5.1.1 第2课时 数列与函数的关系（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列与函数的关系及数列单调性，通过函数实例导入，结合即时练辨析数列定义域、图象等特性，搭建从函数到数列特殊性的学习支架，衔接函数知识与数列新内容。 其亮点在于以数学眼光揭示数列的函数本质，通过作差法、作商法及函数单调性判断数列增减（数学思维），结合实例（如求最大项、参数范围）培养学生逻辑推理与应用能力，帮助学生深化理解，也为教师提供系统教学资源与多样化方法。

第2课时　数列与函数的关系 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 3 一　数列与函数的关系 思考　已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？若能，请作出数列的图象． 提示：对应的函数值分别为0，3，8，能构成一个数列．设此数列为{an}，则数列的图象如图所示． 返回导航 [知识梳理] 数列{an}可以看成定义域为__________的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取__________时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的________．数列也可以用平面直角坐标系中的____来直观地表示． 正整数集 正整数值 解析式 点 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列的定义域一定为正整数集．(　　) (2)数列的图象可以是连续的曲线．(　　) (3)数列的图象只能是离散的点．(　　) (4)数列在y轴左侧没有图象．(　　) × × √ √ 返回导航 2．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x) 的图象可能是(　　) 解析：根据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足．故选A. √ 返回导航 28 解析：由题知，a2＝f(2)＝10，a4＝f(4)＝8，a8＝f(8)＝10，所以a2＋a4＋a8＝28. 返回导航 用函数的有关知识解决数列问题，要注意它的定义域是N＋(或N＋的有限子集{1，2，3，…n})这一约束条件，即数列是一种特殊的函数，主要特殊在其定义域，从而使得图象和值域也具备特殊性． 返回导航 二　数列的单调性 思考　函数单调性可以用单调性的定义来判断，那么数列的单调性如何来判断呢？ 提示：若数列{an}满足an＋1－an＞(＜)0，∀n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增(减)数列． 返回导航 [知识梳理] 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为______数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为______数列；各项都相等的数列称为常数数列(简称为________). 递增 递减 常数列 返回导航 返回导航 (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． 返回导航 返回导航 数列单调性的判断方法 若an＋1>an，则数列{an}是递增数列；若an＋1<an，则数列{an}是递减数列；若an＋1＝an，则数列{an}是常数列．其常用判断方法有： (1)作差法：若an＋1－an>0，则数列{an}是递增数列；若an＋1－an<0，则数列{an}是递减数列；若an＋1－an＝0，则数列{an}是常数列． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 数列{an}是递增数列⇔an＋1>an(n∈N＋)，数列{an}是递减数列⇔an＋1<an(n∈N＋)，进而转化为不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为求代数式的最值来解决；或由数列的函数特性，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围． 返回导航 [跟踪训练] (1)已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－6，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，2) 解析：因为{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又当n＝1时，－2×3n取得最大值，最大值为－6，故k＞－6.故选B. √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 27 1．下列数列中，为递减数列的是(　　) A．1，2，22，23，…，263 B．1，0.5，0.52，0.53，… C．0，10，20，30，…，1 000 D．－1，1，－1，1，－1，… 解析：选项A，C为递增数列，选项D不是递减数列，选项B为递减数列．故选B. √ 返回导航 √ √ 返回导航 3．(教材P8练习BT5改编)写出一个各项均小于3的无穷递增数列的通项公式：an＝______________________(n∈N＋). 返回导航 返回导航 1．已学习：数列与函数的关系、数列的单调性及其应用． 2．须贯通：(1)数列与函数既有区别又有联系；(2)运用作差法或作商法判断数列的单调性；(3)利用数列的单调性或不等式组寻找数列的最大(小)项． 3．应注意：(1)数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}；(2)函数的单调性与数列的单调性的区别． 返回导航 $