5.1.1 第2课时 数列与函数的关系（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“数列与函数的关系”核心知识点，系统梳理数列作为定义域为正整数集子集的特殊函数，其通项公式即函数解析式，并延伸至数列单调性判断（作差、作商、函数法）、最大（小）项求解及单调性参数问题，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过问题驱动（如函数值构成数列）、即时练夯实基础、多角度例题（单调性判断、最大项、参数范围）及方法总结，培养数学眼光（发现数列与函数联系）、数学思维（逻辑推理判断单调性），课中助教师高效授课，课后供学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　数列与函数的关系 思考　已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？若能，请作出数列的图象． 提示：对应的函数值分别为0，3，8，能构成一个数列．设此数列为{an}，则数列的图象如图所示． [知识梳理] 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列的定义域一定为正整数集．(　　) (2)数列的图象可以是连续的曲线．(　　) (3)数列的图象只能是离散的点．(　　) (4)数列在y轴左侧没有图象．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x) 的图象可能是(　　) 解析：选A.根据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足．故选A. 3．若函数f(x)＝x＋，数列{an}满足an＝f(n)，则a2＋a4＋a8＝________． 解析：由题知，a2＝f(2)＝10，a4＝f(4)＝8，a8＝f(8)＝10，所以a2＋a4＋a8＝28. 答案：28 用函数的有关知识解决数列问题，要注意它的定义域是N＋(或N＋的有限子集{1，2，3，…n})这一约束条件，即数列是一种特殊的函数，主要特殊在其定义域，从而使得图象和值域也具备特殊性． 思考　函数单调性可以用单调性的定义来判断，那么数列的单调性如何来判断呢？ 提示：若数列{an}满足an＋1－an＞(＜)0，∀n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增(减)数列． [知识梳理] 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；各项都相等的数列称为常数数列(简称为常数列). 角度1　数列单调性的判断 [例1] (对接教材例3)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋). (1)求证：0<an<； (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． 【解】　(1)证明：因为n∈N＋，所以an＝＝×＝－<， 所以0<an<. (2)数列{an}是递增数列．因为an＝， 所以an＋1＝＝. 方法一：an＋1－an＝－ ＝＝， 因为n∈N＋，所以an＋1－an>0，即an＋1>an， 所以数列{an}为递增数列． 方法二：因为n∈N＋，所以an>0.因为＝＝＝＝1＋>1，所以an＋1>an，所以数列{an}为递增数列． 方法三：令f(x)＝(x≥1)，则 f(x)＝()＝(1－)， 所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 所以数列{an}是递增数列． 数列单调性的判断方法 若an＋1>an，则数列{an}是递增数列；若an＋1<an，则数列{an}是递减数列；若an＋1＝an，则数列{an}是常数列．其常用判断方法有： (1)作差法：若an＋1－an>0，则数列{an}是递增数列；若an＋1－an<0，则数列{an}是递减数列；若an＋1－an＝0，则数列{an}是常数列． (2)作商法：若>1(an>0，n∈N＋)或<1(an<0，n∈N＋)，则数列{an}是递增数列；若<1(an>0，n∈N＋)或>1(an<0，n∈N＋)，则数列{an}是递减数列；若＝1(an≠0，n∈N＋)，则数列{an}是常数列． (3)利用函数的单调性法：根据条件抽象出相应函数，通过函数的单调性来判断数列的单调性． 角度2　数列的最大(小)项 [例2] 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)()n，该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 【解】　方法一：an＋1－an＝(n＋2)·()n＋1－(n＋1)·()n＝()n×，则当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an.所以a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，所以该数列中有最大项，为第9项，第10项，且a9＝a10＝10×()9. 方法二：根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N＋，所以n＝9或n＝10.所以该数列中有最大项，为第9项，第10项，即a9＝a10＝10×()9. 求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用数列的增减性确定数列的最大(小)项，当数列不是递增数列(或递减数列)时，还需解不等式an＋1－an>0(或>1，此时要关注an的符号)来确定数列增减的范围．但要注意的是，解不等式an＋1－an>0(或>1)得到n的取值范围后，对数列增减范围的确定要当心． (2)通过解不等式(组)来确定，即设第k(k∈N＋，k>1)项是数列的最大(小)项，则 (或)，求出k的正整数值即得最大(小)项，这样就不必再判断数列的增减性了． (3)通过数列对应函数的图象求解，即画出数列的图象，最高点对应的项为最大项，最低点对应的项为最小项． 　 角度3　根据数列的单调性求参数 [例3] 已知的通项公式为an＝－n2＋λn(λ∈R)，若数列为递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，3) D．(－3，＋∞) 【解析】　方法一：an－an＋1＝－n2＋λn－[－(n＋1)2＋λ(n＋1)]＝2n＋1－λ，由数列为递减数列，则2n＋1－λ>0，即λ<2n＋1恒成立，即λ<min，当n＝1时，2n＋1的最小值为3，即λ<3.故选C. 方法二：由题意可知，a1>a2>a3>…，且f(x)＝－x2＋λx的图象开口向下，对称轴为直线x＝，可得<，即λ<3. 【答案】　C 数列{an}是递增数列⇔an＋1>an(n∈N＋)，数列{an}是递减数列⇔an＋1<an(n∈N＋)，进而转化为不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为求代数式的最值来解决；或由数列的函数特性，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围． [跟踪训练] (1)已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－6，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，2) 解析：选B.因为{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又当n＝1时，－2×3n取得最大值，最大值为－6，故k＞－6.故选B. (2)已知无穷数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？请作出判断并求出来． 解：an＝＝1＋.当n≤9时，an<1且逐渐减小；当n≥10时，an>1且逐渐减小．故数列{an}在n∈{1，2，3，…，9}上是递减的，在n∈{10，11，…}上也是递减的．数列{an}有最大项和最小项，其最大项为a10＝，最小项为a9＝ . 1．下列数列中，为递减数列的是(　　) A．1，2，22，23，…，263 B．1，0.5，0.52，0.53，… C．0，10，20，30，…，1 000 D．－1，1，－1，1，－1，… 解析：选B.选项A，C为递增数列，选项D不是递减数列，选项B为递减数列．故选B. 2．(多选)已知在数列中，an＝n2－5n＋4，则数列的最小项是(　　) A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 解析：选BC.依题意，an＝n2－5n＋4，函数y＝x2－5x＋4的图象开口向上，对称轴为直线x＝，由于n∈N＋，所以当n＝2或3时，数列取得最小项．故选BC. 3．(教材P8练习BT5改编)写出一个各项均小于3的无穷递增数列的通项公式：an＝__________(n∈N＋). 解析：对任意的n∈N＋，>0，则3－<3，数列为无穷递增数列，故满足条件的一个数列的通项公式为an＝3－. 答案：3－(答案不唯一) 4．(教材P7T4改编)已知数列满足an＝，证明：数列是递减数列． 证明：因为an＋1－an＝－＝＝<0恒成立，所以an＋1＜an，所以数列是递减数列． 1．已学习：数列与函数的关系、数列的单调性及其应用． 2．须贯通：(1)数列与函数既有区别又有联系；(2)运用作差法或作商法判断数列的单调性；(3)利用数列的单调性或不等式组寻找数列的最大(小)项． 3．应注意：(1)数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}；(2)函数的单调性与数列的单调性的区别． 　 学科网（北京）股份有限公司 $