5.1.1 第1课时 数列的概念与通项公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类及通项公式，通过奥运会年份实例导入，引导学生观察正偶数、工资等数列实例，结合思考问题区分项数与变化特征，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境抽象数列概念，用数学思维通过三角函数处理周期数列等实例培养推理能力，以数学语言规范通项公式表达。系统的例题与跟踪训练助力学生掌握规律，教师可高效开展概念教学与能力培养。

第五章　数　列 1 5．1　数列基础 5．1.1　数列的概念 2 新课导入 学习目标 奥林匹克运动会每四年举办一次，北京在2008年举办奥运会，中国在第23届(1984年)美国洛杉矶夏季奥运会上获得首枚金牌，从第23届起，奥运会的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016，…，显然北京奥运会是第29届，这就是今天我们要学习的数列． 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法，掌握数列的分类． 2．理解数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项． 3．理解数列与函数的关系并会判断数列的单调性及会求数列的最大(小)项． 返回导航 第1课时　数列的概念与通项公式 4 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 6 一　数列的概念及分类 观察以下几列数： (1)全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数：2，4，6，8，10，…； (2)当n分别取1，2，3，4，5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1，1，－1，1，－1，…； (3)某公司职员2024年1～12月工资，按月顺序排列为5 100，5 100，5 100，…，5 100. 返回导航 思考1　试分析上述例子中的共同点． 提示：上述例子中的3列数都有确定的顺序． 思考2　已知数列：(1)2，4，6，8，10，…； (2)－1，1，－1，1，－1，…； (3)5 100，5 100，5 100，5 100，5 100. 试分析这三个数列中的不同点． 提示：从项数上来看：(3)项数有限，(1)(2)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)项的大小交替变化，(3)项没有发生变化． 返回导航 [知识梳理] 1．数列的概念 (1)数列：按照__________排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的__________都称为这个数列的项；数列的第1项也称为______． (3)项数：组成数列的__________称为数列的项数． 2．数列的分类 一般地，项数______的数列称为有穷数列，项数______的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的______． 点拨　数列中的项是有次序的，可以重复． 一定次序 每一个数 首项 数的个数 有限 无限 末项 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列4，7，3，4的首项是4.(　　) (2)在某数列中，若首项为3，则从第2项起，各项均不等于3.(　　) (3)数列1，2，3，4与数列2，1，3，4为同一数列．　(　　) (4)1，1，1，1是有穷数列．(　　) × √ × √ 返回导航 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列中的项可以是三角形 B．从小到大的自然数构成一个无穷数列 C．数列中的项不可能相等 D．数列1，2，3，4，…，20是有穷数列 解析：数列中的项必须是数，不能是其他形式，故A错误，B正确，C错误；数列1，2，3，4，…，20共有20项，是有穷数列，所以D正确． √ √ 返回导航 (1)对数列相关概念的理解应把握好以下两点： ①概念中的“一列数”，即不止一个数； ②概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的． (2)有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 返回导航 二　数列的通项公式 思考　数列{an}与an是相同的吗？ 提示：数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． 返回导航 [知识梳理] 1．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中______表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项．一般将整个数列简记为__________． 2．通项公式：一般地，如果数列的第n项______与____之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的一个通项公式． an {an} an n 返回导航 [例1] (对接教材例2)写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； 【解】　观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1. 返回导航 (3)9，99，999，9 999，…； 【解】　9＋1＝10，99＋1＝102，999＋1＝103，9 999＋1＝104，…，所以原数列的一个通项公式为an＝10n－1. 返回导航 (4)5，3，1，3，5，3，1，3，…. 返回导航 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)统一各项的结构形式，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 返回导航 [跟踪训练1] 写出下列数列的一个通项公式： (1)2，4，8，16，…； 解：a1＝21，a2＝4＝22，a3＝8＝23，a4＝16＝24，…，则an＝2n(n∈N＋). 返回导航 (3)6，66，666，6 666，66 666，…； 返回导航 (4)4，0，4，0，4，…. 返回导航 方法二：1，－1，1，－1，1，…的一个通项公式为bn＝(－1)n＋1， 则4，0，4，0，4，…的一个通项公式为an＝(－1)n＋1×2＋2. 返回导航 三　数列通项公式的应用 [例2] 已知数列的通项公式为an＝n2－7n＋6. (1)求这个数列的第4项； (2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由． 【解】　(1)a4＝42－7×4＋6＝－6. (2)令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0， 即(n－16)(n＋9)＝0， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 故150是这个数列的项，是第16项． 返回导航 母题探究　在本例中，条件不变． (1)求该数列从第几项开始各项都是正数？ (2)求该数列的最小项是第几项，并求出最小项的值． 返回导航 求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项． 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 1．下列选项表示无穷数列的是(　　) A．△，○，□，… B．1，2，3，4，… C．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，…… D．11，22，33，44 解析：A，C的各项不是数，故不是数列；D仅有4项，是有穷数列；B满足条件．故选B. 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：数列的概念与分类、数列的通项公式及简单应用． 2．须贯通：(1)要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解；(2)数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系． 返回导航 解：该数列的奇数项为正，偶数项为负，被开方次数依次递增，则an＝(－1)n＋1n. 3．应注意：(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式；(2)并非所有数列的通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝ $