6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

6.1.3　基本初等函数的导数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.能根据导数的定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数.

2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题.

 

1.导函数

一般地，如果函数y=f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y=f（x）的导函数，记作f'（x）（或y'，y'x），即f'（x）=y'=y'x=.导函数通常也简称为导数.

2.常数函数与幂函数的导数

3.导数公式表

|微|点|助|解|

关于几个基本初等函数导数公式的特点

（1）正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，（符号）正同余反”.

（2）指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数.

（3）对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.

基础落实训练

1.已知f（x）=cos 30°，则f'（x）的值为 （　　）

A.- B.

C.- D.0

解析：选D　∵f（x）=cos 30°=，因此，f'（x）=0.

2.若f（x）=，则f'（1）等于 （　　）

A.0 B.-

C.3 D.

解析：选D　因为f（x）=，则f'（x）=，所以f'（1）=.

3.已知函数f（x）=x3，f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x0）=12，则x0= （　　）

A.2 B.-2

C.±2 D.±

解析：选C　依题意f'（x）=3x2，故3=12，解得x0=±2.

 

题型（一）　求基本初等函数的导数

[例1]　 求下列函数的导数：

（1）y=x-3；（2）y=3x；（3）y= ；

（4）y=lox；（5）y=cos；

（6）y=sin；（7）y=ln x；（8）y=ex.

解：（1）y'=-3x-4.

（2）y'=3xln 3.

（3）y= = =，∴y'== .

（4）y'==-.（5）y=sin x，y'=cos x.

（6）y'=0.（7）y'=.（8）y'=ex.

　　|思|维|建|模|

求简单函数的导函数有两种基本方法

（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂.

（2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.

　　[针对训练]

1.求下列函数的导数：

（1）y=6x；（2）y=x2；

（3）y=cos2-sin2.

解：（1）y'=（6x）'=6xln 6.

（2）y'=（x2）'=（）'==.

（3）∵y=cos2-sin2=cos x，∴y'=（cos x）'=-sin x.

2.已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1）在x=2处的导数为，求底数a的值.

解：f'（x）=（logax）'=，由题得f'（2）==，

所以ln a=ln 2，得a=2.