5.3.1 第1课时 等比数列的定义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列的定义、通项公式、单调性及判定方法，通过《孙子算经》“出门望九堤”问题和细胞分裂等实例导入，类比等差数列推导通项公式，构建从概念理解到性质应用的完整学习支架。 资料以传统文化激发兴趣体现数学眼光，通过类比推理培养数学思维，结合即时练、例题及跟踪训练强化数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

5．3　等比数列 5．3.1　等比数列 新课导入 学习目标 　　我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问：各几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.这个数列有何特点？ 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2．理解等比中项的概念． 3．能应用等比数列通项公式及性质进行简单运算． 4．掌握等比数列的判定及证明方法． 5．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 第1课时　等比数列的定义 观察下面几个问题中的数列，回答问题． (1)细胞分裂个数可以组成数列：1，2，4，8，…； (2)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂，……，依次排成一列数：－，，－，…. 　思考　类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？ 提示：对于(1)，＝2，＝2，＝2，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2；对于(2)，＝－，＝－，…；也有相同的取值规律(从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数). [知识梳理] 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)(2025·辽阳月考)下列数列中一定是等比数列的有(　　) A．1，1，2，4，8，16，32，64 B．在数列{an}中，已知＝2，＝2 C．数列{an}的通项公式为an＝3×2n D．在数列{an}中，＝q，其中n∈N＋ 解析：选CD.对于A，＝1≠＝2，不符合定义中“同一个常数”，故不是等比数列； 对于B，不一定是等比数列，当数列{an}的项数超过3时，只知道前三项的每一项与前一项的比值相等，后面的项与前一项的比值情况不知，不一定符合定义中“每一项”； 对于C，因为当n≥2，n∈N＋时，＝＝2(常数)，所以数列{an}为等比数列，且公比q＝2； 对于D，在数列{an}中，对任意n∈N＋，有＝q恒成立，那么{an}是等比数列． 3．若－1，2，a，b成等比数列，则a＋b＝________． 解析：根据题意，有＝＝， 解得a＝－4，b＝8， 所以a＋b＝＋8＝4. 答案：4 对等比数列概念的理解 (1)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (2)注意作商次序，且比值必须是同一个常数． (3)等比数列中任意一项都不能为0，公比可以为正数、负数，但不能为0. 思考　类比等差数列通项公式的推导过程，试根据等比数列的定义推导它的通项公式． 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 方法一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 方法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． [知识梳理] 一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项公式为an＝a1qn－1． 点拨　通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋). [例1] (对接教材例2)已知各项均为负数的等比数列的公比q＝，a2a5＝. (1)求的通项公式； (2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 【解】　(1)因为为等比数列，且公比q＝. 又a2a5＝a1q·a1q4＝a·q5＝a·()5＝， 所以a＝. 又数列中各项均为负数，所以a1＝－， 所以an＝a1qn－1＝－·()n－1＝－()n－2. (2)令an＝－()n－2＝－，解得n＝6， 故－是这个等比数列中的项，且是数列的第6项． (1)等比数列的通项公式共涉及4个量a1，an，n，q，知三求一，解题时通常列方程(组)来解决．其中a1和q是等比数列的两个基本量，解题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出． (2)通项公式不仅能求数列的任何一项，还可以判断某数是否在数列中，此类问题往往利用数列的项数为整数这一特点来判断． [跟踪训练1] 已知数列{an}是公比为q的等比数列． (1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式； (2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10－4，求n. 解：(1)方法一：由等比数列的通项公式可知， 两式相除得q3＝27，即q＝3.所以a1＝. 因此，数列{an}的通项公式是an＝×3n－1＝2×3n－2. 方法二： 因为a5＝a2q3＝2q3＝54，所以q3＝27，所以q＝3，所以an＝a2qn－2＝2×3n－2. (2)因为a1＝125，q＝0.2， 所以an＝a1qn－1＝125×＝54－n. 又an＝3.2×10－4＝3.2×2－4×5－4＝5－5， 因此54－n＝5－5，解得n＝9. [知识梳理] 1．等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)，当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (1)当q＝1时，函数f(x)是常数函数，此时数列{an}是常数列； (2)当q≠1时，函数f(x)的增减性既与a1有关，也与q有关． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． [例2] (1)已知数列{an}是等比数列，且公比q＞0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知等比数列是单调数列，若a1＝243，a5＝3，则an＝________． 【解析】　(1)当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立， 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件． (2)设等比数列的公比为q， 则有 解得q＝或q＝－， 当q＝－时，数列不是单调数列， 所以q＝，an＝a1qn－1＝35×n－1＝36－n. 【答案】　(1)D　(2)36－n 等比数列单调性的判断 若数列{an}是等比数列，公比是q. (1)当q<0时，数列{an}正负项相间，奇数项符号相同，偶数项符号相同． (2)当q＝1时，数列{an}为常数列． (3)当q>0时，数列{an}各项符号相同，单调性如下： ①当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增数列． ②当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减数列． ③当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减数列． ④当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增数列． [跟踪训练2] (1)若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立；反之，例如数列{(－1)n＋12n}，满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列，所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．故选B. (2)设数列是单调的等比数列，是a3，a4的等差中项，则的公比为__________． 解析：由题意得2×＝a3＋a4，则q2＋q－1＝0，解得q＝，又因为数列是单调的等比数列． 所以q>0，所以q＝. 答案： [例3] 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.求证：数列{an}成等比数列． 【证明】　根据题意，数列{an}满足Sn＝3an＋2，① 当n＝1时，有S1＝3a1＋2， 所以a1＝－1， 当n≥2时，因为Sn＝3an＋2， 所以Sn－1＝3an－1＋2，② ①－②得an＝3an－3an－1， 即2an＝3an－1. 由a1＝－1≠0，得an≠0， 所以＝(n≥2，n∈N＋)， 由等比数列定义知数列{an}是首项为－1，公比为的等比数列． 判断一个数列是否为等比数列的常用方法 (1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． (2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列． [跟踪训练3] 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)证明：数列{an＋4}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为a1＝－2，所以a1＋4＝2. 因为an＋1＝2an＋4， 所以an＋4≠0，an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， 所以＝2， 所以数列{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知an＋4＝2n，所以an＝2n－4. 1．(教材P36练习AT4改编)已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则公比q＝(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 解析：选D.依题意a4＝a1q3＝q3＝－8，解得q＝－2.故选D. 2．(多选)(教材P36练习BT3改编)已知等比数列是递增数列，q是其公比，下列说法正确的是(　　) A．a1>0 B．q>0 C．a1q>0 D．a1(q－1)>0 解析：选BD.由题意知，递增的等比数列包括两种情况：当a1>0时，q>1或当a1<0时，0<q<1.故q>0，a1(q－1)>0，故选BD. 3．已知等比数列，a2＝1，a3＝3，则a5＝__________． 解析：由题意公比q＝＝3，所以a5＝a3q2＝3×32＝27. 答案：27 4．已知各项均不为零的数列{an}的前n项的和为Sn，且满足a1＝4，Sn＋1＝4Sn＋4(n∈N＋).求数列{an}的通项公式． 解：因为Sn＋1＝4Sn＋4，当n≥2时，Sn＝4Sn－1＋4，两式相减得an＋1＝4an，由S2＝a1＋a2＝4a1＋4得a2＝16，即a2＝4a1，满足上式，因此∀n∈N＋，an＋1＝4an，于是数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，an＝4×4n－1＝4n，所以数列{an}的通项公式是an＝4n. 1．已学习：等比数列的概念，等比数列的通项公式以及等比数列的判断与证明． 2．须贯通：(1)等比数列的通项公式及基本计算，通过建立关于a1和q 的方程(组)，求出a1，q后再求an；(2)等比数列单调性问题，不仅与公比q有关，更与各项的符号密切相关． 3．应注意：等比数列的各项与公比均不为零；公比q<0，数列不具有单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $