－200.通过市场分析，加工后的毛线玩具以每件20元的价格，全部由总厂收购． (1)求年利润f(x)关于年加工量x的解析式；(年利润＝年销售收入－流动成本－年固定成本) (2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？(参考数据：ln 2≈0.69) 【解】　(1)当0<x<15时，f(x)＝20x－10－[12x－12ln (x＋1)]＝8x＋12ln (x＋1)－10， 当x≥15时，f(x)＝20x－10－ ＝190－x－， 所以年利润f(x)关于年加工量x的解析式为f(x)＝ (2)当0<x<15时，f′(x)＝8＋>0恒成立， 所以f(x)在区间(0，15)上单调递增， 所以f(x)<f(15)＝8×15＋12ln 16－10 ＝110＋48ln 2≈143.12， 当x≥15时，f(x)＝188－ ≤188－2＝156， 当且仅当x－2＝， 即x＝18(负值已舍去)时取得等号． 因为156>143.12， 所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元． 　 用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)，常见的基本等量关系如下： (1)利润(收益)＝收入－成本． (2)利润(收益)＝每件产品的利润(收益)×销售量． [跟踪训练3] 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x>0)千元时，在销售A，B商品中所获收益的解析式分别为f(x)＝2x，g(x)＝4ln (2x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投入(　　) A．千元　　　　　 B．千元 C．千元 D．千元 解析：选B.设B商品投x千元，总收益为h(x)， 所以h(x)＝2(5－x)＋4ln (2x＋1)(0＜x≤5)，即h(x)＝－2x＋4ln (2x＋1)＋10， 所以h′(x)＝－2＋，令h′(x)＝0， 则x＝，所以当x∈时，h′(x)＞0， 当x∈时，h′(x)＜0， 所以h(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以h(x)在x＝时取得最大值， 即为使总收益最大，则B商品需投千元．故选B. 1．某银行向某地区居民提供不超过10万元的免息贷款，现小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算年利润y(单位：万元)与贷款x(单位：万元)满足关系式y＝ln x－x－＋9，要使年利润最大，小李应向银行贷款(　　) A．3万元　　　　　　 B．4万元 C．5万元 D．6万元 解析：选B.依题意y＝ln x－x－＋9，且0<x≤10，则y′＝－1＋＝＝，所以当x∈(0，4)时，y′>0，函数y单调递增；当x∈(4，10]，y′<0，函数y单调递减，所以当x＝4万元时，函数取得最大值．故选B. 2．(多选)(教材P107T2改编)若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是(　　) A．当x＝时，方盒的容积最大 B．方盒的容积没有最小值 C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最大值为 解析：选ABC.由题意知，方盒的底面为边长为4－2x的正方形，高为x，其中0<x<2， 则方盒的容积为V(x)＝x(4－2x)2(0<x<2)， 所以V′(x)＝(4－2x)2－4x(4－2x)＝(2x－4)(6x－4)＝4(x－2)(3x－2)， 则当x∈时，V′(x)>0，当x∈时，V′(x)<0， 所以V(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以V(x)max＝V＝，无最小值，故A，B，C正确，D错误．故选ABC. 3．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________． 解析：由题设知y′＝x2－39x－40(x＞0)，令y′>0，解得x>40，令y′<0，解得0<x<40，故函数y＝x3－x2－40x(x>0)在(40，＋∞)上单调递增，在(0，40)上单调递减，所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 答案：40 4．(教材P107T3改编)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆的面积之和最小？ 解：设弯成圆的一段铁丝长为x(0<x<100)cm，另一段铁丝长为(100－x)cm，记正方形与圆的面积之和为S(x)， 则S(x)＝π＋(0<x<100)， 所以S′(x)＝－(100－x)， 令S′(x)＝0，则x＝， 又S′(x)单调递增，所以当0<x<时， S′(x)<0，当<x<100时，S′(x)>0， 所以S(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以当x＝时，S(x)取得极小值即最小值，故当截得弯成圆的一段铁丝长为 cm时，正方形与圆的面积之和最小． 　 1．已学习：成本最低、用料最省问题，面积、容积的最值问题及利润最大问题． 2．须贯通：(1)建模：分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即建立函数关系y＝f(x)； (2)解模：把数学问题化归为求最值问题，常用方法是导数法或基本不等式法． 3．应注意：要从问题的实际意义去考虑，舍去没有实际意义的自变量的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $