5.3.1 第2课时 等比数列的性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列性质，涵盖等比中项、项的乘积性质及等差等比综合问题。通过类比等差数列的思考导入，如“若k+l=m+n，等比数列是否有类似ak·al=am·an的结论”，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于采用“思考-梳理-提升”结构，以等比中项探究培养数学眼光，通过类比推理发展数学思维，结合例1等符号运算强化数学语言。帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学，提升学生逻辑推理与问题解决能力。

第2课时　等比数列的性质 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 3 一　等比中项 思考　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 返回导航 [知识梳理] 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项． 返回导航 ±1 返回导航 ③ 返回导航 1 返回导航 返回导航 对等比中项的理解 (1)若G2＝xy，则x，G，y不一定成等比数列；只有同号的两个不为0的实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． (3)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列． 返回导航 二 　等比数列的性质 思考　我们知道，如果数列{an}为等差数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.类比等差数列，若数列{an}为等比数列，则有什么类似的结论？ 提示：如果数列{an}为等比数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. 返回导航 [知识梳理] 1．一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则___________．特别地，如果2s＝p＋q，则a2s＝apaq. 2．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝__________＝…＝___________＝…. 点拨　等比数列的性质可以推广为： 当m＋n＋s＝x＋y＋z(m，n，s，x，y，z∈N＋)时，amanas＝axayaz. asat＝apaq a2·an－1 ak·an－k＋1 返回导航 [例1] (1)在等比数列{an}中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，则a13＝________． 64 返回导航 －6 返回导航 返回导航 应用等比数列性质的解题策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题． (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的序号之间的关系，充分利用等比数列项的运算性质进行求解． 返回导航 解析：设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2. －2 返回导航 (2)在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2＋2log2a6＋log2a10＝________． 2 返回导航 三　等差数列与等比数列的综合问题 角度1　对称设项求数列的项 [例2] (对接教材例7)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 返回导航 返回导航 返回导航 [跟踪训练2] 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 45 返回导航 角度2　等差、等比数列的综合应用 [例3] 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S1＋1，S3，S4成等差数列，a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； 返回导航 返回导航 (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比q. 返回导航 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想． (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题． (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系． 返回导航 [跟踪训练3] (2025·抚顺月考)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通项公式； 返回导航 (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 4．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＞0，a4a6＝4，求a3. 返回导航 1．已学习：等比中项的概念、等比数列的性质及应用、等差数列与等比数列的综合问题． 2．须贯通：(1)灵活利用等比数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；(2)解决等差、等比数列综合问题，一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的性质求解． 返回导航 $