5.1.2 数列中的递推（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“数列中的递推”核心知识点，从斐波那契数列兔子繁殖问题导入，定义递推公式，通过累加法、累乘法推导通项公式，结合前n项和概念建立通项与和的联系，构建从概念到方法的完整学习支架。 该资料以实际问题激发兴趣，通过例题与跟踪训练培养数学思维（推理、运算），用递推公式和前n项和公式精确表达数列规律，体现数学语言特色。课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固方法，有效查漏补缺。

5．1.2　数列中的递推 新课导入 学习目标 　　《算盘书》中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，这就是著名的斐波那契数列． 1.了解用递推公式表示数列，会由递推公式写出数列的每一项． 2．了解用累加法、累乘法求通项公式． 3．了解数列的前n项和的概念并会利用数列的前n项和求出数列的通项公式． 看下面例子： (1)1，2，4，8，16； (2)1，4，7，10，13； (3) 思考1　请同学们分析一下(1)与(2)，从第二项起，后一项与前一项有怎样的关系？ 提示：(1)an＋1＝an·2＝2an.(2)an＋1＝an＋3. 思考2　请同学们分析一下(3)中图1至图4的规律，并依此规律，能写出第n个图形与第n－1个图形中小正方形的个数关系吗？ 提示：an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋). [知识梳理] 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 点拨　(1)递推公式是表示数列的一种重要方法，反映了数列的相邻两项或两项以上的关系，但并不是任何数列都有递推公式． (2)利用递推公式求数列的项，一般要通过赋值逐项求出． [例1] (对接教材例1)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项． (1)4，5，7，10，14，…； (2)7，9，11，13，15，…； (3)2，6，18，54，162，…. 【解】　(1)an＋1＝an＋n. 由于a5＝14， 所以a6＝a5＋5＝14＋5＝19， a7＝a6＋6＝19＋6＝25. (2)an＋1＝an＋2. 由于a5＝15， 所以a6＝a5＋2＝15＋2＝17， a7＝a6＋2＝17＋2＝19. (3)an＋1＝3an. 由于a5＝162， 所以a6＝3a5＝3×162＝486， a7＝3a6＝3×486＝1 458. (1)由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可； (2)由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项． [跟踪训练1] 有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3个，余下的每个再分裂成2个，设n小时后细胞的个数为an. (1)求出a1，a2，a3； (2)写出an与an＋1的递推公式． 解：(1)由题意a1＝2×(10－3)＝14，a2＝2×(14－3)＝22，a3＝2×(22－3)＝38. (2)an＋1＝2(an－3)＝2an－6. 角度1　利用累加法(或迭代法)求通项公式 [例2] 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　方法一(归纳法)：数列{an}的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝.又a1＝1， 由此可得数列的一个通项公式为an＝(n∈N＋). 方法二(迭代法)：a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2). 又因为a1＝1也适合上式， 所以an＝(n∈N＋). 方法三(累加法)：an＋1－an＝－， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项两边分别相加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2). 因为a1＝1也适合上式， 所以an＝(n∈N＋). 【答案】　B 角度2　利用累乘法(或迭代法)求通项公式 [例3] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N＋)，则an＝(　　) A．n＋1 B．n C． D． 【解析】　由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an(n∈N＋)，所以＝， 所以an＝··…···a1 ＝××…×××1＝(n≥2). 因为a1＝1也适合上式， 所以an＝(n∈N＋). 【答案】　D 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的首项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan(p为非零常数)或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决． [跟踪训练2] (1)(2025·大连月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，则a99＝________． 解析：方法一：因为an＝an－1＋－(n≥2)，所以an－an－1＝－(n≥2). 所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1. 又当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1(n∈N＋). 所以a99＝－＋1＝11－. 方法二：由an＝an－1＋－得an－＝an－1－＝an－2－＝an－3－＝…＝a2－＝a1－＝1－，所以a99－＝1－，a99＝11－. 答案：11－ (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2，n∈N＋)，则an＝________． 解析：因为ln an－ln an－1＝1， 所以ln ＝1，即＝e(n≥2). 所以an＝··…··a1 ＝＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N＋. 答案：en－1，n∈N＋ 　如果把数列{an}的前n项和记作Sn. 思考　你能用Sn表示a3吗？如何用Sn表示a8＋a9，an? 提示：能，a3＝S3－S2.a8＋a9＝S9－S7， an＝ [知识梳理] 1．一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． 2．一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2，有Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an. 所以Sn＝Sn－1＋an， 因此an＝ [例4] 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－10n，求a1及an. 【解】　因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10＝－9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11. 经验证当n＝1时，an＝2n－11成立，所以an＝2n－11. 母题探究　本例中，条件“Sn＝n2－10n”变为“Sn＝n2－10n＋1”，求a1及an. 解：因为Sn＝n2－10n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10×1＋1＝－8， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n＋1－[(n－1)2－10(n－1)＋1]＝2n－11，经验证当n＝1时上式不成立，所以an＝ 用an与Sn的关系求an的步骤 (1)先利用Sn求出a1(a1＝S1)； (2)再确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式； (3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式； (4)写出数列的通项公式． [跟踪训练3] (1)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝则a6＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．9 解析：选A.由题意知，a6＝S6－S5＝(5×6－4)－52＝1.故选A. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且＝a2n－4，则S5的值为(　　) A．20 B．25 C．30 D．35 解析：选C.分别将n＝1，2代入＝a2n－4，得＝a2－4，＝2a2－4，即S1＝a2－4，S2＝4a2－8， 两式相减得a2＝S2－S1＝4a2－8－(a2－4)＝3a2－4， 解得a2＝2，则Sn＝2n2－4n，故S5＝2×52－4×5＝30，故选C. 1．符合递推公式an＝an－1(n≥2，n∈N*)的数列是(　　) A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，… C．，2，，2，… D．0，，2，2，… 解析：选B.B项中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1(n≥2，n∈N＋). 2．(教材P13练习AT2改编)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a3＝(　　) A．3 B．5 C．11 D．13 解析：选D.因为a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，所以a2＝a1＋22＝1＋4＝5，a3＝a2＋23＝5＋8＝13.故选D. 3．(教材P13T5改编)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N＋)，则S3＝____________，数列{an}的通项公式为an＝____________． 解析：因为Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12.当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也适合上式，所以an＝2n. 答案：12　2n 4．已知有穷数列：1，12，123，1 234，…，123 456 789，在每一项的数字后添写后一项的序号便是后一项． (1)求a6，a7； (2)写出数列的递推关系． 解：(1)观察可得a6＝123 456，a7＝1 234 567. (2)前4项可改写为1，1×10＋2，(1×10＋2)×10＋3，[(1×10＋2)×10＋3]×10＋4，观察可得递推关系为an＋1＝10an＋n＋1(1≤n≤8，n∈N＋). 1．已学习：数列的递推公式及由递推公式求通项公式、由数列的前n项和求通项公式． 2．须贯通：(1)由数列的递推公式求通项公式常用方法是累加法和累乘法；(2)由数列的前n项和求通项公式，利用an＝ 3．应注意：(1)累加法、累乘法中要注意验证首项是否符合通项公式；(2)由Sn求an时易忽略验证n＝1时的情况． 　 学科网（北京）股份有限公司 $