5.3.1 第2课时 等比数列的性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列性质这一核心知识点，系统梳理等比中项概念、下标和相等项乘积相等的性质、对称设元技巧及等差等比综合应用。通过思考引入、知识梳理、即时练、例题解析构建学习支架，实现从概念理解到综合应用的递进。 该资料以问题驱动培养数学眼光，通过“思考”引导学生发现等比中项存在条件，类比等差数列性质发展推理意识。例题中整体代换等技巧提升运算能力，课中辅助教师引导探究，课后练习题和总结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　等比数列的性质 思考　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项． [知识梳理] 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项． [即时练] 1．3－2与3＋2的等比中项为__________． 解析：3－2与3＋2的等比中项为±＝±1. 答案：±1 2．若a，b，c均为实数，试从①b2＝ac；②b＝；③＝中选出“a，b，c成等比数列”的充要条件为________．(填序号) 解析：由等比数列的定义可知：a，b，c成等比数列⇔＝⇔＝⇒b2＝ac⇒b＝±. 答案：③ 3．若公差不为0的等差数列满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a5成等比数列，所以a＝a1a5.又因为a3＝5，则＝(a3－2d)(a3＋2d)，即(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，则a1＝a3－2d＝1. 答案：1 4．已知数列满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列．证明：为等比数列． 证明：因为lg an ，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，所以2lg an＋1＝lg an＋lg an＋2， 所以a＝anan＋2，即数列为等比数列． 对等比中项的理解 (1)若G2＝xy，则x，G，y不一定成等比数列；只有同号的两个不为0的实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． (3)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列． 思考　我们知道，如果数列{an}为等差数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.类比等差数列，若数列{an}为等比数列，则有什么类似的结论？ 提示：如果数列{an}为等比数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. [知识梳理] 1．一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq．特别地，如果2s＝p＋q，则a＝apaq. 2．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 点拨　等比数列的性质可以推广为： 当m＋n＋s＝x＋y＋z(m，n，s，x，y，z∈N＋)时，amanas＝axayaz. [例1] (1)在等比数列{an}中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，则a13＝________． (2)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，则＋＋＋＋＋＋＋＝________． 【解析】　(1)由题意得，a2a6＝a1a7＝8，结合a1＋a7＝9，以及an＜an＋1可得a1＝1，a7＝8，设等比数列{an}的公比为q，则q6＝＝8，故a13＝a7q6＝8×8＝64. (2)因为等比数列{an}中，a4a5＝－， 而a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝－， 所以＋＋＋＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8) ＝－×＝－6. 【答案】　(1)64　(2)－6 应用等比数列性质的解题策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题． (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的序号之间的关系，充分利用等比数列项的运算性质进行求解． [跟踪训练1] (1)(2023·全国乙卷)已知为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 解析：设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2. 答案：－2 (2)在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2＋2log2a6＋log2a10＝________． 解析：在正项等比数列{an}中，因为a4a8＝2， 可得a＝a2a10＝a4a8＝2， 则log2a2＋2log2a6＋log2a10＝log2(a2a10)＋log2a ＝log22＋log22＝2. 答案：2 角度1　对称设项求数列的项 [例2] (对接教材例7)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 【解】　根据题意设前三个数依次为，x，xq， 则·x·xq＝216，解得x＝6， 设后三个数依次是6，6＋d，6＋2d， 则6＋(6＋d)＋(6＋2d)＝12， 解得d＝－2. 所以后三个数分别是6，4，2. q＝＝，所以第一个数为6÷＝9. 综上可得，这四个数分别是9，6，4，2. 等比数列设元技巧 (1)某两个数是等比数列中的连续两个数且知其积，可设这两个数为 , aq，公比为q2； (2)若三个数成等比数列，常设成 ，a，aq或a，aq，aq2； (3)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2；若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3. [跟踪训练2] 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得 解得 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 答案：45 角度2　等差、等比数列的综合应用 [例3] 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S1＋1，S3，S4成等差数列，a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比q. 【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0). 由已知可得 即又d≠0， 解得 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N＋. (2)由(1)可得Sn＝＝n2， 所以S4＝42＝16，S6＝62＝36. 因为S4，S6，Sn成等比数列， 所以S＝S4·Sn， 所以362＝16n2，解得n＝9， 所以此等比数列的公比q＝＝. 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想． (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题． (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系． [跟踪训练3] (2025·抚顺月考)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 则an＝a1qn－1. 由已知得解得 所以{an}的通项公式为an＝3n－1. (2)由(1)知log3an＝n－1，故Sn＝. 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得，m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0， 解得m＝－1(舍去)，m＝6. 1．(教材P37T5改编)在等比数列中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝(　　) A．6 B．9 C．±6 D．±9 解析：选A.因为a5a7a9a11＝a＝36，所以a＝6(负值已舍去)，所以a2a14＝a＝6.故选A. 2．(多选)已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前3项，则数列{an}的第4项可能是(　　) A．8 B．2 C． D． 解析：选AC.不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前3项为1，2，4，则第4项为8；若数列前3项为4，2，1，则第4项为.故选AC. 3．(教材P36练习AT3改编)已知3为a，b的等差中项，2为a，b的等比中项，则＋＝________． 解析：由等差、等比中项可得a＋b＝6，ab＝4， 所以＋＝＝＝. 答案： 4．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＞0，a4a6＝4，求a3. 解：(1)设{an}的公比为q，因为a1为a2，a3的等差中项，所以2a1＝a2＋a3，a1≠0，所以q2＋q－2＝0， 因为q≠1，所以q＝－2. (2)因为a1＞0，a4a6＝4，由等比数列的性质可得： a4a6＝a＝4，所以a5＝2(负值舍去). 所以a3＝＝＝. 1．已学习：等比中项的概念、等比数列的性质及应用、等差数列与等比数列的综合问题． 2．须贯通：(1)灵活利用等比数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；(2)解决等差、等比数列综合问题，一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的性质求解． 3．应注意：等比数列中，下标和相等的项的积相等，要求等式两边项的个数必须相同． 学科网（北京）股份有限公司 $