7.3 第1课时 组合与组合数公式（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第1课时　组合与组合数公式 1.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为（　　） A.4 B.8 C.28 D.64 2.已知＝15，那么＝（　　） A.20 B.30 C.42 D.72 3.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为（　　） A.3 B.4 C.12 D.24 4.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（　　） A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 5.〔多选〕给出下列几个问题，其中是组合问题的是（　　） A.求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数 B.求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数 C.3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数 D.求由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 6.〔多选〕下列选项正确的是（　　） A.＝ B.＝m C.÷＝ D.＝ 7.÷＝　　　　. 8.计算：＋＝　　　　. 9.男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女生有　　　　人. 10.现有5名男司机、4名女司机，需选派5人运货到某市. （1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ （2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线段在圆内的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（　　） A.36个 B.72个 C.63个 D.126个 12.〔多选〕有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区参与救援，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是（　　） A.－ B.＋＋＋ C.－－ D. 13.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有　　　　条（用数字作答）. 14.（1）求＋的值； （2）已知－＝，求的值. 15.10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级. （1）他6步就可上完台阶的方法数是多少？ （2）他上完台阶的方法总数是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3　组合 第1课时　组合与组合数公式 1.C　由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建＝28（条）公路. 2.B　法一　由＝＝15，得n2－n－30＝0，即（n－6）（n＋5）＝0，解得n＝6或n＝－5（舍去），故＝＝30. 法二　由＝知，＝·，故＝·＝15×2＝30. 3.B　由于与顺序无关，所以是组合问题，故共有＝4个三角形.故选B. 4.C　先安排1名学生去甲场馆，有种方法；再从剩余的5名学生中安排2名学生去乙场馆，有种方法；最后剩下的3名学生去丙场馆，有种方法，故不同的安排方法共有＝60（种）. 5.AB　对于A、B，选出元素就完成了这件事，是组合问题；对于C、D，选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选A、B. 6.ACD　A显然成立；对于B选项，＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），＝（n－1）（n－2）…（n－m＋1），所以＝n，故B不成立；对于C选项，÷＝＝＝，故C成立；对于D选项，＝＝＝，故D成立. 7.　解析：÷＝÷＝. 8.7　解析：∵∴≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，∴＋＝＋＝1＋6＝7. 9.2或3　解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴×＝30，∴x（x－1）（8－x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝3×4×5.∴x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人. 10.解：（1）从5名男司机中选派3名，有种方法， 从4名女司机中选派2名，有种方法. 根据分步计数原理得，所选派的方法种数为＝60. （2）从9人中任选5人运货有种方法. 其中1名男司机、4名女司机有＝5（种）选法. 所以至少有两名男司机的选派方法有－5＝121（种）. 11.D　此题可划归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点有＝126（个）. 12.BC　13名医生，其中女医生6人，男医生7人.（1）直接法：2男3女；3男2女；4男1女；5男，所以N＝＋＋＋.（2）间接法：13名医生，任取5人，减去4，5名女医生的情况，即N＝－－.故选B、C. 13.126　解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有×＝126（种）走法，故从A地到B地的最短路线共有126条. 14.解：（1）由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9， 当r＝7时，原式＝＋＝46； 当r＝8时，原式＝＋＝20； 当r＝9时，原式＝＋＝46. （2）根据组合数公式可将原方程化为 － ＝， 即60－10（6－m）＝（7－m）（6－m）， 整理得m2－23m＋42＝0， 解得m＝2或m＝21. 又0≤m≤5，m∈N*，所以m＝2. 故＝＝＝28. 15.解：（1）设跨1级、2级、3级的步数分别为x，y，z， 所以解得或或 所以方法总数为＋＋＝15＋60＋15＝90. （2）由x＋2y＋3z＝10且x，y，z∈N， 所以（x，y，z）的可能组合有（0，2，2），（0，5，0），（1，0，3），（1，3，1），（2，1，2），（2，4，0），（3，2，1），（4，3，0），（4，0，2），（5，1，1），（6，2，0），（7，0，1），（8，1，0），（10，0，0）. 对应的情况数为，，，，，，，，，，，，，， 所以共有6＋1＋4＋20＋30＋15＋60＋35＋15＋42＋28＋8＋9＋1＝274种. 学科网（北京）股份有限公司 $