6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦简单复合函数的求导法则核心知识点，衔接已学基本初等函数求导知识，通过“概念梳理—法则推导—应用实践”构建学习支架，具体涵盖复合函数的嵌套结构分析、链式求导法则（y'ₓ=y'ᵤ·u'ₓ）及导数的几何应用等内容。 资料以油轮泄漏问题导入培养数学眼光，通过“思考—实例推导”（如sin2x导数推导）发展数学思维，课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后练习题及改编题帮助学生巩固知识，体现用数学语言解决实际问题的应用意识，兼顾课中教学与课后查漏补缺需求。

第2课时　简单复合函数的求导法则 新课导入 学习目标 　　海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)与油膜的半径r(单位：m)的函数解析式为S＝f(r)＝πr2.油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数解析式为r＝φ(t)＝2t＋1.油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少呢？要解决这个问题就要学习本节复合函数的导数． 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导． 一　复合函数的概念 思考　我们常说y＝sin x为“正弦函数”，而y＝sin 2x为“正弦型函数”，那么y＝sin 2x是由哪些初等函数构成的？ 提示：记u＝2x，则y＝sin 2x可以看作正弦函数y＝sin u和u＝2x两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成． [知识梳理] 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值，如果此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 x_的函数，此时称 f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝f(g(x))为函数 f(u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为中间变量． [即时练] 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝x ln x B．y＝(3x＋6)4 C．y＝ecos x D．y＝sin 解析：选BCD.A不是复合函数；B，C，D都是复合函数． 2．指出下列函数的复合关系． (1)y＝(a＋bx)5； (2)y＝ln ； (3)y＝3log2(x2－2x＋3)； (4)y＝sin3(x＋). 解：(1)对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5， u＝a＋bx. (2)对于y＝ln ，可分解为y＝ln u，u＝υ， υ＝ex＋2. (3)对于y＝3log2(x2－2x＋3)， 可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3. (4)对于y＝sin3(x＋)， 可分解为y＝u3，u＝sinυ，υ＝x＋. 　 划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项 (1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数． (2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系． (3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内． 二　复合函数的求导法则 思考　如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝sin 2x＝2sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知，y′x＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是y＝sin u，它的导数y′u＝cos u，内层函数是u＝2x，它的导数u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x. [知识梳理] 一般地，如果函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)，也可表示为y′x＝y′uu′x． 点拨　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层函数不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． [例1] (对接教材例3)求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝esin x； (3)y＝cos (2x＋)； (4)y＝5log2(2x＋1). 【解】　(1)设u＝1－2x2，则y＝＝u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(u)′·(1－2x2)′＝u－·(－4x)＝(1－2x2)－·(－4x)＝. (2)设u＝sin x，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(sin x)′＝eu·cos x＝esin xcos x. (3)设u＝2x＋，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(2x＋)′＝－sin u·2 ＝－2sin (2x＋). (4)设u＝2x＋1，则y＝5log2u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(2x＋1)′＝5××2＝. 　 求复合函数的导数的步骤 [跟踪训练1] 求下列函数的导数． (1)y＝cos (1＋x2)； (2)y＝ln (2x2＋x). 解：(1)设u＝1＋x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′ ＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2). (2)设u＝2x2＋x，则y＝ln u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x2＋x)′＝·(4x＋1)＝. 三　复合函数导数的应用 [例2] 曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A． B．2 C．3 D．0 【解析】　设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． 因为y′＝，所以当x＝x0时，＝2， 解得x0＝1， 所以y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0). 所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选A. 【答案】　A 母题探究　本例的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为2”，求实数m的值． 解：由题意可知，设切点P(x0，y0)， 则当x＝x0时，＝2， 所以x0＝1，即切点P(1，0)， 所以＝2，解得m＝8或m＝－12.当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln (2x－1)有交点， 则曲线上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为0，故m＝－12舍去．经检验实数m的值为8. 　 利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．解决与切线有关的问题的前提是正确求出复合函数的导数，其次关注已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点坐标设出来，并求出切点的坐标，从而求出切线方程． [跟踪训练2] (1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C. 直线x＋2y＋1＝0的斜率为k＝－，由题设知，y＝e2ax在(0，1)处的切线的斜率为2， 又y′＝2a·e2ax， 所以当x＝0时，2a＝2， 可得a＝1.故选C. (2)若曲线f(x)＝(a≠0)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则a＝________． 解析：由f(x)＝，可得f′(x)＝＝，因为f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，可得f′(0)＝＝0，解得a＝. 答案： 1．(教材P89练习BT4改编)设f(x)＝e2x－x，则f(x)在x＝0处的导数f′(0)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．e 解析：选C.由已知可得，f′(x)＝e2x·(2x)′－x′＝2e2x－1，所以f′(0)＝1.故选C. 2．(多选)已知f(x)＝sin4x＋cos4x，则下列结论中正确的是(　　) A．f′(x)＝sin4x B．f′(x)＝－sin 4x C．f′()＝ D．f′()＝－ 解析：选BD.因为f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－sin22x＝cos4x＋，所以f′(x)＝－sin 4x·(4x)′＝－sin 4x，故A错误，B正确；f′()＝－sin ＝－，故C错误，D正确．故选BD. 3．曲线y＝f(x)＝sin2x在点A(，)处的切线的斜率是________． 解析：因为f′(x)＝(sin2x)′＝2sinx(sin x)′＝2sin x cos x＝sin 2x，所以f′＝sin ＝，所以曲线在点A(，)处的切线的斜率为. 答案： 4．(教材P90习题6－1BT4改编)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x). (1)求f(x)的导数； (2)求f(x)的图象在(，0)处的切线方程． 解：(1)因为f(x)＝(3x＋1)2ln (3x)，所以f′(x)＝2(3x＋1)×3ln (3x)＋(3x＋1)2＝6(3x＋1)·ln (3x)＋. (2)由f′(x)＝6(3x＋1)ln (3x)＋， 得f′()＝6(3×＋1)ln (3×)＋＝12， 所以f(x)的图象在(，0)处的切线方程为y＝12(x－)，即y＝12x－4. 　 1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则． 2．须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导． 3．应注意：(1)求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；(2)求导时要分清是对哪个变量求导． 学科网（北京）股份有限公司 $