专题三：线段最值问题（剖析方法+针对训练）-2026年中考数学二轮选择题专项复习 讲义

专题三 几何综合 题型4线段最值问题 考法1“隐圆”加持 第一步剖析方法 利用“隐圆”求线段最值 第1步：确定“隐圆”.分析出动点所在的轨迹圆，常见的“隐圆”类型有定点定长、定弦定角、四点共圆. 条件：在△ABP中，A,B均为定点，P为平面内一动点，且∠P=α为定值 P(动) A(定) B(定) 如图1，当a<90°时，∠AOB=2∠P=2a,点P在优弧APB上运动（不与点A,B重合）： 定弦定角 如图2，当a=90°时，点P在以AB为直径的圆上运动（不与点A,B重合）： 如图3，当a>90°时，∠A0B=360°-2a,点P在劣弧AB上运动（不与点A,B重 合) 0 图1a<90° 图2a=90° 图3a>90° 如图4、图5，∠ADC=∠ABC=90; 如图6，AB为△ABC和△ABD的公共边，且点C,D在AB的同侧，∠C=∠D,则A,B,C,D 四点共圆 四点共圆 图4 图5 图6 1 第2步：利用“隐圆”求线段最值.求定点到圆上任意一点距离的最值时，连接定点和圆心，所在 直线和圆的两个交点即为距离取最小值和最大值时动点的具体位置.圆外一点A和圆内一点B到圆 上任意一点距离的最值情况如图所示，即线段AM,BM的长为距离的最小值，线段AN,BN的长为 距离的最大值. 第二步 【例】（中考改编）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.点E在线段OA上，连接BE, 作CF⊥BE于点E,交OB于点P.点A与点F之间的距离的最小值为 第三步针对训练 1.(中考改编)如图，点A的坐标为(4,3)，AB⊥x轴于点B,C为坐标平面内一点，OC=2,D为线段AC的中点，连接 BD,则线段BD的最大值为() 3w5 A3BC.2D.25 2.(2024·南充中考)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由 四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.在正方形ABCD中，AB=10,有下列三个结论：①若 tan∠ADF=,则EF=2:②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则F是AG的三等分点：③将△ABG 绕点A逆时针旋转90°得到△ADG,则BG的最大值为5V5+5.其中正确的结论是（) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ G 3.(2025·合肥蜀山区一模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,D为边AC上的动点，过点C作CE⊥BD于点E,连接 AE并延长交BC于点F.当AE取得最小值时，AD的长为() A.5-1B.5C.3-V5D.5+1 2 2 4.(中考改编)如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8Cm,M,N分别是边AB和BC的中点，线段MN绕点M逆时 针旋转得到线段MN',连接BN”,如图2所示. (1)当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN的长为cm; (2)如图3，连接DN',则DN'长度的最小值为 cm. 图1 图2 图3 5.(2023·黔东南州三穗二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6V3,D为平面内一点，连接AD,CD, 2 BD,CD交AB于点O,∠ADC=30°，则线段BD的最小值为 D B 6.(中考改编)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,动点E,F分别从点A,C同时出发，以相同的速度分别沿AD, CB向终点D,B运动，当点E到达点D时，运动停止.过点B作直线EF的垂线BP,垂足为P,连接CP,则CP 长度的最小值为 7.(中考改编)如图所示，△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线A E交于点F.若点D在△ABC内，∠DBC=20,则∠BAF=。;现将△DCE绕点C旋转一周，在这个旋转过程 中，线段AF长度的最小值是 8.(2025·宜宾中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90,BC=6,将射线CA绕点C顺时针旋90°到CA1,在射线CA 1上取一点D,连接AD,使得△ACD的面积为24，连接BD,则BD的最大值是 A 考法2轴对称—最短路径 第一步 牧民饮马模型求线段最值问题（一） 模型 方法 图示 依据 如图，定点A,B位于作点B关于直线1的1一 B 两定动点P所在直线1的同对称点B',连接AB', 两点之间，线段最短 一动侧，确定点P的位置，与直线1的交点即为 使AP+BP的值最小 所求点P 如图，P为T面内定香购就接 M P 两动 心上的分别A重我，加 定 MN的位置，使PN+W交于点与AC交于 点到直线，垂线段最短 的值最小 点N,此时PN+NM 的值最小 第二步精学典例 【例】(2025·绥化中考)如图，在菱形ABCD中，AB=4,对角线BD=4V3,P是边CD的中点，M是对角线BD上的 一个动点，连接PM,CM,则PM+CM的最小值是 A D M 第三步针对训练 1.(2024·攀枝花中考)如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，DC=4,E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P,则 PA+PE的最小值为() A.4 B.2V2 C.23D.25 2.(中考改编)如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB交AB于点D,C是半径OB 一动点，若0A=1,则阴影部分周长的最小值为() A.2+名 R.V2+号C.22+后D.22+号 3.(2025·遂宁模拟)如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4,射线CD⊥BC,垂足为C,P是射线CD上一 动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,则EP+FP的最小值为() A.9B.10C.53D.35 C E E 第3题图 第4题图 4.(2024·内江中考)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8,E是边BC上一点，且BE=2,点I是△ABC的内心，BI 的延长线交AC于点D,P是BD上一动点，连接PE,PC,则PE+PC的最小值为 5.如图，E,F是正方形ABCD的边AB上的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，铝的 值是一· D 6.(中考改编)如图，P为矩形ABCD的对角线A C上的一动点，E为BC的中点，连接PE,PB.若AB= 4,BC=4V3,则PE+PB的最小值为 B E 7.(中考改编)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P为矩形内一点，且满足∠ABP=∠BCP.若E是AD上一动点，则 BE+PE的最小值为 D B C 8.(中考改编)如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC=60°，E,F分别是边BC和对角线AC上的动点，且BE=CF,连接 AE,BF相交于点M,P是边BC上的一个动点，连接PM,PD,则PM+PD的最小值是 考法3轴对称 最短路径变式 第一步 牧民饮马模型求线段最值问题（二） 模型 方法 图示 两线 如图，P是∠AOB内一定点，分别作点P关于OA,OB的对 D 一定 M,N分别为0A,OB上的动称点P,P”,连接PP”,与O 点，确定点M,N的位置，A,OB分别交于点M,N,P'P 点 使△PN的周长最小 即为所求 0 两线 如图，P,Q是∠AOB内两定分别作点P关于OA,点Q 两定 点，M,N分别为OA,OB上的关于OB的对称点P',Q, 点 动点，确定点M,N的位置，连接PQ,与OA,OB分别交 'PQ N B 使四边形PMQ的周长最小于点M,N,P'Q即为所求 如图，A、B为直线1同侧将AW沿定长平移至A 丙定质定点按取为定长对作楼于袋古到 A- B 点一 在直线1上左右滑动，确定 B 定长点M,N的位置，使AM+MN+BN 于点N,再通过MN的长度 的值最小 确定点M的位置，点M,N 即为所求 第二步 【例】（中考改编）如图，P是∠AOB内任意一点，OP=3Cm,M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=3 0°，则△PMN周长的最小值是 第三步 1.(中考改编)如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F为正方形对角线AC上的动点，EF=9则△BEP绸长胸最 小值为() A.6 B.8 C.4v2+2D.10 2.(中考改编)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找点M,N,使△AMN的周长 最小，则∠AMN+∠ANM的度数是 3.(2024·渭南韩城模拟)如图，在凸四边形ABCD中，若M,N分别为边CD,AD上的动点，∠A=90°，∠D=60°，AD =3,AB=√2，则△BMN周长的最小值为 D 4.(中考改编)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,AE=4,AF=2,G,H分别是边BC,CD上的动点，则四边形EFGH周长 的最小值为 D 5.(一题多解)(2022·自贡中考)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑 动.若EF=1,则GE+CF的最小值为 6.(2023·广东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(-3,0),B(-1,0),C,D是y轴上 的两 个动点，且CD=3,连接AD,BC,则AD+BC的最小值为· 7.(一题多解)（中考改编）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10.若E是边AD上的一个动点，过点E作F⊥AC, 且分别交对角线AC、直线BC于点O,F,则在点E运动的过程中，AF+FE+EC的最小值为· E D B C 8.(中考改编)如图，定直线MN∥PQ,B,C分别为MN,PQ上的动点，且BC=12,线段BC在两直线间运动，且在运 动过程中始终有∠BCQ=60°，已知A是MN上方一定点，D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF,AE=4,DF=8,AD =24V5.在线段BC的运动过程中，AB+CD的最小值为 B 考法4“胡不归”问题(kAP+BP) 第一步 “胡不归”模型 如图1，A为直线1上一定点，P为直线1上一动点，B为直线1外一侧的定点.试确定点P的位置， 使kAP+BP(0<k<1)的值最小. 图1 图2 方法： ①构造：如图2，在AP的另一侧构造以AP为斜边的Rt△APM,且sin∠PAM=k,则PM=kAP; ②转化：kAP+BP=MP+BP,当B,P,M三点共线时，kAP+BP取得最小值； ③求解：过点B作BN⊥AM于点N,与直线1交于点P',kAP+BP的最小值即为BN的长度，点P即为动点 P的位置 第二步精学典例 【例】(2024·凉山州中考改编)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,E是边BC上的一个动点，连接AE,AE 的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N,连接EN,CN,则2EN+BN的最小值为 第三步针对训练 1.(2023·锦州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4,按下列步骤作图：①在AC和AB上分 别截取AD,AE,使AD=AE;②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点 M:③作射线AM交BC于点F.若P是线段AF上的一个动点，连接CP,则CP+AP的最小值是· 2.(2025·宿迁沭阳期末)如图，在菱形ABCD中，AB=AC=8,对角线AC,BD相交于点0，点M在线段AC上，且AM=2, P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 3.(中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°.若AC=2,D是AB的中点，P为CD上一动点，则 AP+号CP的最小值为 4.(中考改编)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=一x2+bx+3的图象与x轴交于A,C(3,0)两点， 与y轴交于点B.若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0，-I),连接PD,则√2PD+PC的最小值为 5.(2025·四川眉山中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称，与x 轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C.点Q在线段0C上运动，当点Q的坐标为时，2AQ+√2CQ取 得最小值· =-3 6.(中考改编)如图，在△ABC中，∠A=45°，∠ABC=60°，AB=2,BD⊥AC,E,F,G分别是AD,BD,BC上的动点，且BF= DE,则EF+FG的最小值为 考法5“阿氏圆”问题(kAP+BP) 第一步 “阿氏圆”模型 如图1，P为⊙0上一动点，A,B为圆外两定点，且r=OP=kOA(0<k<1I).试确定点P的位置，使kA P+BP的值最小. B AO 图1 图2 图3 图4 方法： ①构造相似三角形，转化kAP:如图2，在OA上取一点C,使(OC=kr,连接PC,易证△OPC~△OAP, 可得PC=kAP; ②确定取最小值时，点P的位置；kAP+BP=PC+BP,故连接BC,与⊙0交于点P',点P'即为所求. 【变式】如图3，P为⊙0上一动点，A,B为圆内两定点，且=OP=kOA(k>1).试确定点P的位置， 使kAP+BP的值最小. 方法： ①构造相似三角形，转化kAP:如图4，在0A的延长线上取一点C,使(OC=kr,连接PC,易证 △OPC△OAP,可得PC=kAP; ②确定取最小值时，点P的位置；kAP+BP=PC+BP,故连接BC,与⊙0交于点P',点P'即为所求. 第二步精学典例 【例】(2025·周口商水一模)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=10,OB=8,点C在以点0为圆心，3为半径 的圆上运动，连接AC,BC,则AC+BC的最小值为 第三步针对训练 1.(2024·绥化肇东模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9,BC=4,以点C为圆心，3为半径作⊙C,分别交AC, BC于D,E两点，P是⊙C上的一个动点，连接PA,PB,则PA+PB的最小值为· 2.(2025·湛江赤坎区四模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,D,E分别是边BC,AC上的动点，且DE 4,P是DE的中点，连接PA,PB,则PA+PB的最小值为 。 B 3.(中考改编)如图，⊙0与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M,N,⊙0的半径为3，A(0,1),B(2,0),点P在MN 上移动，连接PA,PB,OP,则3PA+PB的最小值为 4.如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，⊙B的半径为4，P是⊙B上的一个动点，连接PD,PC,则PD-PC 的最大值为 5.如图，在⊙0中，点A,B在⊙0上，∠AOB=90°，0A=6,点C在OA上，且OC=2AC,D是OB的中点，M是劣弧AB上 一动点，则CM+2DM的最小值为 6.(2022·无锡梁溪区期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=9,以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动 点P.连接AP,BP,CP,则2BP+3CP的最小值是 ?.【新知探究】新定义：平面内有两定点A,B,所有满足哈=k《为定值)的点P形成的图形是圆，我们把 这种圆称为“阿氏圆”. 【问题解决】如图，在△ABC中，BC=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为· 考法6主从联动 直线型 第一步 条件：如图1，已知定点C和动点M,N,∠MCN=a(定值)，器=k(定值)，点M在直线1上运动.当C, 6 专题三 几何综合 题型4 线段最值问题 考法 1“隐圆”加持 第一步 剖析方法 利用“隐圆”求线段最值 第1步：确定“隐圆”.分析出动点所在的轨迹圆，常见的“隐圆”类型有定点定长、定弦定角、四点共圆. 定弦定角 条件：在△ABP 中，A，B 均为定点，P 为平面内一动点，且∠P=α为定值 如图1,当α<90°时,∠AOB=2∠P=2α,点 P 在优弧APB 上运动(不与点A,B重合)； 如图2，当α=90°时，点P 在以AB 为直径的圆上运动(不与点A，B 重合)； 如图3,当α>90°时, ，点P 在劣弧AB 上运动(不与点 A，B重合) 四点共圆 如图4、图5, 如图6,AB为△ABC和△ABD的公共边,且点C,D在AB的同侧, 则A,B,C,D 四点共圆 1 学科网（北京）股份有限公司 第2步：利用“隐圆”求线段最值.求定点到圆上任意一点距离的最值时，连接定点和圆心，所在直线和圆的两个交点即为距离取最小值和最大值时动点的具体位置.圆外一点A和圆内一点B到圆上任意一点距离的最值情况如图所示，即线段AM，BM的长为距离的最小值，线段AN，BN的长为距离的最大值. 第二步 【例】(中考改编)如图,在边长为4的正方形 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O.点E 在线段OA 上,连接BE,作CF⊥BE 于点 F,交OB 于点 P.点 A 与点 F 之间的距离的最小值为 第三步 针对训练 1.(中考改编)如图，点A的坐标为(4,3),AB⊥x轴于点B,C 为坐标平面内一点,OC=2,D为线段AC的中点,连接BD，则线段 BD 的最大值为 ( ) A.3 B. C. D. 2.(2024·南充中考)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.在正方形 ABCD 中，AB =10，有下列三个结论：①若 则EF=2;②若 Rt△ABG 的面积是正方形 EFGH 面积的3 倍,则 F 是 AG 的三等分点;③将△ABG 绕点A逆时针旋转 90°得到△,则的最大值为 其中正确的结论是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.(2025·合肥蜀山区一模)如图,在 Rt△ABC中,AC=BC=2,D为边 AC上的动点,过点 C作CE⊥BD 于点 E,连接 AE 并延长交 BC 于点 F.当AE 取得最小值时,AD 的长为( ) A. B. C. D. 4.(中考改编)如图1,在矩形 ABCD 中,AB=6 cm,BC=8cm ,M,N分别是边AB和BC的中点，线段 MN 绕点M逆时针旋转得到线段MN',连接BN',如图2所示. (1)当线段MN绕点M逆时针旋转90°时,线段BN'的长为______cm; (2)如图3,连接DN',则DN'长度的最小值为______cm. 5.(2023 ·黔东南州三穗二模)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6 ,D 为平面内一点,连接 AD,CD,BD,CD 交AB 于点O,∠ADC=30°,则线段BD的最小值为______ . 6.(中考改编)如图，在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,动点 E,F 分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿AD,CB 向终点D,B 运动,当点E到达点D时，运动停止.过点B作直线EF的垂线BP，垂足为P，连接CP，则CP长度的最小值为______ 7.(中考改编)如图所示,△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3 的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F.若点D在△ABC内, ∠DBC =20,则∠BAF=______°;现将△DCE绕点C旋转一周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是______ . 8.(2025·宜宾中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90,BC=6,将射线CA绕点C顺时针旋90°到CA₁,在射线 CA₁上取一点D,连接AD,使得△ACD的面积为24,连接BD,则BD的最大值是______ . 考法2 轴对称——最短路径 第一步 牧民饮马模型求线段最值问题(一) 模型 方法 图示 依据 两定一动 如图，定点A，B位于动点P所在直线l的同侧，确定点P的位置，使AP+BP 的值最小 作点B关于直线l 的对称点B',连接AB',与直线l的交点即为所求点P 两点之间，线段最短 两动一定 如图，P为平面内一定点，M,N分别为直线AB，AC上的动点,确定点M，N的位置，使PN+NM的值最小 作点P关于直线AC的对称点P',过点P'作AB的垂线,与AB 交于点M,与AC交于 点N,此时 的值最小 点到直线,垂线段最短 第二步 精学典例 【例】(2025·绥化中考)如图,在菱形ABCD 中,AB=4,对角线 P是边CD的中点,M是对角线BD上的一个动点，连接PM，CM，则PM+CM的最小值是______. 第三步针对训练 1.(2024·攀枝花中考)如图,在菱形ABCD中,∠C =120°,DC=4,E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P,则PA+PE的最小值为 ( ) A.4 B.2 C.2 D.2 2.(中考改编)如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=60°,OD 平分∠AOB 交 于点 D,C是半径OB 上一动点，若OA=1，则阴影部分周长的最小值为( ) A. B. C. D. 3.(2025·遂宁模拟)如图,点E在等边三角形ABC 的边 BC 上,BE=4,射线 CD⊥BC,垂足为 C,P是射线CD上一动点,F是线段AB上一动点,当EP+FP的值最小时,BF=5,则EP+FP的最小值为( ) A.9 B.10 C.5 D.3 4.(2024 ·内江中考)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,E 是边 BC 上一点,且BE=2,点I是△ABC的内心,BI的延长线交AC于点D,P是BD 上一动点,连接PE,PC,则PE+PC的最小值为______ . 5.如图,E,F 是正方形ABCD的边AB上的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时， 的值是______. 6.(中考改编)如图,P为矩形ABCD的对角线AC 上的一动点，E为BC的中点，连接PE,PB.若AB=4,BC=4 ,则PE+PB的最小值为______. 7.(中考改编)如图,在矩形 ABCD中,AB=6,BC=8,P为矩形内一点,且满足∠ABP =∠BCP.若E是AD上一动点,则BE+PE的最小值为______ . 8.(中考改编)如图，在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,E,F分别是边BC和对角线AC上的动点,且BE=CF,连接AE,BF相交于点M,P是边BC上的一个动点,连接PM,PD,则PM+PD的最小值是______ 考法 3 轴对称————最短路径变式 第一步 牧民饮马模型求线段最值问题(二) 模型 方法 图示 两线一定点 如图,P是∠AOB内一定点,M,N分别为OA,OB上的动点，确定点 M，N的位置，使△PMN的周长最小 分别作点P关于OA,OB的对称点P',P",连接 P'P",与OA,OB分别交于点M,N,P'P"即为所求 两线两定点 如图,P,Q是∠AOB 内两定点,M,N分别为OA,OB上的动点,确定点M，N的位置，使四边形 PMNQ 的周长最小 分别作点 P 关于 OA,点 Q 关于 OB 的对称点 P',Q',连接P'Q',与OA,OB分别交于点M,N,P'Q'即为所求 两定点一定长 如图，A、B为直线l同侧两定点，线段 MN 为定长且在直线l上左右滑动，确定点M,N的位置,使AM+MN+BN的值最小 将 AM 沿定长 MN 平移至A'N,再作点 A'关于直线l的对称点 连接A"B 交直线l于点N,再通过MN 的长度确定点M的位置，点M，N 即为所求 第二步 【例】(中考改编)如图,P 是∠AOB 内任意一点,OP=3cm,M和N分别是射线OA和射线OB 上的动点,∠AOB=30°,则△PMN周长的最小值是______. 第三步 1.(中考改编)如图,已知正方形ABCD的边长为4，E，F为正方形对角线AC上的动点,EF=2,则△BEF周长的最小值为( ) A.6 B.8 C. D.10 2.(中考改编)如图，在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD 上分别找点M,N,使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数是______ 3.(2024·渭南韩城模拟)如图，在凸四边形ABCD中,若M,N分别为边CD,AD上的动点,∠A=90°,∠D=60°,AD=3,AB=，则△BMN周长的最小值为______. 4.(中考改编)如图,在矩形 ABCD中,AB=3,AD=6,AE=4,AF=2,G,H分别是边BC,CD 上的动点,则四边形EFGH周长的最小值为______. 5.(一题多解)(2022·自贡中考)如图，在矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,G是AD的中点,线段 EF 在边AB 上左右滑动.若 EF=1,则GE+CF的最小值为______ . 6.(2023·广东模拟)如图，在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(-1,0),C,D是y轴上的两个动点,且CD=3,连接AD,BC,则AD+BC的最小值为______ . 7.(一题多解)(中考改编)如图，在矩形ABCD中,AB=5,AD=10.若E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，且分别交对角线AC、直线BC于点O,F,则在点E运动的过程中,AF+FE+EC的最小值为____. 8.(中考改编)如图,定直线 MN∥PQ,B,C分别为MN,PQ上的动点,且BC=12，线段BC在两直线间运动，且在运动过程中始终有∠BCQ=60°，已知A是MN上方一定点，D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF,AE=4,DF=8,AD=24.在线段BC的运动过程中，AB+CD的最小值为______ 考法 4“胡不归”问题(kAP+BP) 第一步 “胡不归”模型 如图1，A为直线l上一定点，P为直线l上一动点，B为直线l外一侧的定点.试确定点 P 的位置，使kAP+BP(0<k<1)的值最小. 方法： ①构造:如图2,在AP 的另一侧构造以AP 为斜边的Rt△APM,且sin∠PAM=k,则PM=kAP; ②转化:kAP+BP=MP+BP,当B,P,M三点共线时,kAP+BP取得最小值; ③求解:过点B作BN⊥AM于点N,与直线l交于点 P',kAP+BP的最小值即为BN 的长度,点P'即为动点 P 的位置. 第二步精学典例 【例】(2024·凉山州中考改编)如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AB=2,E是边BC上的一个动点,连接AE,AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N,连接EN,CN,则2EN+BN的最小值为 ______. 第三步针对训练 1.(2023·锦州中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4,按下列步骤作图:①在AC和AB上分别截取AD,AE,使AD=AE;②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M;③作射线 AM交BC于点F.若P是线段AF上的一个动点，连接CP,则 的最小值是______ . 2.(2025·宿迁沭阳期末)如图,在菱形ABCD中,AB=AC=8,对角线AC,BD相交于点O,点 M在线段AC上,且AM=2,P为线段BD上的一个动点，则 的最小值是______ 3.(中考改编)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.若AC=2,D 是AB的中点,P为CD上一动点,则 的最小值为______. 4.(中考改编)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A，C(3，0)两点，与y轴交于点 B.若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1),连接 PD,则 的最小值为______. 5.(2025·四川眉山中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线x=-3对称,与x轴交于A(-1,0),B 两点，与y轴交于点C.点Q在线段OC 上运动,当点Q的坐标为______时,2AQ+ 取得最小值______. 6.(中考改编)如图,在△ABC 中,∠A=45°,∠ABC=60°,AB=2,BD⊥AC,E,F,G分别是AD,BD,BC上的动点,且BF=DE,则 的最小值为______ 考法 5“阿氏圆”问题((kAP+BP) 第一步 “阿氏圆”模型 如图1，P为⊙O上一动点，A，B为圆外两定点，且r=OP=kOA(0<k<1).试确定点 P 的位置，使kAP+BP的值最小. 方法： ①构造相似三角形，转化kAP：如图2，在OA上取一点C，使(OC=kr,连接PC,易证 可得PC=kAP; ②确定取最小值时，点P的位置；kAP+BP=PC+BP,，故连接BC，与⊙O交于点P',点P'即为所求. 【变式】如图3，P为⊙O上一动点，A，B为圆内两定点，且r=OP=kOA(k>1).试确定点 P 的位置，使kAP+BP的值最小. 方法： ①构造相似三角形，转化kAP：如图4，在OA 的延长线上取一点C，使(OC=kr,连接 PC,易证 可得PC=kAP; ②确定取最小值时，点 P 的位置；kAP+BP=PC+BP,，故连接BC，与⊙O交于点P',点P'即为所求. 第二步精学典例 【例】(2025·周口商水一模)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=10,OB=8，点C在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，连接AC，BC，则 的最小值为______ 第三步 针对训练 1.(2024·绥化肇东模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=4,以点 C 为圆心,3为半径作⊙C,分别交AC,BC于D,E两点,P是⊙C上的一个动点,连接PA,PB,则 的最小值为______. 2.(2025·湛江赤坎区四模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D,E分别是边BC,AC上的动点,且 DE=4,P是DE的中点,连接PA,PB,则 的最小值为 ______ . 3.(中考改编)如图,⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M，N，⊙O的半径为3,A(0,1),B(2,0),点P在上移动,连接 PA,PB,OP,则3PA+PB的最小值为______ 4.如图,已知菱形ABCD的边长为8,∠B=60°,⊙B的半径为4,P是⊙B上的一个动点,连接PD,PC,则 的最大值为______ 5.如图,在⊙O中,点A,B在⊙O上,∠AOB=90°,OA=6,点 C在OA上,且OC=2AC,D是OB的中点，M是劣弧AB上一动点，则CM+2DM 的最小值为______ . 6.(2022·无锡梁溪区期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=9,以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P.连接AP，BP，CP,则2BP+3CP的最小值是______ . 7.【新知探究】新定义：平面内有两定点A，B，所有满足 (k为定值)的点 P 形成的图形是圆，我们把这种圆称为“阿氏圆”. 【问题解决】如图,在△ABC中,BC=4,AB=2AC,则△ABC 面积的最大值为______ . 考法 6 主从联动————直线型 第一步 条件:如图1,已知定点C和动点M,N,∠MCN=α(定值), (定值)，点 M 在直线l上运动.当C，M，N三点共线时，如图2所示. 结论：点 N 的运动轨迹为一条直线，且M，N两点的运动轨迹长度之比为 解题关键： 思路1：确定从动点的轨迹，进而确定取到最值时从动点的位置； 思路2：通过全等或相似将所求线段转化为和主动点相关的线段，进而确定主动点的位置. 第二步精学典例 【例】(一题多解)(2024·宜宾翠屏区模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是边BC 的中点，P是边AC上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ.则CQ的最小值是______ . 第三步 1.(2024·北京西城区模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=6点P在线段BC上运动(含 B,C 两点),连接 AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为( ) A. B. C. D.3 2.(中考改编)如图,在等边三角形 ABC中,AB=10,E为高AD上的一动点,以BE为边作等边三角形 BEF,连接 DF,CF,则∠BCF=______,FB+FD的最小值为______ 3.(一题多解)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为BC上一点,且 BE=1,F为边AB上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG,则CG的最小值为______. 4.(2023·苏州姑苏区模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为3,E是边AB上一动点,连接ED,将ED绕点E顺时针旋转90°到EF,连接DF,CF,则DF+CF的最小值为______ 5.(2025·昆山模拟)如图,在矩形ABCD中,AD=6,DC=8,E为对角线 AC 上一动点, 于点G,连接CG,当CG的长度最小时，CE的长为______ . 6.(2024·泰安中考改编)(一题多解)如图，在菱形ABCD中,∠B=60°,E是边AB上的点,AE =4,BE=8,F是BC上的一点,△EGF是以G为直角顶点,∠EFG为 30°角的直角三角形，连接 AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是______. 考法7 主从联动————圆型 第一步 条件:如图1,已知定点C和动点M,N,∠MCN=α(定值), (定值)，点M在⊙O上运动.特例：当C，M，N三点共线时，如图2所示. 结论：①点 N 的轨迹为圆； ②∠O'CO=∠NCM=α; 第二步精学典例 【例】(2025·深圳福田区一模)如图,线段AB为⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是⊙O上一动点,连接CP,以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD,且使∠DCP=60°,连接OD，则OD长的最大值为______ . 第三步针对训练 13 学科网（北京）股份有限公司 1.(中考改编)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,D 是以点A为圆心，3为半径的圆上的一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2025·江门新会区二模)如图，在x轴上有A(2,0),B(5,0)两点,C为y轴右侧一动点,且CA=OA.将线段CB绕点B顺时针旋转60°到BD,连接CD,则线段AD的最大值为______ . 3.(2023·宜宾中考)如图,M 是正方形ABCD的边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP,线段BP绕点B逆时针旋转 90°得到线段BQ,连接MQ,MP.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为______. 4.(一题多解)(2022·南京秦淮区期中)如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=16,BC=12,点 P在以AB为直径的半圆上运动,连接CP,M是CP的中点.当点P由点B运动到点A时，点M的运动路径长为______ . 5.(2024·西安碑林区期末)如图，在正方形ABCD 中,AB=4,以AD的中点O为圆心,1为半径作半圆交边AD于点E，F，动点P在半圆上,若∠BPQ=90°且BP=2PQ,则当CQ最小时,△BCQ的面积为______. 6. (一题多解)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,P是平面内一个动点,且AP=3,Q为BP的中点,在点P运动的过程中，设线段CQ的长为m，则m的取值范围是______ 7.已知A 是半径为2 的⊙O上的一动点，B是⊙O外一定点,OB=6,连接OA,AB. (1)如图1，当△ABC是等边三角形时，连接OC,则OC的最大值为______; (2)如图2，当四边形ABCD是正方形时，连接OC,则OC的最小值为______; (3)如图3,当△ABC是以AB为腰,120°为顶角的等腰三角形时，连接OC，则OC的最小值为______,此时△ABC的周长为______ 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三几何综合 题型4 线段最值问题 考法 1“隐圆”加持 【例】 【解析】如图，取BC 的中点 R，连接AF,RF. ∵CF⊥BE, ∴∠CFB=90°, ∴点 F 在以点 R 为圆心,BC 长为直径的圆上. 当A,F,R 三点共线时,AF 有最小值. ∵AB=BC=4, ∴RF=RB=2, ∴AF=2 -2, ∴点 A 与点 F 之间的距离的最小值为 1. B【解析】如图，以点O为圆心，2为半径作圆.作点 A 关于x轴的对称点E(4,-3),连接BE,OE,则 B 为AE 的中点. ∵D为AC 的中点, ∴BD 是△AEC的中位线, ∴当 EC 的值最大时,BD 的值最大. ∵C为坐标平面内一点，且OC=2， ∴点C在以点O为圆心，2为半径的⊙O上运动， ∴当EC 经过圆心O时，EC 的值最大. ∵OB=4,BE=3,∴OE=5, ∴EC的最大值为5+2=7, ∴线段 BD 的最大值为 2. D 【解析】在 Rt△ADF 中, 令AF=3x,DF=4x,则( ,解得x=2(负值舍去),∴AF=6,DF=8. ∵外部的四个直角三角形全等,∴DE=AF=6,∴EF=8-6=2.故①正确. ∵Rt△ABG 的面积是正方形 EFGH 面积的3倍, ∵BG=AF=AG-FG, 整理，得 则 1=0,解得 (负值舍去)，则F 是AG 的三等分点.故②正确. 如图,由旋转可知,∠AG'D=∠AGB=90°,∴点G'在以AD 为直径的圆上. 在 Rt△ABM 中, 5.当点B,M,G'共线时,BG'取得最大值，此时 .故③正确.综上所述，正确的结论是①②③. 3. C 【解析】∵CE⊥BD, ∴∠BEC=90°, ∴点 E 在以 BC 为直径的圆上运动. 如图，取BC 的中点O，以点O为圆心，OB 的长为半径作⊙O,连接OA 与⊙O 交于点 E',连接 BE'并延长交AC于点D',连接CE'. 由点到圆上的距离可知，当点E 在点E'的位置时，AE 取得最小值,最小值为OA-OE'. 在Rt△ABC中,AC=BC=2,∴ OC = OE' = 1, OA = ∵OC=OE', ∵∠BE'O+∠CE'O=90°,∠OCE'+∠D'CE'=90°, ∴∠D'CE'=∠BE'O. ∵∠BE'O=∠AE'D', ∴∠D'CE'=∠AE'D'. ∵∠CAE'=∠E'AD', ∴△CAE'∽△E'AD', ∴AD'=3- 即当AE 取得最小值时，AD 的长为 【解析】(1)如图1,过点 N'作N'E⊥AB交BA 的延长线于点E,则∠E=90°. ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°. ∵M,N 分别是边AB 和BC 的中点, ∴在 Rt△BMN 中, ∵将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转90°得到线段 MN', ∴∠BMN+∠EMN'=90°. ∵∠BMN+∠BNM=90°, ∴∠EMN'=∠BNM. 在△EN'M 和△BMN 中, ∴△EN'M≌△BMN(AAS), ∴ME=BN=4 cm,EN'=BM=3cm, ∴BE=BM+ME=3+4=7(cm), ∴在 Rt△BN'E 中, (2)如图2，以点 M 为圆心，MN 的长为半径作圆，连接DM 交⊙M 于点 P. ∵将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转得到线段MN'， ∴点 N'始终在⊙M 上. 当点 N'与点 P 重合时，DN'的值最小，此时DN'=DP=DM-MP. 在 Rt△ADM 中, 由(1),知MN=5cm,∴MP=5cm, ∴DN'长度的最小值为( 【解析】如图,作△ADC 的外接圆⊙I,连接IA,IC,ID,IB,过点 I 作 IH⊥CB于点 H. ∵∠AIC=2∠ADC=60°,IA=IC, ∴△ACI 是等边三角形， ∴IA=IC=ID=AC=4,∠ACI=60°. ∵∠ACB=90°,∴∠ICH=30°. ∵IH⊥CB, ∴ 在Rt△IHB中, ∴线段 BD 的最小值为 【解析】如图,连接BD 交EF 于点O,取 BO的中点 J,连接 PJ,CJ,过点 J 作AJT⊥BC于点T. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=CB=8,AB=CD=6,∠A=90°,DA∥BC, 由题意可知,AE=CF,∴DE=BF. ∵∠EOD=∠BOF,∴△DOE≌△BOF(AAS), ∴OD=OB=5,OE=OF,即点 O 始终在矩形的中心上，∴点 P 在以点J 为圆心，BJ 为半径的圆上运动， ∵JT⊥CB,∴JT∥CD,∴△BJT∽△BDC, ∴CT=BC-BT=8-2=6, ∴在 Rt△JTC 中, ∴CP 长度的最小值为 7.80 4- 【解析】∵△ABC,△DCE 都是等边三角形， ∴AC=CB,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠BCD=∠ACE. 在△BCD 和△ACE 中, ∴△BCD≌△ACE(SAS), ∴∠DBC=∠EAC=20°. ∵∠BAC=60°,∴∠BAF=∠BAC+∠CAE=80°. 如图,设 BF交AC于点 T. 由上可知,∠CBD=∠CAF. ∵∠BTC=∠ATF, ∴∠BCT=∠AFT=60°, ∴点 F 在△ABC 的外接圆上运动，当∠ABF最小时,AF的值最小. ∵△DCE 是等边三角形，∴点 D 在以点C为圆心，CD长为半径的圆上运动,当CD⊥BD 时,∠ABF最小,即 AF有最小值， ∴AE=BD=4,∠BDC=∠AEC=90°. ∵CF=CF,CD=CE, ∴Rt△CFD≌Rt△CFE(HL), ∴∠DCF=∠ECF=30°, ∴AF 的最小值为 【解析】由题意,知∠ACD=90°. ∵△ACD 的面积为24, ∴AC·CD=48. 如图,过点 C向上作线段CE⊥BC,使得CE=8,连接ED. ∵BC=6, ∴BC·CE=6×8=48,即AC·CD=BC·CE, ∵CE⊥BC, ∴∠BCE=90°. ∵∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE, ∴∠ACB=∠ECD. ∴△CED∽△CAB, ∴∠EDC=∠ABC=90°. ∵CE=8,即定角定弦,∴点 D 在以CE 为直径的圆上.记圆心为直径CE 的中点O，则⊙O 的半径为4. 连接 BO,并延长与⊙O 交于点 D₁,此时 BD₁为 BD 的最大值. ∴BD的最大值是 考法2 轴对称————最短路径 【例】2 【解析】如图，作点 P 关于BD 的对称点 P'，连接CP',P'M,则 P'M=PM, ∴PM+CM=P'M+CM. ∵四边形 ABCD 是菱形,AB= 4,P 为CD 的中点, ∴点 P'是AD 的中点, ∴∠BAD=120°,∠ADC=60°, ∴CP'⊥AD, 根据两点之间，线段最短，当C，M，P'三点共线时，P'M+CM 的值最小，故 PM+CM 的最小值即为CP'的长，最小值为2 1. C 【解析】如图,连接 PC,EC,EC 交 BD 于点 P',连接P'A,AC. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴点 A,C关于BD 对称, ∴当点 P 与点 P'重合时,PA+PE 的值最小，最小值为 EC 的长. ∵CA 平分∠DCB, ∵CB=AB=CD=4, ∴△ABC 是等边三角形, ∴AC=BC=4. ∵E 是AB 的中点, ∴EC⊥AB,AE=EB=2, ∴PA+PE 的最小值为2 2. A【解析】如图,作点D关于直线OB 的对称点 E,连接AE,CE,OE,此时阴影部分的周长最小. 在扇形 AOB 中,∠AOB=60°,OD 平分 ∠AOB 交 于点D， ∴∠AOD=∠BOD=30°. 由轴对称的性质,得∠EOB=∠BOD=30°,OE=OD,CD=CE, ∴∠AOE=90°, ∴△AOE 是等腰直角三角形. ∵OA=1,∴AE= ,AD的长为 ∴阴影部分周长的最小值为 3. C【解析】如图，作点 E 关于射线 CD 的对称点 E'，过点E'作E'F⊥AB 于点 F,交射线 CD 于点 P,连接 PE,则E'P=EP, ∴EP+FP=E'P+FP=E'F,此时EP+FP 的值最小,BF=5. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°. ∵E'F⊥AB, 即 PE+PF 的最小值为5 【解析】如图,在 AB 上取点 F,使 BF=BE=2,连接 PF,CF,过点 F 作FH⊥BC 于点 H. ∵点 I 是△ABC 的内心, ∴BI平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.又∵BP=BP, ∴△BFP≌△BEP(SAS), ∴PF=PE, ∴PE+PC=PF+PC≥CF. 