6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，前承导数定义，后接导数应用，通过导函数概念阐释、常数与幂函数导数推导、完整导数公式表（含指对、三角函数）构建知识支架，辅以“微点助解”提炼公式记忆规律。 该资料采用梯度进阶式教学设计，从基础落实训练到求导、切线方程、物理运动等题型应用，培养学生数学思维（公式推理）与数学眼光（实际问题转化），课中助力分层教学，课后训练帮助学生巩固公式应用，查漏补缺。

6.1.3　基本初等函数的导数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能根据导数的定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 1.导函数 一般地，如果函数y=f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y=f（x）的导函数，记作f'（x）（或y'，y'x），即f'（x）=y'=y'x=.导函数通常也简称为导数. 2.常数函数与幂函数的导数 原函数 导函数 f（x）=C（C为常数） f'（x）=0 f（x）=x f'（x）=1 f（x）= f'（x）=- f（x）=（x>0） f'（x）= 3.导数公式表 原函数 导函数 f（x）=C（C为常数） f'（x）=0 f（x）=xα f'（x）=αxα-1 f（x）=ax（a>0且a≠1） f'（x）=axln a f（x）=logax（a>0且a≠1） f'（x）= f（x）=sin x f'（x）=cos x f（x）=cos x f'（x）=-sin x f（x）=ex f'（x）=ex f（x）=ln x f'（x）= |微|点|助|解| 关于几个基本初等函数导数公式的特点 （1）正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，（符号）正同余反”. （2）指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. （3）对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 基础落实训练 1.已知f（x）=cos 30°，则f'（x）的值为 （　　） A.- B. C.- D.0 解析：选D　∵f（x）=cos 30°=，因此，f'（x）=0. 2.若f（x）=，则f'（1）等于 （　　） A.0 B.- C.3 D. 解析：选D　因为f（x）=，则f'（x）=，所以f'（1）=. 3.已知函数f（x）=x3，f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x0）=12，则x0= （　　） A.2 B.-2 C.±2 D.± 解析：选C　依题意f'（x）=3x2，故3=12，解得x0=±2. 题型（一）　求基本初等函数的导数 [例1]　 求下列函数的导数： （1）y=x-3；（2）y=3x；（3）y= ； （4）y=lox；（5）y=cos； （6）y=sin；（7）y=ln x；（8）y=ex. 解：（1）y'=-3x-4. （2）y'=3xln 3. （3）y= = =，∴y'== . （4）y'==-.（5）y=sin x，y'=cos x. （6）y'=0.（7）y'=.（8）y'=ex. 　　|思|维|建|模| 求简单函数的导函数有两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂. （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 　　[针对训练] 1.求下列函数的导数： （1）y=6x；（2）y=x2； （3）y=cos2-sin2. 解：（1）y'=（6x）'=6xln 6. （2）y'=（x2）'=（）'==. （3）∵y=cos2-sin2=cos x，∴y'=（cos x）'=-sin x. 2.已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1）在x=2处的导数为，求底数a的值. 解：f'（x）=（logax）'=，由题得f'（2）==， 所以ln a=ln 2，得a=2. 题型（二）　利用导数公式求曲线的切线方程 [例2]　已知曲线y=ln x，点P（e，1）是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'=，所以当x=e时，y'=，即切线斜率为，所以切线方程为y-1=（x-e），即x-ey=0. 　　[变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，求k的值. 解：设切点坐标为（x0，y0）， 由题意得当x=x0时，y'==k， 又解得∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：因为点O（0，0）不在曲线上，所以设切点为Q（a，b），则切线斜率k=，又因为k=，且b=ln a，所以a=e，b=1，所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围. 解：问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象（图略）易知m≤0满足条件.另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.因为y=mx的图象过（0，0）， 设切点为Q（a，b），则切线斜率m=，又因为m=，且b=ln a， 所以a=e，b=1，m=， 即m的取值范围为（-∞，0]∪. 　　|思|维|建|模| 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 　　[针对训练] 3.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 （　　） A.e2 B.2e2 C.e2 D. 解析：选D　y'=ex，在点（2，e2）处的切线为y-e2=e2（x-2），截距分别为-e2，1，故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=. 4.在曲线y=f（x）=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P（x0，y0），f'（x0）=-2=tan 135°=-1，即-2=-1，∴x0= . 代入曲线方程得y0=，∴点P的坐标为. 题型（三）　导数公式的实际应用 [例3]　质点的运动方程是s=sin t，则质点在t=时的速度为　　　　，质点运动的加速度为　　　　.  解析：v（t）=s'（t）=cos t，∴v=cos =，即质点在t=时的速度为.∵v（t）=cos t，∴加速度a（t）=v'（t）=（cos t）'=-sin t. a=-sin=-. 答案：　- 　　|思|维|建|模| 　　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 　　[针对训练] 5.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为y=，则在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为　　　　mm/min.  解析：因为y=f（t）==，所以f'（t）=（）'=，所以f'（4）=×=，故在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 mm/min. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $