5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，通过对比等差数列倒序相加法，引导学生用错位相减法推导公式，明确q=1与q≠1两种情况的表达式，梳理a₁、q、n、aₙ、Sₙ五个量的关系及前n项和的函数特征（正比例或指数型）。 以“借钱还款”生活情境导入培养数学眼光，通过思考问题链引导自主推导发展数学思维，例题与分层练习结合提升数学语言表达能力。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固公式应用，查漏补缺。

5．3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 新课导入 学习目标 　　甲到乙家借钱，原以为乙会不愿意，谁知乙竟一口答应，但提出如下附加条件：在30天中，每天供给甲10万元，借钱第一天，甲还给乙1分钱，第二天还2分钱，以后每天还的钱都是前一天的2倍，30天后互不相欠．甲听后，觉得挺划算，本想定下来，但又想到乙以吝啬出名，怕上当受骗，所以很为难．请同学们帮他拿拿主意． 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等比数列的前n项和公式． 3．熟练掌握等比数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 4．理解等比数列前n项和的函数特征． 思考1　对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，如何求其前n项和Sn呢？ 提示：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项， 两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 当q≠1时，Sn＝，当q＝1时，Sn＝na1. 思考2　当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，你能依据上式推导等比数列{an}的前n项和公式吗？ 提示：根据等比数列的性质，有＝＝q，所以(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝. [知识梳理] 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一：Sn＝ 公式二：Sn＝ [即时练] 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝(　　) A．93 B．－93 C．45 D．－45 解析：选A.S5＝＝＝93. 2．(多选)已知{an}是首项为，公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．q＝1或2 C．a3＝ D．a2＋a3＝2 解析：选ACD.因为9S3＝S6，所以q≠1，所以9×＝，所以9＝1＋q3，解得q＝2，故A正确，B错误；a2＝a1q＝，a3＝a1q2＝，a2＋a3＝2，故C，D正确．故选ACD. 3．(2025·新课标Ⅰ卷)若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________． 解析：设该等比数列的首项为a1，公比为q，由题意知q≠1，所以所以1＋q4＝17，即q4＝16，解得q＝±2. 答案：±2 4．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________． 解析：由题意知在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8， 设公比为q，则a4＝a1q3＝－8，即q＝－2，故an＝(－2)n－1， 则|an|＝2n－1，则{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列， 故|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝1＋2＋4＋…＋2n－1 ＝＝2n－1. 答案：2n－1 求等比数列的前n项和时，需对公比q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和． [例1] 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，则 (1)若S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 【解】　(1)由题意知 解得或 从而Sn＝·5n＋1－ 或Sn＝. (2)方法一：由已知条件得 两式相除解得 方法二：由公式Sn＝及条件得189＝，解得a1＝3，又由an＝a1qn－1，得96＝3×2n－1，解得n＝6. 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体． [跟踪训练1] (2025·东营月考)已知数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn. (1)若q＝，S6＝，求a1； (2)若a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn； (3)若a1＝1，S6＝4S3，求Sn. 解：(1)S6＝＝，解得a1＝24. (2)设{an}的公比为q，由题设得 解得或 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. (3)设等比数列{an}的公比为q， 当q＝1时，S6＝6≠4S3＝12，不符合题意； 当q≠1时，由S6＝4S3，得＝， 所以1－q6＝4(1－q3)，则(q3－1)(q3－3)＝0， 则q3＝3或q3＝1(舍去)， 解得q＝3， 所以Sn＝. [知识梳理] 1．当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是关于n的指数型函数． 2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． [例2] (对接教材例3)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否为等比数列． 【解】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不符合上式． 所以an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 母题探究　已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，求a与{an}的通项公式． 解：方法一：当n＝1时，a1＝S1＝3＋a； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋a)－(3n－1＋a)＝2×3n－1. 此时＝＝3， 即当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列． 由题意知，a1应满足an＝2×3n－1， 即3＋a＝2×30，解得a＝－1. 综上，a＝－1，{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 方法二：当q≠1时，等比数列{an}的前n项和满足Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，由Sn＝3n＋a可得a＝－1，q＝3.当n＝1时，a1＝S1＝3－1＝2，所以an＝2×3n－1. 综上，a＝－1，{an}的通项公式为an＝2×3n－1. (1)已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证n＝1时是否满足此式． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． [跟踪训练2] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·2n－1＋，则m＝________． 解析：方法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝m·2n－1＋－m·2n－2－＝m·2n－2， 显然m＝0不合题意， 可得＝＝2； 当n＝1时，a1＝S1＝m＋. 若{an}为等比数列，则a1＝m＋≠0， 且＝＝2，解得m＝－. 方法二：因为Sn＝m·2n－1＋＝·2n＋，结合等比数列{an}的前n项和的结构特征可得＝－，解得m＝－. 答案：－ 1．(教材P41T1改编)已知数列{an}是公比为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝2，a4＝8，则S3＝(　　) A．63 B．31 C．15 D．7 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q， 由题意q>0，a4＝a2q2，即8＝2q2，解得q＝2， 于是a1＝＝1， 故S3＝＝＝7.故选D. 2．(多选)(教材P42练习AT3改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3a1，则数列{an}的公比可能是(　　) A．1 B．－2 C．3 D． 解析：选AB.设数列{an}的公比为q，若q＝1，则S3＝3a1，满足题意； 若q≠1，由S3＝3a1，得＝3a1，解得q＝－2， 综上，q＝1或q＝－2.故选AB. 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ3n－1，则a4＝________．解析：当n＝1时，则S1＝a1＝3λ－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λ(3n－3n－1)＝2λ·3n－1. 又因为{an}是等比数列，所以公比q＝3，a1＝2λ， 所以2λ＝3λ－1，解得λ＝1，所以an＝2×3n－1，所以a4＝54. 答案：54 4．已知等比数列{an}的公比q＝2，记其前n项和为Sn，且a2，a3＋3，a4成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求{Sn}的前n项和Tn. 解：(1)因为a2，a3＋3，a4成等差数列， 所以2(a3＋3)＝a2＋a4，得2a3＋6＝＋a3q， 即2a3＋6＝＋2a3，解得a3＝12， 所以an＝a3qn－3＝12×2n－3＝3×2n－1. (2)由(1)知a1＝3×21－1＝3， 所以Sn＝＝3×2n－3， 则Tn＝－3n＝3×2n＋1－6－3n. 1．已学习：等比数列前n项和公式的推导及运算，等比数列前n项和公式的结构特点． 2．须贯通：(1)公式的推导利用了错位相减法； (2)计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程(组)求解，这里运用了方程的思想． 3．应注意：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． 　 学科网（北京）股份有限公司 $