第9章 培优课 概率与统计的综合问题（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

培优课　概率与统计的综合问题 1.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好地服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数x（0＜x≤10）与孩子的喜爱程度y（0≤y≤1）进行统计调查，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，通过计算变量x，y的样本相关系数r，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当｜r｜∈[0.75，1]时，x与y相关性很强）； （2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为80%；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为30%.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ 参考公式：样本相关系数r＝. 2.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据：＝86，＝112，xiyi＝82 743，＝62 680. （1）建立y关于x的回归模型＝x＋，根据所给数据及回归模型，求y关于x的经验回归方程（精确到0.1，精确到1）； （2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为推进器是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 附：经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－，χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828 3.某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）. 第一 天 第二 天 第三 天 第四 天 第五 天 第六 天 第七 天 序号x 1 2 3 4 5 6 7 小明成功 次数（y） 16 20 20 25 30 36 a 小红成功 次数（z） 16 22 25 26 32 35 35 （1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； （2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的经验回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值. 参考公式：经验回归方程＝x＋中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝－. 参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋32＋42＋52＋62＝91. 4.为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下数据.根据医学相关知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常. 男性 ：5　7　9　8　18　19　21　23　27　29 25　 32　 34　 35　 37　 38　 41　 42　 47　 54 女性： 13　 14　 21　 25　 25　 28　 31　 32　 34　 35 38　 40　 43　 47　 48　 49　 52　 55　 56　 57 （1）依据样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为此项血液指标与性别有关联； （2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的概率分布及数学期望. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　概率与统计的综合问题 1.解：（1）由表知，＝＝7， ＝＝0.6， （xi－）（yi－）＝（5－7）×（0.55－0.6）＋（6－7）×（0.50－0.6）＋（7－7）×（0.60－0.6）＋（8－7）×（0.65－0.6）＋（9－7）×（0.70－0.6）＝0.45， （xi－）2＝（5－7）2＋（6－7）2＋（7－7）2＋（8－7）2＋（9－7）2＝10， （yi－）2＝（0.55－0.6）2＋（0.50－0.6）2＋（0.60－0.6）2＋（0.65－0.6）2＋（0.70－0.6）2＝0.025， 则r＝＝＝0.9∈[0.75，1]， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强. （2）设事件A1为“机器人执行命令正确”，事件A2为“机器人执行命令错误”，事件B为“使用者不满意”， 则P（A1）＝90%＝0.9，P（A2）＝10%＝0.1， P（B｜A1）＝1－80%＝0.2，P（B｜A2）＝1－30%＝0.7， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝0.9×0.2＋0.1×0.7＝0.25， 所以P（A1｜B）＝＝＝＝0.72. 2.解：（1）由题意得＝＝＝≈1.6， 则＝112－1.6×86≈－26， 所以＝1.6x－26. （2）原假设为H0：推进器是否报废与保养无关， 由题意，报废推进器中保养过的共20×30%＝6（台），未保养的推进器共20－6＝14（台）， 补全2×2列联表如下： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则χ2＝＝＝9.375＞6.635， 所以有99%的把握认为推进器是否报废与保养有关. 3.解：（1）因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种情况， yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数， 又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，yi＋a≥zi， 即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得a≥44， 又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44＋1＝12种情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为＝. （2）由题设可知：xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582， ＝＝， ＝＝， 所以＝＝，＝－＝－×＝11， 所以成功次数y关于序号x的经验回归方程为＝x＋11. 当x＝7时，＝×7＋11＝38， 估计小明第7天成功次数a的值为38. 4.解：（1）由题中数据可得2×2列联表为 正常 偏高 合计 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计 28 12 40 χ2＝≈1.905＜6.635，所以没有99%的把握认为此项血液指标与性别有关联. （2）由样本数据可知，男性此项血液指标正常的概率为，女性此项血液指标正常的概率为.抽取的人中此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0，1，2，3，4. P（X＝0）＝（1－）2×（1－）2＝， P（X＝1）＝××（1－）×（1－）2＋（1－）2×××（1－）＝， P（X＝2）＝（）2×（1－）2＋××（1－）×××（1－）＋（1－）2×（）2＝， P（X＝3）＝××（1－）×（）2＋（）2×××（1－）＝，P（X＝4）＝（）2×（）2＝. 所以随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝， 因此此项血液指标为正常的人数X的数学期望为. 学科网（北京）股份有限公司 $