第7章 计数原理 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11,22,33,44)， (11,22,34,43),（11,22,33,44),（11,22,34,42),(11,24,33 43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22, 31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13, 21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40), (13,24,31,42),(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33, 42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22 33,40),所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为 15+21+33+43=112.故答案为24：112. 9.A解析：(x-)的二项展开式的通项公式为T+1=C4x4 （-)'=C(-1)4(=01,23,4),令4-7=3，解得r=2,故 所求即为C2(-1)2=6.故选A 10.20 解：因为（号） 的展开式的通项公式为T,+1= c(信）（借厂-c-0-6,令6-= 0,可得r=3,所以常数项为3C6=20.故答案为20. 1.-28解析：因为(1-))=(+)-()， 所以（1-士)(x+y)°的展开式中含y的项为Cy c3y5=-2y,所以(-子）(x+y)°的展开式中y的 系数为-28.故答案为-28. 方法总结 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式 连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以 免重复或遗漏：也可利用排列组合的知识求解， 12,5解析：由题得展开式的通项公式为71=C0￥，0s r≤10且r∈Z,设展开式中第r+1项系数最大，则 r合29 4 即29 ≤r≤ 33 11-r 4 4 r≤4 又因为r∈Z,故r=8,所以展开式中系数最大的项是第9项，且 该项系数为c品（仔）尸5枚答案为5 第7章 章末检测 1.C解析：因为(a+b)n的展开式有(n+1)项，所以n+1=9,解得n= 8.故选C. 2.B解析：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法 的种数是43.故选B. 3.C解析：A41=(2+1)×(2)×(2-1)=V2.故选C 4.B解析：先排东郊文社，有A}种，再从另外九景中选3景依次游 览，有A。种，所以共有A?A8=1512(种)游览的情祝.故选B. 5.B解析：从A出发沿着水平面的网格线爬行到B,需要走五段路， 其中三纵二横，最短路径有C=10(条)，由点B沿着长方体的棱 爬行至顶点C处，点B处出发有3条路径，爬过一条棱后又各有 2条最短路径到C处，最短路径有3×2=6（条），所以从A到C可以 爬行的不同最短路径条数有10×6=60（条）.故选B. 6.B解析：(x+2y-3z)5=[(2y-3z)+x]5展开式的通项公式为 T+1=C5(2y-3z)5-x,r∈N,r≤5，若展开式中的项不含x,则r=0, 此时符合条件的项为(2y-3z)5展开式中的所有项，令y=z=1,得 选择性必修第二册·SJ 这些项的系数之和为(-1)5=-1.故选B. 7.B解析：分三类：种两种花有A种种法；种三种花有2A种种法； 种四种花有A4种种法.共有2A3+A2+A4=84(种)种法.故选B. 8.B解析：由于132024=(1+12)2024=C924+12C24+122C号24+ 123Cm4++12203C3+12224,所以a=122C号n4+122C号m4+ …+12223C号8+12224=13204-C94-12C24,由于a=132024 C924-12C3m4=(17-4)204-C9m4-12C3m4,所以(17-4)204= C2a·17204-4C4·172+42C号e4·1722-+424C3, 所以a=C94·17224-4C4·172023+42C3m4·17202-… 42023·C38·17+42024-C94-12C24,由于42024=161012= (17-1)102=C902·17102-C1o2·171o1+C702·171010-… C18B·17+C189,所以a=C9m4·172024-4C224·172023+- 42023C38照·17+C902·17102-C102·17101+…-C18盟· 17-12C2024 因为-12C224=-17×1429+5,所以a被17除后余数为5，由a=b (mod17),则正整数b的最小值为5.故选B. g.此解折：二项式(2-店)广'的展开式的通项公式为一 g2(日广=G27(-10s≤5eN.对 于A,令10=5，得r=2,所以含的项的系数为C2, (-1)2=80,所以A错误：对于B,二项式系数和为25=32，所以 B正确；对于C,令10-=0，得，=4，所以常数项为c时·2 (-=10,所以c正确：对于D,因为二项式（店广'的展开 式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即C?=C= 10,所以D错误故选BC. 10.ACD解析：对于A,没有空盒子的放法种数为A4=24(种)， 故A正确；对于B,1号盒子为空盒子的放法种数为 cCC.A=36,放B错误；对于C,恰有1个空盒子的放法种数 A3 为C.C3CC.A=14,故C正确，对于D,恰有2个空盒子的 /CCZ 放法种数为C好· A好 2+C4·A号=84，故D正确.故选ACD. 11.AB解析：已知(2+x)(1-2x)5=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x3+ a6x6,令等式中的x=0,可得a0=2,a5的值，即展开式中x的系 数，为2×(-2)5C+(-2)4C=16,故A正确；在所给的等式中，令 x=1,得a+a1ta2+a3ta4+a5+a6=-3①，又因为ao=2,所以 a1+a2+a3+a4+a5+a6=-5,故B正确；在所给的等式中，令x=-l, 得a0-a1+a2-a+a4-a5+a6=243②，由①②得a1+a3+a5= -123,故C错误；(2+x)(1-2x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x+ a5x5+a6x,等式两边求导可得(1-2x)5-10(2+x)(1-2x)4=a1+ 2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x3,令x=1,则a1+2a2+3a3+4a4+ 5a5+6a6=-1-30=-31,D错误.故选AB. 12.324解析：由题意至少有1件次品的抽法有C2sC2+CC18=324, 故答案为324. 13.0解析：因为(x+y)·(x-y)5=x(x-y)+y(x-y)5,其中(x-y)5 展开式的通项为T+1=C5xr(-y)(0≤r≤5，reN),所以(x+ y)·(x-y)5的展开式含xy3的项为xC3x2（-y)3+ yC3x3(-y)2=-Cgx3y3+Cx3y3=0,即(x+y)·(x-y)5的展开式 中x3y3的系数为0.故答案为0. 14.C3解析：从编号为1,2,3，…，n+3个球中，取出6个球，记所 选取的六个小球的编号分别为a1,a2,…,a6,且a1<a2<…<a6, 学霸42 当a3=3时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2的球中 选取2个；第二步，选取编号为3的球；第三步，从剩下的n个球 中任选3个，故选取的方法数为C?·C吲·C2=C2;当a3=4时，分 三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2,3的球中选取2个：第 二步，选取编号为4的球：第三步，从剩下的n-1个球中任选 3个，故选取的方法数为C子·C·C31=C好·C31;…; 当a3=n时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2,3，…， n-1的球中选取2个；第二步，选取编号为n的球；第三步，从剩 下的3个球中选3个，故选取的方法数为C2,·C·C=C21； 至此，完成了从编号为1,2,3，…，n+3个球中，选取6个球，第 3个球的编号确定时的全部情况，另外，从编号为1,2,3，…，n+ 3个球中，取出6个球，有C+3种取法，所以C+C写·C-1+C?· C22+…+C22·C经+C层1=C*3故答案为C*3 2A8+7A82×8×7×6×5×4+7×8×7x6×5 15.解：(1) AA 8x7x6x5x4x3x2x1-9x8x7x6x5=1 (2):An=10A3,.2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),又n≥ 3,化简得4n-2=5n-10,解得n=8. 16.解：(1)从3名男生、4名女生中选5人排成一排，有A3= 2520(种)不同的排列方法. (2)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法， 再将女生全排列，有A种方法，所以共有A4×A4=24×24= 576(种)方法. (3)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾共5个空位中 任选3个空位安排男生，有A?种方法，所以共有A×A?=24× 60=1440(种)方法 1.解()当a=5时，令1，得二项式(2法)广的晨开式中各 系数和为动 2二项式(2话)广(aN)展开式的道项为 n! 2 C10,.2× n! 1(m-9)181(a-8101(m-10,即g(9 (n-8)(n-9)十90→m2-37n+322=0→n=14或n=23;当n=14 1 ,1 14 14-2r 时，二项式 1 2派 展开式的通项为T+1=C14x3· 第8章 8.1 条件概率 第1关（练速度） 1.C解析：由题意知，事件AB为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰 子的点数之和等于8，则事件AB包含的基本事件为(5,3)，(6,2)， 而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有36种情况，所以P(AB)= 3618因为甲骰子的点数大于4有5,6两种情况，所以P(A)= 21 1 3,所以P(B1A)=PCA)181 21 故选C 6 P(A)16 3 方法总结 公式P(A1B)=P八AB)是求条件概率最恭本的方法，其关健是求出 P(B) P(B)和P(AB),要注意结合题目的具体情况进行分析， 2.B解析：由题意可得，n(A)=C+C2,n(AB)=C,所以P(BIA)= 参考答案 (厂所似宁是常数，符合当a=的时者 ()广cC学是常数则空N,不符，舍去，所以=4 18.解：(1)七个数字0,1,2,3,4,5,6中，偶数字为0,2,4,6，奇数字为 1,3,5,允许有重复数字的，百位数字是0的三位数偶数有4×7= 28(个)，所以允许有重复数字的三位数偶数有4×72-4×7= 168(个). (2)无重复数字的能被5整除的四位数，个位数字只能为0或5， 当个位数字为0时，有A?=6×5×4=120(个)，当个位数字为5 时，有5A?=5×5×4=100(个)，所以无重复数字的能被5整除的 四位数有120+100=220（个）. 【《③)由椭圆方程。+1，其中a,be0,12,3,45,6,知a2 6≠0， 当a>b时，由2c≥8，得2√a2-b2≥8整理得b2≤a2-16,所以a= 5或6，若a=5,则b=1,2,3,此时满足条件的椭圆方程有3个，若 a=6,则b=1,2,3,4,此时满足条件的椭圆方程有4个，所以满足 条件的椭圆方程有3+4=7（个），同理，当α<b时，满足条件的椭 圆方程也有7个. 综上，焦距不小于8的不同椭圆方程有7+7=14（个）， 19.(1)解：方法一：记S=C2+2C2+3C3+…+7C7,则S=7C+6C+ 5C+…+C)=7C9+6C2+5C2+…+C,两式相加，得2S=7(C9+C+ …+C7)=7×27,所以S=7×64=448. 方法二：原式=C+6C+2C2+5C+3C3+4C4+7C7=7(C9+C)+C号+ C3)=7×(1+7+21+35)=7×64=448. (2)证明：显然k2C=k·kC=k·nC1,而kC{=(k-1)C+ C1=(n-1)C3+C{,因此k2C=n(n-1)C3+nC1,则 ,k2C=n(n-1)C3+nC1=n(n-1)·2-2+n·2-1= n(n+1)·2-2.所以原命题成立. (3)证明：设等差数列a,a1,a2,…,an的公差为d,d≠0，则 p(x)=aC%(1-x)n+a1Chx(1-x)m-1+a2C2x2(1-x)m-2+…+ a.Cax"=aoCo(1-x)"+(ao+d)Cnx(1-x)-1+..+(ao+nd)Cnx"= ao[C9(1-x)"+C%x(1-x)n-1+…+Cx]+d[Chx(1-x)n-1+ 2C2x2(1-x)-2+…+nCgx”]=a0[(1-x)+x]"+dnx[C9-1· (1-x)1+C以1x(1-x)-2+…+Cgx-1]=a0+dnx· [x+(l-x)]-1=ao+dnx,所以对任意的neN*,p(x)是关于x的 一次函数 概率 滑g9益 BCD解析：A选项，由P(BIA)=PA)及0<P(A)≤1知 P(BIA)≥P(AB),A错误：B选项，当事件A包含事件B时，有 P4D)=P(®)，此时P(Bd,B正确；C远项，由概率的性 质可知0≤P(B1A)≤1，C正确；D选项，P(A1A)=PAnM P(A) P(A1,D正确故选BCD. P(A) 4.C解析：记“甲地下雨”为事件A,“乙地下雨”为事件B,由题意可 1 2 3 A知P(A)=g,P(B)7,P(AB)=6,则P(B1A)=P=6= P(A)2= 5 所以在甲地下雨的条件下，乙地也下用的概率为故运C 5 学霸43第7章 （时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.(2024·江苏盐城高二期中)已知(a+b)”的 展开式共有9项，则n= A.6 B.7 C.8 D.9 2.（2024·江苏苏州高二月考)现有3位游客来 黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览， 不同选法的种数是 A.34 B.43 C.24 D.12 3.(2024·江苏南通高二月考)规定A”=x(x- 1)·…·(x-m+1),其中x∈R,m∈N*) 且Ag=1,这是排列数A(n,m∈N,且m≤ n)的一种推广，则A1= () B.1 C.2 D.2 4.(2024·江苏南通海安中学高二月考)江苏海 安是江海文明的发源地，物华天宝，人杰地灵， 海安曾有名胜“三塘十景”，可惜时光变迁，战 火摧残，多数已面目全非.随着海安城市人文 建设的深化，“三塘十景”逐一复原重建.海中 高二年级几名同学打算利用周末时间寻访 “十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园 菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠 柏、双桥曲径、桂岭秋香.因时间有限，计划从 中随机选取4个依次游览，若选中东郊文社， 则东郊文社不是第一个游览的情况有()》 A.2016种 B.1512种 C.1426种 D.1362种 第7章 章末检测 总分：150分) 5.(2024·江苏苏州高二期中)一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点 B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可 以爬行的不同最短路径条数为 () A.40 B.60 C.80 D.120 6.(2024·江苏徐州高二期中)(x+2y-3z)5的 展开式中所有不含x的项的系数之和为 A.-32 B.-1 C.1 D.243 7.（2024·江苏扬州高二月考)如图，一环形花 坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供 选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块 种不同的花，则不同的种法总数为（) A.96 B.84 C.60 D.48 8.（2024·江苏泰州高二期中)设m为正整数，a 和b均为整数，若a和b被m除后余数相同， 则称a和b模m同余，记为a=b(modm).已 知a=122Cm4+123C2m4+…+1220C0+ 1224,a=b(mod17),则正整数b的最小值为 A.4 B.5 C.12 D.13 学霸057 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分 9.（2024·江苏泰州中学高二期中)关于二项式 的展开式，下列说法正确的有 A.含x3的项的系数为-80 B.二项式系数和为32 C.常数项为10 D.只有第3项的二项式系数最大 10.(2024·江苏南京高二期中)将4个不同的 小球全部放入编号分别为1,2,3,4的4个 盒子中，下列正确的是 A.没有空盒子的放法种数为24 B.1号盒子为空盒子的放法种数为64 C.恰有1个空盒子的放法种数为144 D.恰有2个空盒子的放法种数为84 11.（2024·江苏南通高二月考)已知(2+x)· (1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x3+ a6,则 A.a5的值为16 B.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5 C.a1+a3+a5的值为120 D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分 12.(2024·江苏南京师大附中高二期中)在 20件产品中，有18件合格品，2件次品.现从 这20件产品中任意抽出3件，至少有1件 次品的抽法有 种.（请用具体数字 作答) 13.（2024·江苏无锡高二期中)（x+y)· (x-y)5的展开式中x3y3的系数 为 .(用数字作答) 选择性必修第二册·SJ号 14.（2024·江苏常州一中高二期末)我们常常 运用对同一个量算两次的方法来证明组合 恒等式，如：从装有编号为1,2,3，…，n+1的 n+1个球的口袋中取出m个球(0<m≤n,m, n∈N),共有C%1种取法.在C+1种取法中， 不取1号球有Cm种取法；取1号球有Cm- 种取法，所以C+C-=C%1·试运用此方法， 写出如下等式的结果：C+C?·C3,+C经· C2-2+…+C2-2·C+C2-1= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 5.(13分)(2024·江苏扬州高二月考)(1)计 .2A8+7Ag 算：A-Ag (2)若A3n=10A3,求正整数n. 霸058 16.(15分)(2024·江苏连云港高二期中)有17.(15分)(2024·江苏常州一中高二期末)已 3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求 不同的排列方法总数 知二项武版左广aEN (1)选5人排成一排； (1)当n=5时，求二项式展开式中各系数 (2)全体排成一排，女生必须站在一起； 的和； (3)全体排成一排，男生互不相邻. (2)若二项式展开式中第9项，第10项，第 11项的二项式系数和成等差数列，且 二项展开式中存在常数项，求n的值. 第7章学霸059 18.(17分)(2024·江苏苏州高二月考)用0,19.（17分)(2024·江苏淮安高二期中)某同学 1,2,3,4,5,6这七个数字，完成下面三个 在研究二项式定理的时候发现：f(x)= 小题 (1+x)=1+Cx+C2x2+…+C-1x”-1+Cx”,其 (1)用以上七个数字能组成多少个三位偶数 中C为x的系数，它具有好多性质，如： (允许有重复数字)？ ①1+C+C2+…+CA-1+C=2”;②C=CAm; (2)用以上七个数字能组成多少个无重复数 ③kC=nC1,请借助于该同学的研究方法或 字的能被5整除的四位数？ 者研究成果解决下列问题： ③)已知椭圆方程+1，其中a,6∈10 (1)计算：C+2C号+3C3+…+7C;(请用数字 作答) 1,2,3,4,5,6},则满足焦距不小于8的 不同椭圆方程有多少个？ (2)若neN,且n≥3，证明：2C=n(n+ 1)·2-2; (3)设数列a,a1,a2,…,an是公差不为0的 等差数列，证明：对任意的neN,函数 p(x)=aC9(1-x)"+aCx(1-x)n-1+ a2C2x2(1-x)n-2+…+anC%x”是关于x的 一次函数 选择性必修第二册·SJ学霸060