当C，P，F三点共线时，PE+PC 的值最小，最小值为 CF的长. ∵FH⊥BC,∠ABC=60°,∴∠BFH=30°, ∴PE+PC 的最小值为2 5. 【解析】如图,作点 E 关于AC 的对称点 E',连接 FE'交AC 于点 P',连接 PE', ∴PE=PE',AE=AE', ∴PE+PF=PE'+PF≥E'F,故当 PE+PF 取得最小值时,点 P 位于点 P'处, ∴当 PE+PF 取得最小值时,求 的值，只要求出 的值即可. 过点 F 作FG⊥AB 交AC 于点G,则∠GFA=90°. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB=∠B=90°,∠CAB=∠ACB=45°, ∴FG∥BC∥AD,∴∠AGF=∠ACB=45°, ∴∠CAB=∠AGF,∴GF=AF. ∵E,F 是正方形ABCD 的边AB 上的三等分点, 6.6 【解析】如图,作点 B 关于AC 的对称点B',连接BB'交AC 于点F,连接B'E 交AC 于点 P,此时PE+PB 的值最小，最小值为 B'E的长度. ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴CD=AB=4,∠ABC=90°. 在 Rt△ABC中,AB=4,BC=4 ∴∠ACB=30°. 由对称的性质可知,B'B=2BF,B'B⊥AC, ∵E 为BC 的中点, ∴△BEF 是等边三角形,∴EF=BF=B'F, ∴△BEB'是直角三角形, ∴PE+PB 的最小值为6. 【解析】∵四边形ABCD 为矩形, ∴∠ABP+∠PBC=90°. ∵∠ABP=∠BCP, ∴∠BCP+∠PBC=90°, ∴∠BPC=90°. 如图，作点 B 关于AD 的对称点 B'，连接B'E,则.BE+PE=B'E+PE. 设BC 的中点为O，连接B'O，交以点O为圆心,BC 长为直径的圆于点 P,此时B'E+PE的值最小，最小值为 B'P的长. ∵在 Rt△OBB'中,BB'= 2AB = 12, BO = OP = ∴BE+PE 的最小值为 8. 【解析】∵在菱形A BCD中 ,BA= B C,∠ABC=60°,∴△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=∠BCA=60°. ∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF(SAS), ∴∠BAE=∠CBF. ∵∠ABM+∠CBM=60°, ∴∠ABM+∠BAM=60°,∴∠AMB=120°.如图，作以 AB 为 弦，以∠AMB 为圆周角的⊙O,圆心O在AB 左侧, ∴点 M 在 AB 上运动.延长BC,作点 D 关于BC 的对称点D',连接 OD',交 ⊙O 于点M',交 BC 于点 P',DD'交 BC的延长线于点H， 则PD+PM=P'D'+P'M',PD+PM的最小值为D'M'的长. ∵∠AMB=120°,∴∠AOB=120°. ∵在菱形 ABCD中,CD∥AB,CD=AB=3,∴∠DCH=∠ABC=60°,∴在 Rt△CDH 中, 如图,过点O作OQ⊥DD'于点Q, ∴四边形 BHQO 为矩形, 在 Rt△OD'Q 中, ,即 PM +PD 的最小值是 考法3 轴对称————最短路径变式 【例】3c m 【解析】如图,分别作点 P 关于OA,OB 的对称点C,D,连接 CD,分别交 OA,OB 于点 M,N,连接OC,OD. ∵点 P 关于OA 的对称点为点 C，关于OB 的对称点为点D， ∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA. ∵点 P 关于OB 的对称点为点 D, ∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB, ∴OC=OD =OP =3 cm,∠COD =∠COA +∠POA +∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°, ∴△COD 是等边三角形, ∴CD=OC=OD=3cm, ∴PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3cm,即△PMN 周长的最小值是3cm. 1. B 【解析】如图,过点 B 作BH∥AC,使得 BH=EF=2,连接DH 交AC于点E,则△BEF 的周长最小. ∵BH=EF,BH∥EF, ∴四边形EFBH 是平行四边形， ∴BF=EH. ∵EB=ED, ∴BE+BF=EH+ED=DH. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. ∵BH∥AC, ∴BD⊥BH, ∴∠DBH=90°. 在 Rt △DBH 中, ∴△BEF 周长的最小值为6+2=8. 2.120°【解析】如图,分别作点 A 关于BC 和CD 的对称点A₁,A₂,连接A₁A₂,交BC于点M,交CD 于点N,则线段A₁A₂的长即为△AMN 周长的最小值. ∵∠BAD=120°, ∵∠ABM=∠ADN=90°,点 A,A₁ 关于直线 BC 对称,点 A,A₂关于直线DC 对称, ∴∠MAA₁=∠A₁,∠NAD=∠A₂, ∠ANM=∠NAD+∠A₂=2∠A₂, 【解析】如图，连接BD，作点 B 关于CD 的对称点 B₁,关于 AD B₁的对称点 B₂,连接 B₁B₂,交 CD 于点M,交AD 于点 N,连接 DB₁,DB₂,过点D 作 DH⊥ B₁B₂ 于点 H,则 BD = ∠BDC=∠B₁DC,∠BDA=∠B₂DA. ∵∠ADC=60°,∴∠B₁DB₂=120°. ∵△BMN的周长为 ∴当B₁,M,N,B₂四点共线时,△BMN 的周长最小,最小值为 4.6√ξ 【解析】如图,作点 F 关于BC 的对称点 F',作点 E关于CD 的对称点E',连接E'F'交 BC 于点G,交 CD 于点H,连接FG,EH. 由对称的性质可知，FG=F'G，EH=E'H, ∴四边形 EFGH 的周长为 EF+FG+GH+HE=EF+F'G+ ∵AB=3,AF=2,∴BF=1,∴BF'=1,AF'=4. ∵AD=6,AE=4,∴DE=2, 在 Rt△AE'F'中, 在Rt△AEF 中, ∴四边形 EFGH 周长的最小值为 5.3 一题多解 方法①如图1，作点G 关于AB 的对称点G',在 CD 上截取CH=1,连接 HG'交 AB 于点E,在 EB 上截取EF=1,此时GE+D₁CF 的值最小. ∵CH=EF=1,CH∥EF, ∴四边形EFCH 是平行四边形， ∴EH=CF, ∵AB=4,BC=AD=2,G是AD的中点, 在 Rt△HDG'中,由勾股定理,得 即GE+CF 的最小值为3 方法② 由题意，得 设AE=x,则BF=AB-EF-AE=4-1-x=3-x. 在 Rt△EAG 和Rt△CBF 中,由勾股定理,得GE+CF= 求GE+CF 的最小值可转化为在平面直角坐标系中，有两定点A(0,1)和B(3,2),在x轴上找一点P(x,0),使得点 P 到A，B两点的距离之和最小.如图2，作点 A 关于x 轴的对称点A'(0,-1),则 PA+PB 的最小值为A'B 的长, 即GE+CF 的最小值为3 6.5 【解析】如图,把 BC 向下平移3 个单位长度得到 DE，作点 E 关于y轴的对称点F,连接DF,AF,EF,则 DF=DE=BC,AD+BC=AD+DF≥AF,故当A,D,F 三点共线时,AD+BC 的值最小，最小值为AF 的长. 由题意,得A(-3,0),F(1,-3), 7. 一题多解 方法① 如图 1，过点 E 作EH⊥ BC 于 点 H,则 EH = ArAB=5. 由题意可得,BC=AD=10,∴在Rt△ABC中, 5 ∵EF⊥AC,∴∠COF=90°, ∴∠EFH+∠ACB=90°. ∵∠BAC+∠ACB=90°,∴∠EFH=∠BAC, ∴△EHF∽△CBA,∴HB=FHB=EFA, 解得 设BF=x,则 ∵FE 是定值, ∴当AF+EC的值最小时,AF+FE+EC的值最小. ∴求 AF+EC 的最小值可转化为在x 轴上找一点P(x,0),使得点 P 到点.A(0,5),B( ,₅)的距离之和最小.如图2，作点A 关于x轴的对称点A′，连接 BA′交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB 的值最小，最小值为线段A'B 的长. ∴AF+EC 的最小值为 ∴AF+FE+EC的最小值为 方法② 如图3,过点 C 作CC'∥EF,使得(CC'=EF,连接C'F. ∵EF=CC',EF∥CC', ∴四边形EFC'C 是平行四边形， ∴EC=FC', ∴AF + EC = AF + FC',故当 A,F,C'三点共线时,AF +EC 的值最小. ∵EF⊥AC,∴AC⊥CC', 由方法①，知 当A,F,C'三点 共 线 时,在 Rt△ACC'中,AC'= ∴AF+FE+EC的最小值为 【解析】如图，过点 A 作 PQ的垂线，过点 D 作PQ 的平行线,它们交于点 R,AR 分别交MN,PQ 于点K,S,以 BC,CD 为邻边作平行四边形 BCDT,连接AT,AT 交MN 于点B',作 B'C'∥BC,交 PQ₁于点C',过点D作DL⊥PQ于点L,当BC运动到B'C'处时,AB+CD 的值最小，最小值为 AT 的长. ∵∠BCQ=60°,AE∥BC∥DF,∴AK= AE=2 ∴∠ADR=30°.∵∠PFD=60°,∴∠ADT=90°, 即AB+CD 的最小值为 考法 4“胡不归”问题(kAP+BP) 【例】2 【解析】如图，过点 N 作NG⊥BC于点G,连接AN,AG,过点A 作AH⊥BC 于点 H. ∵AE 的垂直平分线MN 交AE 于点M,交BD于点N,∴AN=EN. ∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC=60°, ∴∠DBC=30°,∴BN=2NG, ∴2EN+BN=2AN+2NG=2(AN+NG)≥2AG≥2AH, ∴2EN+BN 的最小值为2AH. ∵∠ABC=60°,AB=2, ∴2EN+BN 的最小值为2 1.2 【解析】由作图步骤可知，射线 AM 为∠CAB 的平分线. ∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°. ∵AM平分∠CAB, 过点C作CN⊥AB 于点N,交AF 于点 P(图略). 在Rt△APN 中, 根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN'的值最小. 在 Rt△ACN 中,∠CAN=60°,AC=4, 2.3 【解析】过点M 作MH⊥BC于点 H,与OB 的交点为点 P(图略)，此时 的长度最小. ∵在菱形ABCD中,AB=AC=8, ∴AB=BC=AC=8,∴△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠PBC=30°, ∴在直角三角形 PBH 中,∠PBH=30°, ∴此时 取到最小值， PH=MH. ∵AC=8,AM=2, ∴MC=6. ∵∠ACB=60°且△MHC 为直角三角形, 3. 【解析】如图,过点 C 作CE⊥AB 于点E,过点 P 作 PF⊥EC 于点 F. ∵∠ACB=90°,D 是AB 的中点, ∵∠CAB=30°,∴∠B=60°, ∴△BCD 为等边三角形,∴∠DCE=30°, 在 Rt△AEC 中,∠CAB=30°,AC=2, 的最小值为 4.4 【解析】如图,连接 BC,过点 P 作 PJ⊥BC 于点J,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H. 把C(3,0)代入 得-9+3b+3=0,解得b=2, ∴二次函数的解析式为 2x+3. 令 y=0,则 解得 ∴A(-1,0). 令x=0,则y=3,∴B(0,3),∴OB=OC=3. ∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°. ∵D(0,-1),∴OD=1,∴BD=4. ∵DH⊥BC,∴∠DHB=90°, ∵PJ⊥CB,∴∠PJC=90°, ∵PD+PJ≥DH,∴PD+PJ≥2 ∴PD+PJ 的最小值为2 的最小值为4. 5.(0,1) 6 【解析】∵抛物线 关于直线x =- 3 对称,与 x 轴交于点 A (-1,0), 解得 ∴抛物线的解析式为 y = 如图，过点C在y轴右侧作射线CM，使∠OCM=45°，过点A作AH⊥CM于点H,AH交y轴于点 Q. ∵∠OCM=45°,∠QHC=90°, ∴△QCH 是等腰直角三角形， 2(AQ+QH)=2AH.由垂线段最短 可知，此时 的值最小，最小值为2AH. ∵∠AQO=∠CQH=45°,∠AOQ=90°, ∴△AQO是等腰直角三角形， ∴Q(0,1). 在 中,令x=0,得y=5, ∴C(0,5), ∴CQ=OC-OQ=5-1=4, 的最小值为6 【解析】如图,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,连接HE,HF. ∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°. ∵∠A=45°,∴∠ABD =45°,△ADB 为等腰直角三角形. 又∵DH⊥AB,∴DH=AH=BH,∠ADH=45°. 在△DEH 和△BFH 中 ∴△DEH≌△BFH(SAS), ∴HE=HF,∠DHE=∠BHF. ∵∠EHF=∠DHE+∠DHF=∠BHF+∠DHF=∠DHB=90°, ∴△HEF 为等腰直角三角形， ∴当 H,F,G三点共线时, 取得最小值. 过点 H 作HG'⊥BC于点G'. 在 Rt△BHG'中,∠HBG'=60°,BH = 的最小值为 考法5“阿氏圆”问题(kAP+BP) 【例】 【解析】如图,在OA 上取一点 E,使得OE=1,5,连接BE,CE,OC. 由勾股定理，得 ∵OC=3,OA=6,OE=1.5, ∵∠COE=∠AOC, ∴△COE∽△AOC, 在△BCE中,BC+CE≥BE, ∴BC+CE 的最小值为 BE 的长度, 的最小值等于BE 的长度. 在Rt△BOE中, 的最小值为 【解析】如图,在 AC 上截取CQ=1,连接 CP,PQ,BQ. ∵CP=3,CQ=1, ∴△ACP∽△PCQ, ∴当B,Q,P 三点共线,且点 P 在BQ 上时, 的值最小，最小值为 BQ 的长. 在 Rt△BCQ中,BC=4,CQ=1, 的最小值为 【解析】如图,在 CB 上取一点 F,使得 CF= ,连接PF,AF,CP. ∵∠DCE=90°,DE=4,DP=PE, ∵∠PCF=∠BCP, ∴△PCF∽△BCP, ∵ PA + PF ≥ AF, AF = √CF²+AC²= 的最小值为 【解析】如图，在y 轴上取一点H,使OH=9,连接BH,PH. ∵A(0,1),B(2,0),⊙O 的半径为3, ∴AO=1,OB=2,OP=3, ∵∠AOP=∠POH, ∴PH=3AP,∴3PA+PB=PH+PB≥BH, ∴当P,H,B 三点共线,且点 P 在BH 上时,3PA+PB有最小值. 在 Rt△BOH 中, ∴3PA+PB 的最小值为 【解析】如图，连接 PB，在BC 上取一点G，使得BG=2,连接PG,DG,过点D 作DH⊥BC,交BC 的延长线于点 H. ∵PB=4,BG=2,BC=8, ∵∠PBG=∠CBP,∴△PBG∽△CBP, ∴当 P,D,G三点共线,且点 G 在PD 上时, 的值最大，最大值为 DG 的长. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB∥CD,AB=CD=BC=8, ∴∠DCH=∠ABC=60°. 在 Rt△CDH 中,( 在 Rt△DHG 中, 的最大值为 【解析】如图，延长O B到点 T,使得 BT =OB,连接MT,CT. ∵OA = OB = 6, D 是 OB 的中点， ∴OM=6,OD=DB=3,OT=12, ∵∠MOD=∠TOM,∴△MOD∽△TOM, ∴CM+2DM=CM+MT≥CT,∴当C,M,T 三点共线时,CM+2DM 的值最小. 在 Rt△OCT 中,OC=4,OT=12, ∴CM+2DM 的最小值为 【解析】如图,在AB上截取一点F,使AF=4. 又∵∠FAP=∠PAB, ∴△FAP∽△PAB, 则 要使2BP+3CP 的值最小,只要PF+CP 的值最小,∴当C，P，F三点在同一条直线上， 即 P 为CF 与⊙A 的交点时,PF+CP 的值最小,此时PF+CP=CF. 在 Rt△AFC中,∵AF=4,AC=9, 即 的最小值为 ∴2BP+3CP 的最小值是 7. 【解析】如图,以A 为顶点,AC 为边,在△ABC 的外部作∠CAP=∠ABC,AP 与BC 的延长线交于点 P. ∵∠CAP=∠ABP,∠APC=∠BPA, ∴△APC∽△BPA, ∵BP-CP=BC=4, 解得 即 P 为定点， ∴满足 的点 A 形成的图形是以点 P 为圆心， 为半径的圆. 过点 P 作 BC 的垂线,交⊙P 于点A₁,此时点 A₁ 到 BC的距离最大，即△ABC 的面积最大，∴△ABC 面积的最大值为 考法 6 主从联动————直线型 【例】1 一题多解方法① 如图1,以CD 为边,在CD下方作等边三角形 CDT,连接 TQ,则点 Q 在射线 TQ 上运动. ∵△PDQ,△CDT 都是等边三角形, ∴DP=DQ,DC=DT,∠QDP=∠CDT=60°, ∴∠CDP=∠TDQ. 在△CDP 和△TDQ 中, ∴△CDP≌△TDQ(SAS), ∴∠DCP=∠DTQ=90°. ∵∠CTD=60°,∴∠CTQ=30°. ∵D是边BC的中点， ∵点 Q 在射线 TQ 上运动, ∴当CQ⊥TQ时,CQ 的值最小,最小值为 方法② 如图2，以CD为边，在CD上方作等边三角形CDM，连接 PM,过点 M作MH⊥CB 于点 H. 同方法①,可证△DPM≌△DQC, ∴PM=QC, ∴当 PM 的值最小时，CQ 的值最小，即当PM⊥AC 时,PM 的值最小,最小值为CH= CD=1,∴CQ的最小值为1. 1. D【解析】如图，以AB 为边向右作等边三角形 ABF，作射线 FQ 交AD 于点E,过点 D 作DH⊥QE 于点 H. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABP=∠BAD=90°. ∵△ABF,△APQ 都是等边三角形, ∴∠BAF=∠PAQ=60°,BA=FA,PA=QA, ∴∠BAP=∠FAQ. 在△BAP 和△FAQ中 ∴△BAP≌△FAQ(SAS),∴∠ABP=∠AFQ=90°, ∴点 Q 在过点 F 且与AF 垂直的射线上运动. ∵∠FAE=90°-60°=30°,∴∠AEF=90°-30°=60°. ∵DH⊥EF,∠DEH=∠AEF=60°, 根据垂线段最短可知，当点 Q 与点 H 重合时，DQ 的值最小，最小值为3. 2.30°5 【解析】∵△ABC 是等边三角形,AD⊥CB, ∵△BEF 是等边三角形， ∴∠EBF=∠ABC=60°,BE=BF, ∴∠ABE=∠CBF. 在△BAE 和△BCF 中, ∴△BAE≌△BCF(SAS),∴∠BAE=∠BCF=30°. 如图，作点 D 关于CF 的对称点G，连接CG,DG,BG,FG,BG 交 CF 的延长线于点 F',连接 DF'. 由对称的性质可知，FD=FG，∴FB+FD=FB+FG. 当 B,F,G三点共线时,FB+FG 有最小值，最小值为 BG 的长. 由对称的性质可知,CD=CG=5,∠DCF=∠FCG=30°, ∴∠DCG=60°,∴△CDG 是等边三角形, ∴DB=DC=DG,∴∠CGB=90°, ∴FB+FD 的最小值为5 一题多解方法① 如图1，将线段 EB 绕点E 顺时针旋转45°得到线段 ET,连接GT,连接 DE 交CG于点J. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=CD=3,∠B=∠BCD=90°. ∵∠BET=∠FEG=45°, ∴∠BET+∠FET=∠FEG+∠FET,即∠BEF=∠TEG. 在△EBF 和△ETG 中 ∴△EBF≌△ETG(SAS),∴∠B=∠ETG=90°, ∴点 G 在与 ET 垂直的直线 TG 上运动, ∴当CG⊥TG时,CG 的值最小. ∵BC=4,BE=1,CD=3,∴CE=CD=3, ∴∠CED=∠BET=45°,ED=3 ∴∠TEJ=∠ETG=∠JGT=90°, ∴四边形ETGJ 是矩形,∴DE∥GT,GJ=TE=BE=1. ∴CG|的最小值为 方法② 如图2,连接 ED,在 ED上截取.EC'=EC,连接C'F,过点 C'分别作 C'F'⊥AB,C'H⊥BC,分别交AB,BC 于点F',H. 由题意,知 EC=DC=3,FE=GE,∠FEG=∠DEC=45°, ∴△FEC'≌△GEC(SAS), ∴当C'F取得最小值时，CG 取得最小值. 当C'F⊥AB 时,C'F 取得最小值,最小值即为 C'F'的长度. ∴CG的最小值为 4.3 【解析】如图,连接 BF,过点 F 作FG⊥AB 交AB的延长线于点G. 由题意,得EF⊥DE,EF=DE, ∴∠DEA+∠GEF=90°=∠DEA+∠ADE,∴∠ADE=∠GEF.C' ∵∠DAE=∠EGF=90°,∴△AED≌△GFE(AAS), ∴AE=GF,AD=GE, ∴AD=GE=AB,∴BG=AE=FG, ∴∠CBF=∠GBF=45°, ∴点 F 在∠CBG 的平分线上运动. 作点 C 关于BF 的对称点C',连接DC', ∴点C'在AB 的延长线上,(CF=C'F, ∴DF+CF=DF+C'F, ∴当D,F,C'三点共线时,DF+CF 的值最小. 在 Rt△ADC'中,AD=3,AC'=6, ∴DF+CF 的最小值为3 【解析】如图,过点B作BP⊥AC于点P,连接 PG.5. ∠ABC=∠EBF, ∴△ABC∽△EBF, ∴∠CAB=∠FEB: ∵∠APB=∠EGB=90°,∴△ABP∽△EBG, ∴∠ABE=∠PBG, ∴△ABE∽△PBG,∴∠BPG=∠BAE, 即在点 E 的运动过程中，∠BPG 的大小不变且等于∠BAC, ∴当CG⊥PG时,CG 的长度最小. 设此时AE=x. ∵CG⊥PG,∴∠PCG=∠BPG=∠BAC,∴CPFG= 代入 解得CP=x. ∵CP=BC·sin∠CBP=BC·sin∠BAC= = 6.2 一题多解 方法① 如图 1,过点 E 作 EQ∥BC,过点 A 作AB 的垂线交EQ 于点Q,则∠B=∠AEQ=60°, ∴∠AQE=∠EFG=30°. ∵∠EAQ=∠EGF=90°, ∴△AEQ∽△GEF, ∵∠AEG=∠QEF=60°+∠QEG, ∴△AEG∽△QEF, 过点 E 作 EH⊥BC 于点 H,则 4 ∵F是BC上的一点， ∴当QF⊥BC时,QF 最小,此时 ∴AG 的最小值为 方法② 如图2,过点 E 作EM⊥BC 于点M,过点 M.作MH⊥AB 于点 H,过点 A 作AP⊥GM 于点 P. ∵∠EMF+∠EGF=180°, ∴E,M,F,G四点共圆, ∴∠EMG=∠EFG=30°. ∵∠B=60°, ∴MG∥AB,∴四边形MHAP 是矩形, ∴MH=AP. ∵BE=8,∴EM=BE·cos30°=4 ∴AG≥AP=2 ,∴AG的最小值是2 考法7 主从联动———圆型 【例】 【解析】如图,作△COE,使得∠CEO=90°,∠ECO = 60°,则 CO = 2CE,OE = 2 ,∠OCP=∠ECD,连接OP. ∵∠CDP=90°,∠DCP=60°, ∴△COP∽△CED, 即 1(定长). ∵E 是定点,DE 是定长,∴点 D 在半径为1的⊙E上. 的最大值为 1. C 【解析】如图,取AB 的中点O,连接OM,AD,CO.∵M 是 BD 的中点,∴OM 是△ABD 的中位线, ∴ OM ∥ ∴点 M 在以点O为圆心， 为半径的圆上. ∵∠ACB=90°,AC=5,BC=12, ∴CM 的最小值为 2.5【解析】以 AB 为一边在 AB 的上方作等边三角形ABE,连接DE,如图所示. ∵点A(2,0),点 B(5,0), ∴OA=2,OB=5, ∴AB=OB-OA=3, ∴CA=OA=2. ∵△ABE 是等边三角形, ∴AB=EB=AE=3,∠ABE=60°. 由旋转的性质,得 BC=BD,∠CBD=60°, ∴△BCD 是等边三角形, ∴BC=BD=CD. ∵∠ABE=∠CBD=60°, ∴∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD, ∴∠ABC=∠EBD. 在△ABC 和△EBD 中 ∴△ABC≌△EBD(SAS),∴DE=AC=2. 根据“两点之间,线段最短”,得 AD≤AE+DE=5, ∴当点A，E，D 共线时，AD 的值最大，最大值是5. 【解析】如图,连接 BM,将△BCM 绕点 B 逆时针旋转90°得到△BEF,连接MF,QF. ∵∠PBQ=∠MBF=90°, ∴∠PBM=∠QBF. 由旋转的性质,得 PB = QB,MB=FB, ∴△BPM≌△BQF(SAS),∴MP=FQ=1, ∴点 Q 的运动轨迹是以点 F 为圆心，1为半径的弧. ∴MQ 的最小值为 4.5π 一题多解方法① 如图,连接 AP,BP,分别取BC,AC 的中点E,F,连接ME,MF,EF,以 EF 为直径作半圆 EMF. ∵∠ACB=90°,AC=16,BC=12, ∵AB 是直径,∴∠APB=90°,即AP⊥BP.在△BPC中,∵M,E分别为PC,BC的中点, 在△APC中,∵M,F分别为PC,AC的中点, 即∠EMF=90°, ∴点 M 在以EF 为直径的半圆上运动. ∵E,F 分别为BC,AC的中点,AB=20, ∴点 M 的运动路径长为 方法② 如图,取AB 的中点O,连接OC,PO,取OC 的中点 N,连接 MN. ∵M是CP 的中点,N 是OC 的中点,∴MN∥OP,MN= ∴点M 在以点N 为圆心， 的长为半径的半圆上运动. ∵ ∠ACB = 90°, AC = 16, BC = 12, ∴ AB = ∴点 M 的运动路径长为 【解析】如图,连接OB,过点O 作OO'⊥OB 交CD 于点O',则 连接BO',QO',OP. ∵四边形 ABCD 是正方形,O是 AD 的中点， ∴△AOB∽△DO'O, ∵∠BPQ=90°,BP=2PQ, ∴△BPQ∽△BOO', , ∴点Q在以点O′为圆心， 为半径的半圆上运动. 当O',Q,C三点共线时,CQ最小, 此时 且△BCQ 为直角三角形， 6. 一题多解 方法① 如图1，取AB 的中点M,连接QM,CM. 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC= ∵M是AB 的中点, 又∵Q是PB 的中点, ∴QM 是△APB 的中位线, 在△CMQ中,CM-MQ<CQ<CM+MQ, ∵C,M 是定点,Q是动点,且点 Q 在以点M 为圆心,QM的长为半径的圆上运动， ∴当C,M,Q三点共线,且点 Q在线段CM 上时,m 取得最小值 当C，M，Q三点共线，且点 Q 在CM 的延长线上时，m 取得最大值 综上所述，m的取值范围是 方法② 如图2,延长 BC 至点 N,使 BC=CN,连接NP,NA. ∵Q是PB 的中点,C 是BN 的中点, ∴CQ 是△BPN 的中位线, ∵∠ACB=90°,BC=CN, ∴AN=AB=10. 在△APN 中,AN-AP<PN<AN+AP,由题意，得点 P 在以点A 为圆心，AP 的长为半径的圆上运动,∴当 P,A,N 三点共线,且点 P 在线段 AN 上时，PN 取得最小值7； 当 P,A,N 三点共线,且点 P 在 NA 的延长线上时,PN取得最大值13,即7≤NP≤13. ∴m的取值范围是 7.(1)6+2 (2)6 -2 (3)4 6+4 【解析】(1)将线段OB 绕点B 顺时针旋转60°到O'B,连接OO',CO'(图略). 由旋转的性质，知 ,即△OBO'是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC, ∴∠OBO'=∠ABC=60°,∴∠OBA=∠O'BC. 在△OBA 和△O'BC 中 ∴△OBA≌△O'BC(SAS),∴O'C=OA=2 在△OO'C 中,OC<OO'+O'C, ∴当O,O',C三点共线,且点 C 在OO'的延长线上时,OC=OO'+O'C,，即OC 的最大值为( (2)如图 1,作以 OB 为 边 的正方形OBC₁D₁,连接OC₁,C₁C. ∵四边形OBC₁D₁是正方形, ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA=BC,∠ABC=90°, ∴∠OBC₁=∠ABC,∴∠OBA=∠C₁BC. 在△OBA 和△C₁BC 中 ∴△OBA≌△C₁BC(SAS),∴CC₁=AO=2 在△OCC₁中, ∴当O,C₁,C 三点共线,且点 C₁ 在 OC 的延长线上时， ，即OC 的最小值为 (3)如图2,作以OB 为腰,B 为顶点,顶角为120°的等腰三角形OBC₂,连接C₂C. ∴∠OBA=∠C₂BC. 在△OBA 和△C₂BC 中, ∴△OBA≌△C₂BC(SAS),∴CC₂=AO=2 在△OCC₂中, ∴当O,C₂,C 三点共线,且点 C₂ 在 OC 的延长线上时， 即 OC 的最小值为 4 ,此时,如图3,过点 B 作 BB₃⊥AC 于点 B₃,并延长OA 至点O₃,使得 BO₃⊥OO₃. △OBA≌△C₂BC, 在 Rt△OBO₃中, OB=6,∠O₃OB=30°, 在Rt△ABO₃中, ∵BA=BC,∠ABC=120°,∴BC=AB=2 在Rt△ABB₃中, ∴△ABC的周长为 4 11 学科网（北京）股份有限公司 $