等差数列 单元测试（B）-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

2025-2026学年第二学期高二数学人教B《等差数列》单元测试（B） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设是等差数列的前项和，若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 2．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（    ） A．811 B．809 C．807 D．805 3．已知为等差数列的前项和，若，，，则（     ） A．12 B．18 C．24 D．30 4．已知数列是以为首项，2为公差的等差数列，数列满足，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项和成立的最大自然数是（    ） A．4039 B．4038 C．4037 D．4036 6．已知正项数列满足，则数列的前19项和为（    ） A．380 B．361 C．190 D．180.5 7．在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝ A．18 B．99 C．198 D．297 8．已知函数，公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1012 B．2024 C．3036 D．4048 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列说法错误的有（    ） A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 10．已知数列满足：，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是等差数列 B． C． D． 11．在等差数列中，，且，则使的前n项和成立的自然数n可能为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？"现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列中共有__________项． 13．已知数列的前n项和为，，且满足，若，，则的最小值为__________ 14．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，，则正整数m的值为________. 四、解答题（共77分） 15．已知等差数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 16．数列中，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 17．已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 18．已知数列{an}的前n项和Sn，a1=1，an≠0，满足anan+1=λSn-1，其中λ为常数.若S10=100，求{an}的通项公式. 19．设数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年第二学期高二数学人教B《等差数列》单元测试（B）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B B B D ABD BC 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】试题分析：根据等差数列的性质，有. 考点：等差数列的基本性质. 2．B 【分析】通过观察发现：第一行有个奇数，第二行有个奇数，，第行有个奇数，按此规律，可得第行从左向右的第个数是第个正奇数，从而可得结果. 【详解】通过观察，可知第一行有个奇数，第二行有个奇数，，第行有个奇数， 根据这个规律前行共有正奇数：个， 则第行从左向右的第个数是第个正奇数， 所以这个数是， 故选：B. 3．C 【分析】根据等差数列的性质和求和公式求得，再由建立方程，求解即可. 【详解】解：由条件得，解得，，解得：， 故选：C. 4．C 【分析】依题意，可求得，分离参数，得到，再对，，分类讨论，即可求得实数的取值范围． 【详解】， ， 对都有成立， 即， 整理得：， 若，则，恒成立，故①； 若，则对，恒成立， 在，的最小值为，②； 若，则对，恒成立， 在，的最大值为，③； 综合①②③，若对都有成立，则， 故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式，依题意，分离参数，得到是关键，也是难点，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于难题． 5．B 【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为，所以等差数列是递减数列， 因为， 所以，且，， 所以使数列的前项和成立的最大自然数是4038． 故选：B 6．B 【分析】先判断出为等差数列，直接套公式求和. 【详解】依题意，，则，因为，故，故. 故选：B. 7．B 【分析】由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a6，再由等差数列的前n项和公式求出S11． 【详解】∵a3+a9=27﹣a6，∴3a6=27，a6=9， ∴ ． 故选B． 【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用． 8．D 【分析】根据函数关于直线对称，推导出，进而利用等差数列的前项和公式算出答案． 【详解】根据题意，函数，，故图象关于直线对称， 由，可知，即， 所以． 故选：D． 9．ABD 【分析】根据等差数列的定义，结合特例法进行判断即可. 【详解】A：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确； B：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确； C：因为a，b，c成等差数列，所以，因为， 所以成等差数列，因此本说法正确； D：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正确； 故选：ABD 10．BC 【分析】A.利用等差中项判断；BC.根据，由数列的奇数项和偶数项构成等差数列判断；D.令判断. 【详解】因为，，，则，而，故A错误； 因为，所以数列的奇数项和偶数项构成等差数列， 当时，， 当时，，故BC正确； 因为，不满足，故D错误； 故选：BC 11．ABC 【分析】由条件可得，，然后结合等差数列的求和公式可得答案. 【详解】∵为等差数列，，∴，又∵，∴，即， 由， 故使的前n项和成立的最大的自然数为19， 故选：ABC 12．67 【分析】根据题意可得被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，求出通项公式小于等于1000解不等式可得答案. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为，则，令，解得，所以该数列的项数共有67项． 故答案为：67. 13． 【分析】转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列， 所以，所以， 令，解得， 所以，其余各项均大于0， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是构造新的等差数列，求出，解不等式，属于中档题. 14．5 【分析】根据关系式得到，再结合得到，最后利用求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为， 所以整理得到， 又，所以， 整理得：， 又因为，所以， 所以即. 故答案为：5. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的基本量计算求出，从而求出其通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前项和即可. 【详解】（1）已知 ，根据通项公式可得 ， 则 ，解得 ， 所以 （2）由（1）知 ，则 ， 所以 . ， 因此，数列 的前 项和 . 16．(1) (2)2090 【分析】（1）判断出数列是等差数列，计算出，由此求得数列的通项公式. （2）由得出数列的正负项，再由求和公式得出. 【详解】（1）∵数列满足，即， ∴数列为等差数列，设公差为d. ∴，. ∴. （2）∵，令，得. 当时，；当时，. ∴ . 17．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 18． 【分析】根据题意给的关系式变形计算、化简可得，即数列的奇数项､偶数项分别为公差的等差数列，进而得出等差数列的通项公式，利用等差数列前项求和公式求出即可. 【详解】由题设知，. 两式相减得. 由于，所以. 所以数列的奇数项､偶数项分别为公差的等差数列， 因为，可得， 所以， 因为， 所以， 解得. 所以数列的通项公式为 ， 即. 19．(1)； (2). 【分析】（1）降次作差得，再验证即可； （2）变形得，再裂项求和即可得到答案. 【详解】（1）当时，． 当时，由， 可得， 则，得． 因为满足上式，所以． （2）由（1）可得，， 则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $