6.1.4 第1课时 导数四则运算法则及应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦导数四则运算法则及应用核心知识点，前承基本初等函数导数，通过具体函数实例引导学生猜想和差、积、商求导法则，再系统梳理法则及推广，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以“思考-猜想-证明-应用”为主线，用数学眼光观察实例规律，推导过程培养数学思维逻辑性，例题训练强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后练习题助学生巩固法则应用，有效查漏补缺。

6．1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数四则运算法则及应用 新课导入 学习目标 　　由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的．在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的．由此自然想到，能否由基本初等函数的导数，研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节我们就来研究这些问题． 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 一　函数和与差的求导法则 思考　设f(x)＝x2，g(x)＝x，试计算f′(x)，g′(x)，[f(x)＋g(x)]′以及[f(x)－g(x)]′，试猜想它们的关系． 提示：f′(x)＝2x，g′(x)＝1， [f(x)＋g(x)]′＝ ＝ (Δx＋2x＋1)＝2x＋1， 同理[f(x)－g(x)]′＝2x－1. 猜想[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x). [知识梳理] 一般地，如果f(x)，g(x)都可导，则[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 点拨　推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x). [即时练] 求下列函数的导数． (1)y＝ln x＋；(2)f(x)＝ex＋ln x＋sin x；(3)f(x)＝x2－2x－；(4)y＝cos x＋x； (5)y＝x2＋＋. 解：(1)y′＝′＝′＋′＝－＝. (2)f′(x)＝ex＋＋cos x. (3)f′(x)＝2x－2x ln 2＋. (4)y′＝(cos x)′＋(x)′＝－sin x＋1. (5)y′＝′＝2x－＋. 　 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的求导公式求导即可． 二　函数积与商的求导法则 思考　设f(x)＝x2，g(x)＝x，试验证[f(x)·g(x)]′与f′(x)g′(x)，以及′与是否相等？ 提示：f′(x)＝2x，g′(x)＝1， f′(x)g′(x)＝2x. [f(x)g(x)]′＝(x3)′＝3x2， 所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)， ＝2x，′＝x′＝1， 所以′≠. [知识梳理] 1．当f(x)，g(x)都可导时，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[C·f(x)]′＝Cf′(x)． 2．当f(x)，g(x)都可导，且g(x)≠0时，有′＝，特别地，当f(x)＝1时，′＝－． [例1] 求下列函数的导数． (1)y＝x3ex；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝；(4)y＝. 【解】　(1)因为y＝x3ex，则y′＝′＝′ex＋x3′＝3x2ex＋x3ex＝x2ex. (2)方法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′ ＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3. 方法二：因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′ ＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′ ＝18x2＋4x－3. (3)y′＝ ＝＝. (4)方法一：y′＝′ ＝＝3x2－. 方法二：因为y＝＝x3＋1＋， 所以y′＝(x3)′＋1′＋′＝3x2－. 　 一般情况下，使用积、商的求导法则运算量较大，可考虑先利用代数恒等变形，化简为代数式的加、减形式，再求导． [跟踪训练1] 求下列函数的导数． (1)y＝x ln x；(2)y＝；(3)y＝(x－1)·(x－2)(x－3)；(4)f(x)＝. 解：(1)y′＝′＝x′ln x＋x′＝ln x＋1. (2)y′＝′＝ ＝. (3)因为y＝＝x3－6x2＋11x－6， 所以y′＝3x2－12x＋11. (4)f′(x)＝′＝＝. 三　导数的运算法则与求导公式的应用 角度1　导数的运算法则与求导公式的综合运算 [例2] (对接教材例1)求下列函数的导数． (1)y＝x2＋x ln x；(2)f(x)＝ex ln x＋sin x；(3)y＝；(4)y＝ex tan x. 【解】　(1)y′＝(x2＋x ln x)′＝(x2)′＋(x ln x)′＝2x＋x′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1. (2)f′(x)＝(ex ln x＋sin x)′＝ex ln x＋＋cos x. (3)y′＝ ＝. (4)因为y＝ex tan x＝， 可得y′＝ ＝ ＝＝ex. 　 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 角度2　含f′(c)函数的求导问题 [例3] (1)已知函数f(x)满足f(x)＝f′()sin x－cos x，则f′()的值为(　　) A．　　　　　　 B． C．－ D．－ (2)曲线f(x)＝3ln x －x2f′(1)在点(3，m)处的切线方程为______________． 【解析】　(1)由已知可得，f′(x)＝f′()cos x＋sin x， 则f′()＝f′()cos ＋sin ＝f′()＋， 所以f′()＝.故选A. (2)因为f(x)＝3ln x－x2f′(1)， 所以f′(x)＝－2f′(1)x， 所以f′(1)＝3－2f′(1)，解得f′(1)＝1， 所以f(x)＝3ln x－x2， 将点(3，m)代入f(x)＝3ln x－x2得， m＝3ln 3－9， 所以切点为(3，3ln 3－9). 因为f′(x)＝－2x， 所以f′(3)＝1－6＝－5， 所以切线斜率为－5， 所以曲线f(x)＝3ln x－x2f′(1)在点(3，m)处的切线方程为y－(3ln 3－9)＝－5(x－3)， 整理得5x＋y－3ln 3－6＝0. 【答案】　(1)A　(2) 5x＋y－3ln 3－6＝0 　 含f′(c)函数的求导问题的解题策略 含f′(c)函数在求导时，一定要抓住f′(c)为常数这一特点，也就是说，不管应用和、差、积、商哪一个法则，求导时，一律把f′(c)当常数处理． 角度3　求导法则在导数几何意义中的应用 [例4] (1)若曲线y＝在x＝m处的切线的斜率为3，则该切线在x轴上的截距为　(　　) A．－ B．2 C．±2 D．± (2)(2025·辽阳月考)已知函数f(x)＝－2＋ln x，过点P(0，－2)作曲线y＝f(x)的切线l，则l的方程为________________． 【解析】　(1)因为y＝＝x3， 所以y′＝3x2， 由3m2＝3，得m＝－1或m＝1(舍去). 当m＝－1时，y＝－1, 所以该切线的方程为y－(－1)＝3，整理得y＝3x＋2， 令y＝0，得x＝－， 所以该切线在x轴上的截距为－.故选A. (2)由题意可设切点坐标为(t，－2＋ln t)(t＞0)，因为f(x)＝－2＋ln x，所以f′(x)＝，所以切线l的斜率k＝，则l的方程为y＋2－ln t＝(x－t)，又点P(0，－2)在切线上，所以－2＋2－ln t＝(0－t)，解得t＝e，所以切线l的方程为y＋1＝(x－e)，即x－ey－2e＝0. 【答案】　(1)A　(2)x－ey－2e＝0 　 (1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式． (2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题． [跟踪训练2] (1)已知曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线为l，则l的斜率为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C．1 D．－1 解析：选A.对f(x)＝2x cos x求导得，f′(x)＝×2x·cos x－2x·sin x，由题意得曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f′＝×20·cos 0－20·sin 0＝ln 2.故选A. (2)已知f(x)＝f′(2 026)ln x－x2＋x，则f′(2 026)＝(　　) A．0 B．－2 025 C．－2 026 D．2 025 解析：选C.求导得f′(x)＝－x＋1， 所以f′(2 026)＝－2 026＋1， 即f′(2 026)＝－2 025， 解得f′(2 026)＝－2 026.故选C. (3)曲线y＝－ln x在x＝1处的切线的倾斜角为α，则cos (2α－)＝________． 解析：由y＝－ln x，则y′＝－－， 所以当x＝1时，tan α＝－3， 所以cos (2α－)＝sin 2α＝＝＝＝－. 答案：－ 1．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为　(　　) A．y＝5x＋2 B．y＝5x－2 C．y＝－5x－2 D．y＝－5x＋2 解析：选A.因为y′＝＝， 所以所求切线斜率k＝＝5， 所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.故选A. 2．(多选)(教材P91T2改编)若f(x)＝cosx＋2xf′，则(　　) A．f′＝－ B．f′＝ C．f′＝1－ D．f′＝1＋ 解析：选BC.由f(x)＝cos x＋2xf′ 可得f′(x)＝－sin x＋2f′， 令x＝，则f′＝－sin ＋2f′， 解得f′＝sin ＝，故B正确，A不正确； 所以f′(x)＝－sin x＋1，令x＝，则f′＝ －sin ＋1＝－＋1，故C正确，D不正确．故选BC. 3．已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′＝0，则a＝________． 解析：函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，求导得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，于是f′(e)＝2ae＋2＝0， 所以a＝－. 答案：－ 4．(教材P89练习BT2改编)求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝x sin x＋ex ln x－2； (4)y＝. 解：(1)y′＝ ＝. (2)y＝＝－， 可得y′＝＋. (3)y′＝sin x＋x cos x＋ex ln x＋. (4)y′＝ ＝ ＝. 　 1．已学习：导数的四则运算法则及其应用． 2．须贯通：对于函数求导运算，一般遵循先化简、再求导的基本原则． 3．应注意：在两个函数的商的导数法则中，分母函数不能为0，否则无意义． 学科网（北京）股份有限公司 $