6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“瞬时变化率与导数”核心知识点，从平均变化率类比引入瞬时变化率，通过极限定义函数在某点处的导数，再结合实例阐释导数的实际意义，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以生活实例（区间测速、瞬时油耗）导入，用数学眼光观察现实世界，通过即时练、例题推导培养数学思维（推理、运算），结合水管流量、圆面积变化率等实例用数学语言表达现实。课中辅助概念理解，课后练习助学生查漏补缺。

6．1.2　导数及其几何意义 第1课时　瞬时变化率与导数 新课导入 学习目标 　　在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，这里讲的不管是百公里油耗，还是瞬时油耗，都是变化率问题． 1.理解瞬时变化率的意义，会求运动方程的瞬时速度． 2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的导数． 3．理解导数的实际意义． 一　瞬时变化率 思考　类比平均速度与瞬时速度的关系，试问瞬时变化率如何定义？ 提示：瞬时变化率为 ＝ . [知识梳理] 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝c(c为常数)在区间上的瞬时变化率为0.(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数在区间上函数值变化快慢的量．(　　) (3)在瞬时变化率中，Δt可以为零．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝x2在x＝1处的瞬时变化率为(　　) A．2　　　　　　　　　 B． C．－ D．1 解析：选A.函数y＝x2在x＝1处的瞬时变化率为 ＝ ＝2.故选A. 3．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f＝________． 解析：由题知，－8＝ ＝ ＝4x0， 解得x0＝－2， 所以f＝f＝2×2＋1＝9. 答案：9 　 函数的瞬时变化率即求当Δx→0时，函数平均变化率＝无限接近的常数，即 . 二　函数在某点处的导数 [知识梳理] 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为k，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k.即f′(x0)＝_． 点拨　(1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在． (2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.当Δx＞0(或Δx＜0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0. (3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量． [例1] (对接教材例1)利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 【解】　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx， 于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1. 　 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . [跟踪训练1] (1)函数y＝在x＝1处的导数为________． 解析：因为Δy＝－ ＝＝， 所以＝， 所以 ＝ ＝－2. 即函数y＝在x＝1处的导数为－2. 答案：－2 (2)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为a，则 的值为________． 解析： ＝2 ＝2f′(x0)＝2a. 答案：2a 三　导数的实际意义 [例2] 一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y＝f(t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8).计算在2 s和6 s时，水管流量函数的瞬时变化率，并说明它们的实际意义． 【解】　当t＝2时，＝ ＝ ＝＝Δt＋11. (Δt＋11)＝11. 当t＝6时， ＝ ＝ ＝＝Δt＋19. (Δt＋19)＝19. 所以在2 s和6 s时，水管流量函数的瞬时变化率分别为11 m3/s 和19 m3/s.它说明在2 s时，时间的改变量的绝对值|Δt|很小时，水流量的改变量的近似值为11Δt m3；在6 s时，时间的改变量的绝对值|Δt|很小时，水流量的改变量的近似值为19Δt m3. 　 (1)实际问题中的瞬时变化率问题，就是相应函数在某点处的导数问题． (2)解释f′(x0)的实际意义，即当自变量x＝x0处的改变量的绝对值|Δx|很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. [跟踪训练2] 圆的面积在半径为2时的瞬时变化率为________，其实际意义为________． 解析：圆的面积公式为S＝S(r)＝πr2，当半径r从2变到2＋Δr时的平均变化率为＝＝＝πΔr＋4π， (πΔr＋4π)＝4π， 所以r＝2时S的瞬时变化率为4π，这一瞬时变化率的实际意义为在半径r＝2时，半径的改变量的绝对值|Δr|很小时，圆的面积的改变量的近似值为4πΔr. 答案：4π　在半径r＝2时，半径的改变量的绝对值|Δr|很小时，圆的面积的改变量的近似值为4πΔr 1．(教材P74练习AT1改编)设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 解析：选C.f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a. 2．(多选)已知直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，则下列关于 的说法错误的是(　　) A．从时刻t到t＋Δt时物体的平均速度 B．从时刻t到t＋Δt时位移的平均变化率 C．当时刻为Δt时该物体的速度 D．该物体在t时刻的瞬时速度 解析：选ABC.表示t到t＋Δt时，物体的位移的平均变化率，即速度，而 表示物体在t时刻的瞬时速度，只有D正确，A，B，C均错误．故选ABC. 3．一物体的运动方程为v(t)＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时加速度为1. 解析：设物体在t＝t0处的瞬时加速度为1. ＝＝7Δt＋14t0， 当 (7Δt＋14t0)＝14t0＝1时，t0＝. 答案： 4．(教材P74T4改编)已知某产品的总成本函数为C＝2Q2＋Q＋3，其中Q为产量，总成本函数在Q0处的导数f′(Q0)称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示．求边际成本MC(200)，并说明它的实际意义． 解：设Q＝200时，产量的改变量为ΔQ，则＝ ＝2ΔQ＋801.则MC(200)＝ (2ΔQ＋801)＝801， 即产量为200时的边际成本为801，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加801. 　 1．已学习：函数的瞬时变化率、函数在某点处的导数、导数的实际意义． 2．须贯通：(1)瞬时变化率是平均变化率在自变量的改变量趋近于0时的极限值； (2)导数的实际意义应根据不同的函数的实质，给出相应的解释． 3．应注意：平均变化率与瞬时变化率的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $