6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数学建模完整过程这一核心知识点，通过体重与脉搏率关系的探究实例，系统梳理提出问题、模型假设、建立、求解、分析及检验的步骤，结合动物体重与脉搏率真实数据构建模型，后续以易拉罐优化设计为实践应用，形成“理论-实例-实践”的学习支架。 该资料以真实生物数据和生活实例驱动教学，通过散点图绘制、幂函数趋势线拟合培养数据分析与数学建模素养，用数学眼光抽象生物学规律，用数学语言表达脉搏率与体重关系模型（如f=kW^-0.298），课中辅助学生理解建模逻辑，课后实践应用助力知识巩固与查漏补缺。

6．4　数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系 学业标准 素养目标 1．分组合作，探究体重与脉搏率的关系．(重点) 2．掌握数学建模的完整过程．(重点、难点) 通过探究体重与脉搏率的关系，提升数学建模、数据分析核心素养． [对应学生用书P85] 一、数学建模 1．定义 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程． 2．过程 (1)提出问题；(2)模型假设；(3)模型建立；(4)模型求解；(5)模型分析；(6)模型检验． 二、建模探究 数学建模活动实例 [提出问题] 生物学中认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比．根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．表1给出了一些动物的体重与脉搏率对应的数据． 表1　一些动物的体重和脉搏率 动物名 体重/g 脉搏率/(心跳次数·min-1) 鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2 000 205 小狗 5 000 120 大狗 30 000 85 羊 50 000 70 马 450 000 38 (1)根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型； (2)建立脉搏率与体重关系的数学模型； (3)根据表1，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证所建立的数学模型． [简化假设] 为了建立数学模型，需要了解一些生物学概念，例如，血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数；还需要知道一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比． [模型建立与求解] (1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E与身体的表面积S成正比，即E＝p1S. 又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，即E＝p2Q，由此可得Q＝pS，其中p1，p2和p均为正的比例系数． 另一方面，体积V与体重W成正比，即V＝r1W. 又因为表面积S大约与体积V的次方成正比，即S＝r2V.由此可得S＝rW，其中r1，r2，r为正的比例系数． 因此，血流量与体重关系的数学模型为Q＝k1W，其中k1为正的比例系数． (2)根据脉搏率的定义f＝，再根据生物学假设q＝cW(c为正的比例系数)，可得f＝＝.因此，脉搏率与体重关系的数学模型为f＝kW －，其中k为正的待定系数． (3)我们用Excel作出数据的散点图：在工作表中输入数据，选中数据区，按“插入/图表/散点图”的顺序作出散点图(图1). 图1　脉搏率f与体重W的散点图 右击数据点，选择“添加趋势线”，在6种类型中分别选择指数、幂、二次多项式等趋势线，根据显示的“R平方值”，选择最大的一个．因此，采用幂函数的模型，在“选项”中选定“显示公式”和“显示R平方值”复选框，得到图2. 图2　在脉搏率f与体重W的散点图中添加趋势线 可以看出，得到的拟合模型f＝1 790.9W-0.298与(2)中建立的数学模型接近． [模型分析与检验] (1)脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的次方成反比．表1中的数据基本上反映了这个关系． (2)当所给的数据差异较大时，可以对已知数据取对数，从而使变换后的数据变得“均匀”，有利于发现趋势或规律．本例中将体重W与脉搏率分别取自然对数后作出的散点图如图3所示．直观地看出，变换后的数据点分布均匀，并近似地在一条直线上． 图3　ln f与ln W的散点图 (3)数据拟合是研究变量之间的关系，并给出近似数学表达式的一种方法．根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．在解决数据拟合问题时，首先应作出数据的散点图，然后通过观察散点的趋势选用相应的模型进行拟合．为使散点图更清晰，可将数据适当简化或变换． 三、实践应用 易拉罐的优化设计 [提出问题] 在日常生活中，易拉罐是一种用于装饮料的常见器具．对于巨大的饮料市场而言，从用料最省的角度设计易拉罐的形状和尺寸，可以达到降低成本的目的．企业在设计易拉罐时通常需要综合考虑诸多因素，例如，材料容积一定的条件下耗材最少，外观美丽以吸引顾客，稳定度高以保证顾客安全使用等．而节约成本是最重要的因素，下面以节约成本为目标建立易拉罐优化设计模型． [模型建立与求解] 【模型1】 将易拉罐近似看成圆柱体，并假设各部分板材厚度完全相同．在这种情况下，问题归结为：圆柱体的罐内容积一定，求其底面圆半径和高，使其表面积最小． 设罐内容积为V(常数)，底面圆半径为r，高为h，则易拉罐的耗材为 S＝2πrh＋2πr2，(1) 而约束条件是罐内容积V一定，且 V＝πr2h.(2) 由(2)式得h＝，代入(1)式化简得到关于r的表达式 S(r)＝＋2πr2. 对S(r)关于r求导，得S′(r)＝4πr－. 令S′(r)＝0，解得r＝. 当r∈时，S′(r)<0，则S(r)单调递减； 当r∈时，S′(r)>0，则S(r)单调递增． 因此，函数S(r)在r＝处取得极小值，也是最小值．此时，高h＝2r，即圆柱体的高等于底面直径． 上述讨论表明，在不考虑各部分厚度差别的条件下，底面直径和圆柱体高相等时，可使易拉罐表面积最小，从而用料最省． 【模型2】 根据市场调查，我们发现市场上较通用的易拉罐的底部、顶部、侧壁的厚度是不一样的，例如，市场上有一种易拉罐各部分厚度(以千分之一英寸为单位，约0.002 54 cm)大致为：底部厚10，侧壁厚4，顶部厚9.对于这种顶部与底部厚度差别较小的情形，仍然将易拉罐近似看成圆柱体，在底部与顶部板材厚度相同，侧壁厚度不同的假设条件下，建立耗材最省的数学模型． 设易拉罐的容积为V(常量)，r与h为易拉罐内部的半径和高，侧壁厚度为a，其余部分厚度为b，所用耗材体积为G，则侧面耗材的体积为π(r＋a)2(h＋2b)－πr2(h＋2b)，顶部与底部耗材体积为2πr2b，易拉罐容积为V＝πr2h. 由此可建立如下的数学模型： G＝π(r＋a)2(h＋2b)－πr2(h＋2b)＋2πr2b，(3) 容积一定，且V＝πr2h.(4) 由(4)式得h＝，(5) 将(5)代入(3)式，化简得到G关于r的函数： G(r)＝π(r＋a)2－V. 令G′(r)＝0，解得r＝，r＝－a(舍去). 从而h＝. 由此得到板材体积的最小值为 Gmin＝π－V. [模型检验]　实际现象或数据检验求得的解是否符合实际，如果不符合实际情况，就要重新建模． 知识落实 技法强化 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确立参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题． 数学建模的主要步骤： (1)提出问题． (2)模型建立． (3)模型求解． (4)模型检验． 学科网（北京）股份有限公司 $