小专题1 含参二次函数的对称性、大小比较和最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

小专题1含参二次函数的对称性、大小比 (2024.12,2023.24,贵阳2年必考) 类型1对称性问题(2024.12) 1.（2024贵州12题改编)二次函数y=2x2-8x+m的图象与x轴有两 个交点，若其中一个交点的坐标为(-1,0)，则另一个交点的坐标 为 2. 二次函数y=x2+bx+3的图象经过点B(2,3),则该图象的对称轴 为 3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点，若点A的坐 标为(-2,0)，线段AB的长为8，则抛物线的对称轴为 【变式】已知抛物线y=ax2+bx-2(ab>0)与y轴交于点A,过点A作 x轴的平行线交抛物线于点B,若AB=3,求点B的坐标 类型2二次函数值大小比较问题 4.已知点(1，y1),(2,y2)在函数y=x2的图象上，则y1与y2的大小关 系是 A.y1>y2>0 B.y2>y1>0 C.y1<y2<0 D.y2<y1<0 5.已知二次函数y=(x-1)2+2的图象上有三点A(-2,y1),B(2,y2), C(3,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 （用“<”连接) 6.逆向思维已知抛物线y=ax2-2ax+3(a为常数，且a>0)经过点 A(-2,m)和点B(t,n),若m<n,则t的值可能是 A.-1 B.-4 C.1 D.4 7.(2025福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上， 若3<b<4,则下列判断正确的是 A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 44 较和最值问题 同技巧解读 二次函数的对称性问题常见 方法： (1)二次函数的图象是轴对 称图形. ①抛物线y=a(x-h)2+k关 于直线x=h对称； ②抛物线y=ax2+bx+c关于 直线=力对称： 2a ③抛物线y=a(x-x1)(x-x2） 关于直线=对称 2 (2)抛物线上纵坐标相同的 两点，由对称轴为中点可根 据一点求出另一点坐标」 园技巧解读 二次函数值大小比较的常见 方法： (1)代入法：将所求，点的横 (或纵)坐标代入表达式求出 对应的纵（或横）坐标，进行 大小比较； (2)函数增减性法：根据抛物 线的对称性，将点坐标转化 到对称轴的同侧，根据增减 性比较大小； (3)距离比较法：根据点的横 坐标计算各，点到对称轴的距 离，当a>0时，抛物线上的点 距离对称轴越近，函数值越 小：当a<0时，抛物线上的，点 距离对称轴越远，函数值越小 类型3最值问题(2023.24(3)，贵阳2年必考) 园技巧解读当二次项系数、自变量的区间或对称轴含参数时，解题的关键是分类讨论思想及画草图. (1)若未限定自变量的取值范围，则在对称轴处取得最值，若α的符号未知，则需分类讨论： ①a>0:②a<0. (2)若自变量的取值范围被限定，且自变量的取值范围含参数时，则需分类讨论： ①对称轴在取值范围左侧； ②对称轴在取值范围右侧； ③对称轴在取值范围内靠近左侧端点： ④对称轴在取值范围内靠近右侧端点 例如：当a>0,x,≤x≤x,时，二次函数的最值情况如下： 对称轴与取值 对称轴在 对称轴在1≤x≤x2内 对称轴在 范围的关系 x,≤x≤x2右侧 离x,近 离，近 x1≤x≤x2左侧 2 图示 12 2a 2a 2a 2a x=x,时，y最大 x=x,时，y最大； x=x时，y最大； x=x2时，y最大； 结论 x=2时，y最小 X=- 时，y最小 2a x 时，y最小 2a x=x,时，y最小 8.已知抛物线y=-x2+2x+3. (1)当-2≤x≤0时，y的最大值为 (2)当-2≤x≤2时，y的最小值为 (3)当2<x<4时，y的最大值为 9.已知关于x的二次函数y=(x-h)2+3,当1≤x≤3时，函数有最小值2h,求h的值， 点拨：最值不定时，根据最值在已知 区间的不同位置分类讨论 10.多解法[2023年24(3)题考法]已知抛物线y=-x2+2mx-2m+1(m为常数），当2≤x≤6时，所 对应的函数值y总大于-5，求m的取值范围. 点拔：解法1：根据对称轴在2≤x≤6左侧、右侧、 中间（靠近2、靠近6）四种情况分类讨论，根据不 同情况中y的最小值>-5，列不等式求解 解法2：根据y>-5,化简得x2-2mx+2m-6<0在 2≤x≤6中恒成立，列关于m的不等式组求解 45小专题1含参二次函数的对称性、大小比较 和最值问题 1.(5.0)2.直线x=1 3.直线x=2或直线x=-6 【变式】解：对于y=ax2+bx-2(ab>0),当x=0时，y=-2 点A的坐标为(0，-2)， 又AB=3,直线AB∥x轴， .点B的坐标为(3，-2)或(-3，-2) ab>02a<0,抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴.点B的坐标为(-3，-2). 4.B5.y<y3<y16.B7.A 8.(1)3(2)-5(3)3 9.解：在y=(x-h)2+3中，1>0，对称轴为直线x=h, ∴.当x<h时，y随x的增大而减小：当x>h时，y随x的增 大而增大 ①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小值3，即2h= 3 3,解得h=2 ②若h<1,则在1≤x≤3范围内，当x=1时，函数取得最 小值2h,即(1-h)2+3=2h,解得h=2(不合题意，舍去)； ③若h>3,则在1≤x≤3范围内，当x=3时，函数取得最 小值2h,即(3-h)2+3=2h,解得h1=6,h2=2(舍去). 综上所述，6的值为子或6 10.解：y=-x2+2mx-2m+1, 2m 六对称轴为直线x=2x-1)m, ①若m≥6，则当x=2时，函数取得最小值，即y=-4+ 4m-2m+1>-5,解得m>-1,.m≥6； ②若m≤2，则当x=6时，函数取得最小值，即y=-36+ 12m-2m+1>-5,解得m>3(舍)： ③若2<m≤4，则当x=6时，函数取得最小值，即y=-36+ 12m-2m+1>-5,解得m>3,∴.3<m≤4： ④若4<m<6,则当x=2时，函数取得最小值，即y=-4+ 4m-2m+1>-5,解得m>-1,∴.4<m<6. 综上所述，m的取值范围是m>3. 小专题2函数中的线段和面积问题 例1.解：(1)(-1,0)(3,0)(0，-3)y=x-3 9 (2)PE*=4 (3):P(m,m2-2m-3),PF⊥y轴，直线BC的表达式 为y=x-3, ∴.点M(m2-2m,m2-2m-3),F(2-m,m2-2m-3), .∴.PM=m-(m2-2m)=-m2+3m,FM=m2-2m-(2-m)= m-m-2. .FM=2PM,∴.m2-m-2=2(-m2+3m). 7±√73 整理，得3m2-7m-2=0.解得m= 6 6 点P在第四象限m>0点P的横坐标为+y万 6； (4)①y=-x2+2x+3; ②由①易得点D(0,3),则直线BD的表达式为y=-x+ 3,设Q(t,-t+2t+3),则N(t,-t+3). 如解图，过点V作NHLy轴于点 H,则NHOB,NH=t. 0B=0D,∴.∠DB0=45°， .∠DNH=∠DB0=45°， H-- A w-号aN0N+号aN=0+ N=-t2+2t+3-(-t+3)+t=-(t-2)2+4. -1k0…当1=2时，0N+2DN的最大值为4 例2.解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3: (2)①油(1)得点P(m,-m2+2m+3). ·y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 抛物线的对称轴为直线x=1, 点A(-1,0),点B(3,0),.AB=3-(-1)=4. 1 六5apw=2×4(-m+2m+3)=-2m+4m+6(0<m<3)； ②过点P作PH∥y轴交BC于点 H,如解图， P(m,-m+2m+3),则H(m -m+3), B .∴.PH=-m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m, 5a=m1-1=分x(-m+3m)×3 1 8 、 2<0,05m<3, 六当网-子时5取最大值号 此时-m+2m+3=-(+2}3 3 15 41 点P的坐标为（弓子 【针对训练】 1.解：(1)二次函数的表达式为y=x2+x-2: (2)由题意，设P(m,n)(m<0,n>0), ·△PDB的面积是△CDB面积的2倍， S△PB=2,即 1BD·n 2 SACDB BD·C0 1 2202 .C(0,-2),.C0=2,.n=2C0=4 由m2+m-2=4,解得m1=-3,m2=2(舍去). 点P的坐标为(-3,4.