7.1 第2课时 两个基本计数原理的综合应用（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第2课时　两个基本计数原理的综合应用 1.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（　　） A.30 B.20 C.10 D.6 2.用10元，5元和1元来支付20元的书款，不同的支付方法的种数为（　　） A.3 B.5 C.9 D.12 3.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择（数字可以重复）.若某车主第1个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有（　　） A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 4.从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为（　　） A.18 B.20 C.25 D.10 5.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对（x，y）的个数是（　　） A.15 B.12 C.5 D.4 6.〔多选〕“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“— —”，其中“——”在二进制中记作“1”，“— —”在二进制中记作“0”，其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有　　　　种. 8.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账.则他们结账方式的种数共　　　　种. 9.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有　　　　个，其中偶数有　　　　个. 10.用0，1，2，3，4五个数字. （1）可以排出多少个三位数字的密码？ （2）可以排成多少个三位数？ （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 11.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（　　） A.8 B.12 C.16 D.18 12.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有　　　　种（用数字作答）. 13.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为　　　　. 14.从1，2，3，4，5这5个整数中，允许重复地取出3个数a，b，c构成一个三位数X＝100a＋10b＋c. （1）X有多少个？其中偶数多少个？ （2）将所有的X从小到大排列，第75个X是多少？ 15.高中学生甲到教室需要走楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶. （1）若楼梯有4级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法； （2）若楼梯有10级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　两个基本计数原理的综合应用 1.D　从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法.故由分类计数原理得，共有N＝3＋3＝6（种）取法. 2.C　只用一种币值的有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类计数原理得，不同的支付方法共有3＋5＋1＝9（种）. 3.D　按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960（种）情况. 4.A　分两步：第1步，给A赋值有5种选择；第2步，给B赋值有4种选择，由分步计数原理可得5×4＝20（种）.又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线.A＝2，B＝1与A＝4，B＝2，也表示同一直线.所以最多形成不同的直线的条数为20－2＝18. 5.A　分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况.由分类计数原理可得，满足条件的有序自然数对（x，y）的个数是6＋5＋4＝15. 6.ABC　根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类：由两个“——”组成，二进制数为11，转化为十进制数，为3.第二类：由两个“— —”组成，二进制数为00，转化为十进制数，为0.第三类：由一个“——”和一个“— —”组成，二进制数为10，01，转化为十进制数，为2，1.所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为0，1，2，3，故选A、B、C. 7.20　解析：分三类：若甲在周一，则乙、丙有4×3＝12（种）排法；若甲在周二，则乙、丙有3×2＝6（种）排法；若甲在周三，则乙、丙有2×1＝2（种）排法.所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20（种）. 8.20　解析：当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4＝12（种）方法；当乙用银联卡结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方法，丁有4种方法，共有2×4＝8（种）方法.综上，共有12＋8＝20（种）方法. 9.8　5　解析：十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8个.偶数为214，312，314，412，324，共5个. 10.解：（1）三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（个）. （2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（个）. （3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类， 第1类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法； 第2类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18（种）排法. 根据分类计数原理，共有12＋18＝30（种）排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 11.C　如图，根据正六边形的性质，当A1ABB1为底面矩形时，有4个满足题意；同理，当A1AFF1为底面矩形时，有4个满足题意；当A1ACC1为底面矩形时，有4个满足题意；当A1AEE1为底面矩形时，有4个满足题意，故共有4＋4＋4＋4＝16（个）阳马. 12.60　解析：有两类不同的投法：①外商从4个候选城市中选择3个城市，各投资1个项目，第一个项目有4种投法，第二个项目有3种投法，第三个项目有2种投法，这种情况下共有4×3×2＝24（种）投法.②外商从4个候选城市只选择2个城市分别投资1个项目、2个项目；3个项目中选一个项目投到1个城市，有4种选法，剩下2个项目选1个城市有3种可能，这种情况下共有3×4×3＝36（种）投法.从而外商不同的投资方案共有24＋36＝60（种）. 13.420　解析：如图，若区域①与③颜色相同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域④有3种涂法，区域⑤有3种涂法，由分步计数原理可知不同的涂色方案有5×4×3×3＝180种；若区域①与③颜色不同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域③有3种涂法，区域④有2种涂法，区域⑤有2种涂法，由分步计数原理可知不同的涂色方案有5×4×3×2×2＝240种.综上，由分类计数原理可知不同的涂色方案种数为180＋240＝420. 14.解：（1）由题意可得a，b，c各有5种取法，所以由分步计数原理可得3个数a，b，c构成一个三位数X有5×5×5＝125（个）， 其中是偶数的c的取值有2种，a，b各5种，按分步计数原理可得有2×5×5＝50（个）. （2）当百位为1时的三位数有5×5＝25（个）， 当百位为2时的三位数有5×5＝25（个）， 当百位为3时的三位数有5×5＝25（个）， 所以将所有的X从小到大排列，第75个X是百位数字为3的组成的最大的三位数，即355. 15.解：（1）用1，2，3分别表示学生甲一步迈一级、两级、三级台阶，用例举法可知学生甲有1111，121，112，13，211，22，31，共7种不同的爬楼方法. （2）设学生甲爬n级台阶有an种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前n－1级台阶有an－1种方法； 若最后一步迈两级台阶，则前n－2级台阶有an－2种不同的方法； 若最后一步迈三级台阶，则前n－3级台阶有an－3种不同的方法， 由分类计数原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3（n≥4），显然a1＝1，a2＝2，a3＝4，则：a4＝a1＋a2＋a3＝7，a5＝a2＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4＋a5＋a6＝44，a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝149，a10＝a7＋a8＋a9＝274， 故该学生上10级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法. 学科网（北京）股份有限公司 $