5.1.1 第1课时 数列的概念与通项公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦数列的概念与通项公式核心知识点，从奥运会年份等现实实例导入，系统梳理数列的定义、项与项数、有穷与无穷数列的分类，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，为后续学习数列性质奠定基础。 资料通过情境化导入培养学生用数学眼光观察现实世界，以问题链驱动学生用数学思维抽象数列特征，结合例题与跟踪训练提升用数学语言表达数列关系的能力，课中助力教师引导探究，课后便于学生巩固知识、查漏补缺。

5．1　数列基础 5．1.1　数列的概念 新课导入 学习目标 奥林匹克运动会每四年举办一次，北京在2008年举办奥运会，中国在第23届(1984年)美国洛杉矶夏季奥运会上获得首枚金牌，从第23届起，奥运会的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016，…，显然北京奥运会是第29届，这就是今天我们要学习的数列． 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法，掌握数列的分类． 2．理解数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项． 3．理解数列与函数的关系并会判断数列的单调性及会求数列的最大(小)项． 第1课时　数列的概念与通项公式 观察以下几列数： (1)全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数：2，4，6，8，10，…； (2)当n分别取1，2，3，4，5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1，1，－1，1，－1，…； (3)某公司职员2024年1～12月工资，按月顺序排列为5 100，5 100，5 100，…，5 100. 思考1　试分析上述例子中的共同点． 提示：上述例子中的3列数都有确定的顺序． 思考2　已知数列：(1)2，4，6，8，10，…； (2)－1，1，－1，1，－1，…； (3)5 100，5 100，5 100，5 100，5 100. 试分析这三个数列中的不同点． 提示：从项数上来看：(3)项数有限，(1)(2)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)项的大小交替变化，(3)项没有发生变化． [知识梳理] 1．数列的概念 (1)数列：按照一定次序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数都称为这个数列的项；数列的第1项也称为首项． (3)项数：组成数列的数的个数称为数列的项数． 2．数列的分类 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项． 点拨　数列中的项是有次序的，可以重复． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列4，7，3，4的首项是4.(　　) (2)在某数列中，若首项为3，则从第2项起，各项均不等于3.(　　) (3)数列1，2，3，4与数列2，1，3，4为同一数列．　(　　) (4)1，1，1，1是有穷数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列中的项可以是三角形 B．从小到大的自然数构成一个无穷数列 C．数列中的项不可能相等 D．数列1，2，3，4，…，20是有穷数列 解析：选BD.数列中的项必须是数，不能是其他形式，故A错误，B正确，C错误；数列1，2，3，4，…，20共有20项，是有穷数列，所以D正确． (1)对数列相关概念的理解应把握好以下两点： ①概念中的“一列数”，即不止一个数； ②概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的． (2)有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 　 思考　数列{an}与an是相同的吗？ 提示：数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． [知识梳理] 1．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项．一般将整个数列简记为{an}． 2．通项公式：一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的一个通项公式． [例1] (对接教材例2)写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)0，，，，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)5，3，1，3，5，3，1，3，…. 【解】　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1. (2)因为5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝. (3)9＋1＝10，99＋1＝102，999＋1＝103，9 999＋1＝104，…，所以原数列的一个通项公式为an＝10n－1. (4)因为数列的周期为4，设该数列的通项公式为 an＝k sin ＋b， 联立即 解得 所以原数列的一个通项公式为an＝2sin ＋3. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)统一各项的结构形式，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [跟踪训练1] 写出下列数列的一个通项公式： (1)2，4，8，16，…； (2)1，－，，－，，…； (3)6，66，666，6 666，66 666，…； (4)4，0，4，0，4，…. 解：(1)a1＝21，a2＝4＝22，a3＝8＝23，a4＝16＝24，…，则an＝2n(n∈N＋). (2)该数列的奇数项为正，偶数项为负，被开方次数依次递增，则an＝(－1)n＋1n. (3)9，99，999，…的一个通项公式为bn＝10n－1； 则6，66，666，…的一个通项公式为 an＝(10n－1)＝(10n－1). (4) 方法一：因为数列的周期为2，设该数列的通项公式为an＝k cos (πn)＋b， 联立 即解得 所以4，0，4，0，4，…的一个通项公式为 an＝－2cos (πn)＋2. 方法二：1，－1，1，－1，1，…的一个通项公式为bn＝(－1)n＋1， 则4，0，4，0，4，…的一个通项公式为an＝(－1)n＋1×2＋2. [例2] 已知数列的通项公式为an＝n2－7n＋6. (1)求这个数列的第4项； (2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由． 【解】　(1)a4＝42－7×4＋6＝－6. (2)令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0， 即(n－16)(n＋9)＝0， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 故150是这个数列的项，是第16项． 母题探究　在本例中，条件不变． (1)求该数列从第几项开始各项都是正数？ (2)求该数列的最小项是第几项，并求出最小项的值． 解：(1)令an＝n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0，解得n＜1或n＞6， 因为n为正整数，所以从第7项开始各项都为正数． (2)由(1)知an＝n2－7n＋6＝－，因为n∈N＋，所以当n＝3或n＝4时，a3＝a4＝－6，即数列的最小项是第3项与第4项且最小项的值为－6. 求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项． [跟踪训练2] 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)判断是否为该数列中的项； (2)在区间内有无该数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 解：(1)因为an＝＝＝，令＝，得9n＝300，此方程无正整数解， 故不是该数列中的项． (2)令<an＜，即<<， 所以所以 所以＜n＜，又n∈N＋，所以当且仅当n＝2时，上式成立， 故区间内有该数列中的项，且只有一项为a2＝. 　 1．下列选项表示无穷数列的是(　　) A．△，○，□，… B．1，2，3，4，… C．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，…… D．11，22，33，44 解析：选B.A，C的各项不是数，故不是数列；D仅有4项，是有穷数列；B满足条件．故选B. 2．(多选)已知数列，，，，…，则下列说法正确的是(　　) A．此数列的一个通项公式是 B．5是它的第17项 C．此数列的一个通项公式是 D．5是它的第18项 解析：选AB.依题意可得该数列的一个通项公式是an＝，令an＝＝5，解得n＝17，所以5是它的第17项．故选AB. 3．(教材P7 T3改编)数列－1，，－，，…的一个通项公式为an＝________． 解析：观察数列－1，，－，，…可知其分母为n，其分子是－1，1交替出现，故分子可为n，所以该数列的一个通项公式为an＝. 答案： 4．(教材P7 T2改编)根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5项及第n＋1项． (1)an＝； (2)an＝(－1)n sin . 解：(1)依次取n＝1，2，3，4，5，代入通项公式中，得到数列的前5项分别为－，0，，，； 用n＋1代替通项公式an＝中的n，得到数列的第n＋1项是，即an＋1＝. (2)依次取n＝1，2，3，4，5，代入通项公式中，得到数列的前5项分别为－，1，－，0，；用n＋1代替通项公式an＝(－1)n sin 中的n，得到数列的第n＋1项是(－1)n＋1·sin ， 即an＋1＝(－1)n＋1sin . 1．已学习：数列的概念与分类、数列的通项公式及简单应用． 2．须贯通：(1)要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解；(2)数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系． 3．应注意：(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式；(2)并非所有数列的通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $