5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学等比数列前n项和的性质及应用，通过类比等差数列性质引入，系统梳理Sₙ₊ₘ=Sₙ+qⁿSₘ、片段和成等比、奇偶项和关系等核心性质，构建从性质理解到递推判断再到实际应用的知识支架。 资料以类比思想培养数学眼光，通过例题解析与跟踪训练发展推理运算能力（数学思维），结合存钱买车、小球落地等案例强化模型意识（数学语言）。课中助力教师高效授课，课后练习题覆盖不同情境，帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧． 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． [知识梳理] 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 2．若数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在前2n项中，＝q. (2)在前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． [例1] (1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则S12＝(　　) A．27 B．39 C．81 D．120 (2)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 【解析】　(1)由题知，S3＝3，S6－S3＝9， 因为数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，所以S9－S6＝27，S12－S9＝81，所以S12＝S9＋81＝S6＋27＋81＝S3＋9＋27＋81＝120.故选D. (2)设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， 则S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝qS奇，由S2n＝3S奇，得(1＋q)S奇＝3S奇，因为an>0，所以S奇>0，所以1＋q＝3，解得q＝2. 【答案】　(1)D　(2)2 利用等比数列前n项和的性质解题的注意点 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体代换思想是解题的关键． [跟踪训练1] (1)已知等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(　　) A．28 B．48 C．36 D．52 解析：选A.设等比数列{an}的前n项和为Sn， 则依题意有Sm＝4，S2m＝12，则Sm≠0，且S2m－Sm≠0， 根据等比数列前n项和的性质有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列， 所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)，即(12－4)2＝4(S3m－12)，解得S3m＝28.故选A. (2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝________． 解析：因为等比数列{an}有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，设公比为q， 得到奇数项的和为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝85， 偶数项的和为q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝42， 整体代入上式得q＝2， 所以前2n＋1项的和为＝85＋42＝127，解得n＝3. 答案：3 二　利用Sn与an的递推关系判断等比数列 [例2] 已知数列中，a1＝1，Sn是数列的前n项和，且对任意n∈N＋，有an＋1＝kSn＋1(k为常数). (1)当k＝2时，求a2，a3的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【解】　(1)由题意可得，a2＝2S1＋1＝3，a3＝2S2＋1＝2×(1＋3)＋1＝9. (2)当n≥2时，an＝kSn－1＋1. 由an＋1＝kSn＋1，an＝kSn－1＋1两式相减得an＋1＝(k＋1)an. 当k＝－1时，不是等比数列； 当k≠－1时，可得＝k＋1，当n＝1时，a1＝1，a2＝kS1＋1＝k＋1，所以＝k＋1，故对任意的n∈N＋都有＝k＋1，此时数列是等比数列． 综上，当k＝－1时，不是等比数列；当k≠－1时，是等比数列． 给出等比数列前n 项和Sn与第n项an之间的递推关系式，判断an是否为等比数列的常见做法是：用n－1代换n，得到另一个等式，然后两式作差，利用Sn－Sn－1＝an，可以得到一个关于项之间的递推关系，根据递推关系就可以判断该数列是否为等比数列． [跟踪训练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，n∈N＋. (1)证明：{an}为等比数列，并写出它的通项公式； (2)若正整数m满足不等式Sm≤500，求m的最大值． 解：(1)因为Sn＝2an－2，① 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2，解得a1＝2， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，② ①－②得an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)， 即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以＝2，n≥2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n. (2)由(1)可知Sn＝2n＋1－2，因为Sm≤500，所以2m＋1－2≤500，即2m＋1≤502＜512＝29，解得m＋1<9，所以m<8，因为m∈N＋，所以m的最大值为7. [例3] (对接教材例5)小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存1万元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为a1万元，小华第n个月当月存入的金额为an万元． (1)求小华前3个月的总存款金额； (2)若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月的钱才能全款购买这辆汽车．(参考数据：1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30) 【解】　(1)依题意，a1＝1万元，a2＝a1(1＋20%)＝1.2a1万元，a3＝1.2a2万元， 则an＋1＝1.2an，即数列{an}是首项为1，公比为1.2的等比数列，所以an＝1.2n－1，所以小华前3个月的总存款金额为a1＋1.2a1＋1.22a1＝3.64a1＝3.64(万元). (2)由(1)知an＝1.2n－1，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝，由≥11，可得1.2n≥3.2，又1.26≈2.99，1.27≈3.58，所以n≥7，即小华至少要存7个月的钱才能全款购买这辆汽车． 求解等比数列前n项和的实际应用题的基本步骤 (1)认真审题，建立等比数列的数学模型，将实际问题转化为等比数列的前n项和的问题； (2)利用等比数列的前n项和公式求出数学问题的解； (3)将求得的数学问题的解转化为实际问题． [跟踪训练3] 如图，一个小球从10 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的. (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ (2)小球第几次落地时，经过的路程为 m? 解：(1)设小球第1次落地时经过的路程为a1 m，第(n－1)次落地到第n次落地时经过的路程为anm(n≥2，n∈N＋)，则a1＝10，a2＝10××2，a3＝10××2，…，当n≥2时，我们可以得到递推关系an＋1＝an，a2＝. 这是一个首项为，公比为的等比数列． 因此an＝a2·＝(n≥2)，且a1＝10. 所以小球第10次落地时，经过的路程为S10＝a1＋a2＋…＋a10＝10＋20×[＋＋…＋]＝10＋20×＝20－(m). (2)设小球第m次落地时，经过的路程为 m，由于Sm＝a1＋a2＋…＋am＝10＋20×＝20－，因此20－＝，解得m＝4. 所以当小球第4次落地时，经过的路程为 m． 1．(教材P59T3改编)已知等比数列{an}的公比为－，前n项和为Sn.若S2m＝31，Sm＝32，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 解析：选C.根据等比数列前n项和的性质得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，且公比为qm，所以＝qm，即＝(－)m，解得m＝5.故选C. 2．在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20＝(　　) A．10 B．18 C．36 D．40 解析：选D.易知S10＝10，S30＝130，因为S10，S20－S10，S30－S20为等比数列，所以(S20－S10)2＝S10×(S30－S20)，代入数据可得(S20－10)2＝10×(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，所以S20＝40.故选D. 3．已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________． 解析：因为在等比数列中，若项数为2n， 则＝q， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100) ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99) ＝90＋×90＝120. 答案：120 4．(2025·葫芦岛月考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为________． 解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前n项和Sn＝＝2n＋1－2. 由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102. 由于26＝64，27＝128， 则n＋1≥7，即n≥6，故需要的最少天数为6. 答案：6 1．已学习：等比数列前n项和公式的性质、等比数列前n项和公式的应用． 2．须贯通：灵活利用等比数列的项的性质以及前n项和的性质解题，可以提升解题速度和准确度． 3．应注意：应用公式和性质时易忽略其成立的条件． 　 学科网（北京）股份有限公司 $