7.3 第2课时 组合数的性质及应用（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第2课时　组合数的性质及应用 1.从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有（　　） A.12种 B.16种 C.20种 D.24种 2.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（　　） A.种 B.种 C.58种 D.85种 3.方程＝的解为（　　） A.4或9 B.4 C.9 D.其他 4.＋＋＋＋…＋＝（　　） A. B. C. D. 5.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（　　） A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 6.〔多选〕在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（　　） A.若任意选科，选法总数为 B.若化学必选，选法总数为 C.若政治和地理至多选一门，选法总数为＋ D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为＋ 7.＋＋＋＋＋的值为　　　　. 8.现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有　　　　种不同的选派方案（用数字作答）. 9.某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有　　　　种运动组合方式. A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点～8点 8点～9点 9点～10点 10点～11点 11点～12点 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟 10.计算：（1）＋×； （2）－. 11.从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（　　） A.28 B.49 C.56 D.85 12.某书店有11种杂志，其中2元1本的有8种，1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是　　　　（用数字作答）. 13.已知＝，则＋＋＋＋＝　　　　. 14.课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定1名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件，各有多少种不同的选法？ （1）只有1名女生； （2）2名队长当选； （3）至少有1名队长当选； （4）至多有2名女生当选. 15.规定＝，其中x∈R，m∈N*且＝1.这是组合数（n，m∈N*且m≤n）的一种推广. （1）求的值； （2）组合数的两个性质为：①＝；②＋＝.问：是否都能推广到（x∈R，m∈N*）？若能推广，则写出推广的形式，并给出证明，若不能，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　组合数的性质及应用 1.B　选3人分两种情况：若选1女2男，则有＝12（种）选法；若选2女1男，则有＝4（种）选法，根据分类计数原理可得，共有12＋4＝16（种）选法.故选B. 2.B　由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有种不同的放法. 3.A　当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9. 4.D　原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝. 5.B　先将1，2捆绑后放入信封中，有种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有（种）放法，所以共有＝18（种）放法. 6.ABC　对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，根据分步计数原理，可得选法总数为种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有种选法，由分步计数原理，可得选法共有种，所以B正确；对于C中，先从物理和历史中选1门，有种选法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类计数原理，可得共有＋，所以C正确；对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数为＋1，所以D错误.故选A、B、C. 7.32　解析：法一　原式＝1＋5＋＋＋5＋1＝32. 法二　原式＝2（＋＋）＝2（＋）＝2×＝32. 8.55　解析：根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有＝40（种）选派方案；②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有＝15（种）选派方案.则共有40＋15＝55（种）选派方案. 9.23　解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有＋＋＋－3＝23（种）. 10.解：（1）原式＝＋×1＝＋＝35＋1 225＝1 260. （2）原式＝－＝1＋－＝1. 11.B　依题意得，满足条件的不同选法的种数为＋＝49. 12.266　解析：10元钱刚好用完有两种情况：5种2元1本的；4种2元1本的和2种1元1本的.分两类完成： 第1类，买5种2元1本的，有种不同买法；第2类，买4种2元1本的和2种1元1本的，有×种不同买法.根据分类计数原理，可得不同买法的种数是＋×＝266. 13.120　解析：∵＝，∴m＝11，∴＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝＝120. 14.解：（1）1名女生，4名男生，故共有＝350种不同的选法. （2）将2名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165种不同的选法. （3）法一（直接法）　至少有1名队长含有两类：有1名队长和2名队长，故共有＋＝825种不同的选法. 法二（间接法）　－＝825. （4）至多有2名女生含有3类：有2名女生，只有1名女生，没有女生，故共有＋＋＝966种不同的选法. 15.解：（1）＝ ＝－＝－11 628. （2）性质①不能推广，例如：当x＝时有定义，但C无意义. 性质②能推广，其推广形式为＋＝，x∈R，m∈N*. 证明：当m＝1时，有＋＝x＋1＝成立. 当m≥2时，＋ ＝＋ ＝（＋1） ＝· ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $