第6章 空间向量与立体几何 章末检测-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第6章 章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共406.(2024·江苏南通海安高级中学高二期中)如 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 图，二面角α-1-B等于120°，A,B是棱1上两 合题目要求的 点，BD,AC分别在半平面a,B内，AC⊥I, 1.(2024·江苏南京高二期中)已知点B(3,-1, BD⊥I,且AB=AC=BD=2,则CD的长等于 0),AB=(-2,-5,3),则点A坐标为( A.(1,-6,3) B.(5,4,-3) C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3) 2.(2024·江苏扬州高二月考)已知平面α的一个 法向量为n=(1,-1,2),AB=(-1,1,-2),则AB A.23 B.22 C.4 D.2 所在直线1与平面α的位置关系为 ( 7.(2024·江苏南通高二期中)中国古代数学瑰 A.1⊥a B.lCa 宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的 C.I//a D.1与a相交但不垂直 几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的 3.(2024·江苏连云港高二期中)设x,y∈R,向 柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现 量a=(x,1,1),b=(1,-1,y）,c=(2,-2,2), 有一个如图所示的曲池，其中A4,⊥底 且a⊥c,b∥c,则x+y的值为 A.-1 B.1 C.2 D.3 面ABCD.底面扇环所对的圆心角为，扇环 4.(2024·江苏盐城高二月考)如图，在四面体 对应的两个圆的半径之比为1：2，AB= 0ABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上， 1,AA,=1,E是A,D,的中点，则异面直线BE 且OM=2MA.N为BC中点，则MN等于( 与C,D所成角的余弦值为 12 2 3a- A. +2 B.- 3 a+2b+2 2 A. C. D.2/5 11 22.1 P C.24+2 2 3 D 3a+2b 3 8.(2024·江苏泰州高二期中)在四棱锥 5.(2024·江苏无锡高二期中)已知向量a= P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方 (23,0,2),向量b=(1,0,3),则向量a在 形，PA⊥底面ABCD,PA=6,点G在侧棱PB 向量b上的投影向量为 ( 上，且满足2PG=GB,则异面直线PC和DG 的距离为 () B.(23,0,2) 4.314 B.35 c.3v2 D.377 C.(1,0,3) D.(3,0,3) 14 15 7 77 选择性必修第二册·SJ学霸034 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 C.点P到直线CQ的距离是 3 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 D.异面直线CQ与AD,所成角的正切值 选错的得0分 为17 9.(2024·江苏连云港高二期中)棱长为1的正 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分 方体ABCD-A,B,C,D1中，下列结论正确的是 12.(2024·江苏常州高二月考)已知空间向量 ( a,b,c两两夹角为60°，且1a|=Ib1=Icl=1, A.AD=B.C B.BD·B,D=0 则1a-b+2cl= C.AB·BD=0 D.AC·BD=0 13.(2024·江苏南京二十九中高二期中)已知 10.(2024·江苏南京高二月考)在平行六面 三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一 体ABCD-A,B,C,D中，记AB=a,AD=b, 点，m5风+品防+元，则三棱 15 AM=c,设AP=xa+b+C,下列结论中正确 锥A-MBC的体积是 的是 14.(2024·江苏南通高二月考)已知正方 A.若点P在直线A,D上，则x+y=1 体ABCD-A,BCD1的棱长为2，M,N,G分 B.若点P在直线AC,上，则x=y=x 别是棱AM1,BC,A,D,的中点，Q是该正方体 C.若点P在平面A,BD内，则x+y+z=1 表面上的一点，且MQ=xMG+yMN.若x= D.若点P在平面B,BDD,内，则x+y=1 y=1,则直线NQ与平面ABB,A1所成角的大 11.(2024·江苏泰州高二月考)布达佩斯的伊帕 小为 ,若x,y∈R,则MG·M⊙的最 姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正 大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出 六边形上画了具有视觉效果的正方体图案 文字说明，证明过程或演算步骤 (如图①).把三片这样的达·芬奇方砖拼成 15.(13分)(2024·江苏南通海门中学高二月 图②的组合，这个组合再转换成图③所示的 考)已知向量a=(m,23,6),b=(1,0, 几何体，若图③中每个正方体的棱长为1，则 2),c=(1,3,2)(meR) (1)求a·(b-c)的值： (2)求cos(b,c〉； (3)求1a-b1的最小值 A.OC=AD+2 AB+2AA, B.若M为线段CQ上的一个动点，则BM· BD的最大值为2 第6章学霸035 16.(15分)(2024·江苏盐城高二期末)如图，17.(15分)(2024·江苏常州高二期中)如图， 边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于 四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PCD⊥ 矩形ABCD所在的平面，BC=22,M为BC 平面ABCD,△PCD是边长为2的等边三角 的中点 形，BC=2,点E为CD的中点，点M为线段 (1)求证：AM⊥PM: PE上一点（与点P,E不重合） (2)求异面直线AM和PC所成角的余弦值， (1)证明：AM⊥BD (2)当AM为何值时，直线AM与平面BDM 所成的角最大？ (3)在(2)的条件下，求点P到平面BDM的 距离。 选择性必修第二册·SJ学霸036 18.(17分)(2024·江苏南京高二月考)如图，19.(17分)(2024·江苏宿迁高二月考)如图， 在斜三棱柱ABC-A,B,C,中，底面△ABC是 已知向量0A=a,0B=b,0C=c,可构成空间 边长为2的正三角形，△A4,C是以AC为斜 向量的一个基底，若a=(a1,a2,a3),b=(b1, 边的等腰直角三角形，点O为AC中点， b2,b),c=(c1,c2,c3).在向量已有的运算法 ∠A,0B=,点F为BC,的中点 则的基础上，新定义一种运算a×b=(a,b a3b2,a3b,-a1b,a1b2-a,b,),显然a×b的结 (1)求证：A,0⊥平面ABC: 果仍为一个向量，记作p. (2)求二面角A-BC-B,的余弦值： (1)求证：向量p为平面OAB的法向量： (3)过A,作与AF垂直的平面，平面α交 (2)若a=(1,-1,7),b=(0,-3,0),求以 直线BC于点Q,求线段BQ的长度 OA,OB为边的平行四边形OADB的面 积，并比较四边形OADB的面积与Ia×b1 的大小： (3)将四边形OADB按向量OC=c平移，得 到一个平行六面体OADB-CA,D,B,试 判断平行六面体的体积V与I(a×b)· c1的大小.（注：第(2）小题的结论可以直 接应用) 第6章学霸037)1=m·1 m1m5,后6，设平面PGD与平面8r所成的 √65 因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，AB=1,所以.】 02 二调角为，则血0：个0-8S,即子面0D与平有r 得08=1,0M=2,则a(m号m号0），即8（分号.0）月 所成的二面角的正弦值为8y6丽 65 E2s号，2m号，1即E1,5,1).c1(1,0,1),D(2.0,0), 成（月）G市1o,-1.21Gi,成. G：1+受x0+1x(-)=分所以m(成， 重难点拨 成.C,市22 利用空间向量计算二面角大小的两种方法： 成1G,i228 又异面直线所成角的范偶为(0，号]，故 (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然 后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实 异面直线BE与C,D所成角的余弦值为二 故选B 际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内我到与 日.A解桥：如图，以点A为原点，店，Ai,币分别作为x轴，y轴， 棱垂贞且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就 z轴正方向，建立空间直角坐标系，则B(3,0,0),C(3,3,0),D(0, 是二面角的大小 3,0),P(0,0,6),G(1,0,4).所以D元=(1，-3,4)，P元=(3,3，-6)， 第6章 章末检测 D=(3,0,0),设n=(x,y,)为直线PC和DC的公垂线的方向向 (n·D元=x-3+4z=0, 1.B解析：设A(x,y,),则A店=(3-x,-1-y,-)=(-2,-5,3),所以 量，则有 n.P元=3x+3y6c=0 可取n=(1,3,2),所以异面直线 (3-x=-2, (x=5, -1-y=-5,解得y=4,所以点A坐标为(5,4，-3).故选B. PC和DG的距离为DC,m。3-3Y压故选A =3, -3, 2.A解析：因为m=(1,-1,2),A▣(-L,1,-2),所以n=-A应，即 A店∥m,所以1⊥a故选A 3.B解析：因为a1c,所以2x-2+2=0-x=0,又b∥e,所以设b= 1=2A, ac,即-1=-2A,→ A=2所以+y1,故选B y=2A y=1, 4.B解析：如图，连接0N,N是BC的中点O成=i+O心 成2味成：子成成=成-0成：}i+成 1 9,AD解析：以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0, 0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0.10),D1(0,0,1),B1(1,1,1) C(0,1,1),对A:市=(-1,0,0)，B1C=(-1,0,0),故i=B1C, 故A正确：对B:8D=(-1,-1,1),Bi=(-1,-1,-1),则D· B,i=1+1-1=1,故B错误：对C:A=(0,1,0),Bd=(-1,-1,0), 则A应.Bi=0-1+0=-1,故C错误：对D:AC=(-1,1,1),B1D= (-1,-1,0),则AG·BD=1-1+0=0,故D正确故选AD. 5D解折：向量a在的量6上的投影狗量为之合-誓.（口， 0,5)=(3.03).故选D. 6.C解析：由二面角的平面角的定义知（励，A心=120，励. At=1Bi11Ad1cos(Bi,AC=2×2×cos120°=-2，由AC⊥l,BD1L, 得A.B=0,i·ai=0,又Dt=Di+ai+A花，D12= (D成+i+A)2=D+B+A心+2D成，B+2Di.A花+2B, At=22+22+22-2Bd.A元=12-2×(-2)=16，所以1D元1=4，即 10.BCD解析：对于A,若点P在直线A,D上，则x=0,则A=b+zc, CD=4.故选C. 由于A1,P,D三点共线，故y+z=1,A错误； 7.B解析：设上底面圆心为01，下底面圆心为0，连接001,0，B1, 对于B,若点P在直线AG上，则币=AAC,A∈R,而AC=a+ O1C1,0B,OC,在下底面作0F⊥0D,以0为原点，分别以0D,0F, O01所在直线为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系，如图： b+C,结合A币=xa+yb+c,得x=y==A,B正确；对于C,若点P在 平面A1BD内，即A1,B,D,P四点共面，则由A泸=a+b+C,可知 +y+=1,C正确，对于D,若点P在平面B,BDD,内，则A= mA店+nAi+sAB(m+n+s=1),则正=m店+nAi+s(A店+4)= (m+s)A店+mA+sd,又A市=a+yb+c,则x+y=m+s+n=1,D正 参考答案学霸29 确，故选BCD. 面，由正方体的对称性可得六边形OFNEMG为正六边形 11.BCD解析：如图，建立空间直角坐标系，则Q(1,0,2),C(0,2, 0),A(1,1,0),B(1,2,0),D(0,1,0),A1(1,1,1),D(0,1,1), P(2,0,1),放0=(-1,2，-2)，A=(-1,0,0),Ai=(0,1,0), A4=(0,0,1),B=(0,-2,2),B励=(-1，-1,0)，0=(1,0， -1),A而=(-1,0,1)，所以币+2A+2=(-1,0,0)+2(0,1, 0)+2(0,0,1)=(-1,2,2)≠0，A错误：记0=t0元=(-t,2 -21)(0≤1≤1)，则B=B0+QM=(-,21-2,2-2),所以B. B=+2-2u=2-4,当=0时，.B取得最大值2，B正确：记与 故点Q的轨迹是正六边形OFNEMG.故当x=y=1时，Md=M心+ M不=M亦故此时点Q在F处又平面ABB1A1∥平面DCCD1,故 心=(-1,2，-2)同向的单位向量为a= 12 直线NQ与平面ABB,A,所成角即为直线NF与平面DCC,D1所 子)则点P到直线c0的距离d=V0-()2: 戏角，即为子 因为正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为2，所以正六边形 17 ，c正确：记异面直线c0与40，所成角为0(0≤0≤号)： OFNEMG的边长为5. 则o0=1cm(花，A可)1= 成装所 101.D32 √34 以in0=/1- 6 故选BCD. 如图②，Md.Md=1Md×Md1co%L0MG,故当1Md1cs∠QMG 最大时M心.戒取得最大值，即M心在M花上的投影最大时M心， Md取得最大值由图②可得Q在0时取得最大值2×1币1· c0a30°=2x6·c0s30°=3..Md.Md的最大值为3. 15.解：(1)因为b=(1,0,2),c=(1,3,2),所以b-c=(0,-3,0), 又因为a=(m,25,6),所以a·(b-c)=2W5×(-3)=-6 12.5解析：依题意，a·b=b·c=c·a= 2,则1a-b+2c12= 【2)因为6=(10,2)，c=(1,5,2.所以cm(6,e）=1 1+4 √10 (a-b+2c)2=1al2+1b12+41c12-2a·b-4b.c+4a·c=6-2×2 √1+4×/1+3+44 4x4号5，则a-b+2c1=5.故答案为5 (3)因为a=(m,23,6),b=(1,0,2),所以a-b=(m-1,25,4) 所以1a-b12=(m-1)2+(23)2+42=(m-1)2+28,当m=1时， 134解折：如图，成：可名成元放5成 1a-b12取得最小值28，则1a-b1的最小值为27. 16.(1)证明：平面PCD⊥平面ABCD,平面PCDn平面ABCD=DC,在 平面PCD内过D作D:⊥DC,所以D:C平面PCD.则D:⊥平 面ABCD,又ABCD为矩形，则DA⊥DC,以D点为原点，分别以直 线DM,DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-x2, B 不纺令i:3成，则i写可+号成号元，又- 2 依题意，可得D(0,0,0),P(0,1,5),C(0,2,0),4(22,0,0), 55 M(2,2,0),所以Pi=(2,1,-3),AM=(-√2,2,0)，则P· 手-1，放点瓜4，B,C共面，放c=xc-子nc=号 2 A=-2+2+0=0,所以P71A,即AM⊥PM 6=4故答案为4. (2)解：由(1)知，A=(-2,2,0),P元=(0,1，-3)，设0为异面 14.年3解析：戒=x心+y(,∈R)心点Q在平面MCN .元 直线AM和PC所成角或其补角，则Cos0= 上，如图①，分别取AB,CC1,C1D1的中点E,F,O,连接OG,OF M花 FN,EN,AD,OE,NG,因为M,G分别为AM,AD的中点，所 2=后，故异面直线AM和PC所成角的余弦值为后 以MG∥AD1,又由正方体ABCD-A,B,C,D1可得D,0= 6×26 6 D,G,迟=B,DG∥AB,DG=AB,故D,0∥4E,D0=A, 17.(1)证明：因为△PCD是边长为2的等边三角形，E为CD的中 点，所以PE⊥CD.又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCDn平面 故四边形D,OEA为平行四边形，故AD1∥OE,故MG∥OE,故M ABCD=CD,PEC平面PCD,所以PE⊥平面ABCD.又四边形ABCD G,O,E四点共面.同理可证M,G,N,E四点共而，故M,C.O,N,E 为矩形，取AB中点F,连接EF,则EF,EC,EP两两互相垂直以E 五点共面，同理可证G,0,N,F四点共面，故M,G,0,F,N,E六点共 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 选择性必修第二册·SJ学霸30 为②团 7 (3)解：设Q(00),成=A成，则成=(-3,06)，配 0-√5=-5， (-√3,1,0).所以yo=A, 所以Q(5-3A,A,0),又因 则A(2,-1,0),B(2,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,3),设M(0, o=0, 0,h)(0<h<3),那么AM=(-2,1,h),Bd=(-√2，-2,0)，DM= (0,1,h).因为.励=2-2=0，所以1Bd,即AM1BD. 为F为岛G中点所以F(停})所以=（停名 22 (2)解：设子面0M的法向量为m=(,,期L励 1）,衣=(3-3A,A,-1),因为过A作与状垂直的平面a, (n1DM （y)·(-2,-2,0)=0,{2x-2=0令=1，可得m= 交直线BC于点Q,所以A,QCa,则AQ⊥AF,所以A·A市 (xy)·(0,1,h)=0 (y+h=0. (2h,-h,1).设直线AM与平面BDM所成的角为a,则ina= 1-)字1=0，解得A=子所以Q(0,则 les(成lsi·l 2h 2h ·1nl3+h.√3级+13h*+10h+3 2」 成=（停）所以威1=√(+(）=1，即 ≤宁当且收当A=1时承等号).所以当仙=2时。 √/32+10 3 BQ=1. 直线A仙与平面B0所成的角最大为行 (3)解：在(2)的情况下，M币=(0,0.5-1)，平面BDM的法向量 N=(5,-山，1)，所以点P到平面DM的距离为a: 3-1 2 19.(1)证明：因为p·a=a1(a2b3-ab62)+a2(a31-ab)+a3(a1b2 18.(1)证明：因为△M,C是等腰直角三角形，且AG为斜边，所 a2b1)=a1a2b-a1a3b2+a23b1-2a1b3+a3a12-3a2b1=0,所以 以M,=C4,0为AC中点，所以A,01AC:又由∠A,0B=受可 p1a,即pLOi,因为p·b=61(a2b3-ab2)+h2(ab1-a1b3)+ 知A10⊥OB,因为AC∩OB=0,AC,OBC平面ABC.故A10⊥平 b3(a1b2-a2b1)=b1a2b3-b1a3b2+b2a3b1-b291b3+b3ab2-b3a261= 面ABC. (2)解：因为△ABC为正三角形，O为AC中点，所以0B⊥OC,由 0,所以p⊥b,即p⊥O成，又因为0An0B=0,0A,0BC平面0AB, (1)知，A,0⊥平面ABC,OB,OCC平面ABC,所以A10⊥OC. 所以向量P为平面OAB的法向量. A10⊥0B,如图，以0为原点，OB,0C,OA1分别为x,,z轴建立如 图所示空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(5,0,0),C(0,1, (2)期：m∠4088品子则血∠0832识放 0),4(0,0,1),B(5,1,1),C(0,2,1),由(1)知，A101平 面ABC,所以平面ABC的一个法向量为OA,=(0,0,1),设平面 BCC1B1的一个法向量m=(1,方，1)，且BB,=(0,1,1),B元= Sno-25aa=a1b1L408=3X3x239-6反，曲a n配=-5+少0不妨设1=1，则 (1,-1,7),b=(0,-3,0),得axb=(37,0,-3),所以1a×b1= (-√3,1,0)，所以 n·BB,=1=0, v63+0+9=62,所以S四边形4080=a×b1。 3,1=-3,所以n=(1,5,-3).设平面ABC与平面BCC,B (3)解：设C点到平面OAB的距离为h,O元与平面0AB所成的角 所成二面角的夹角为B,又cm(0,m) 0A·4-5 为a,则V=S图边港o·=a×b1 lelsin a,由(1)得向量p为平面 10A·1m11×w万 OAB的法向量，则1cos(a×b,c〉I=sina,又1(a×b)·c1= 石，即oA=可由图可知，即二面角4-C-8的余袋值 7 laxb1·1c1cs(ab,c〉，所以V=I(axh)·cl. 第7章 计数原理 7.1两个基本计数原理 4.C解析：3个年级均有4种迷择，故不同的选择方法有43= 64(种).故选C. 第1关（练速度）】 方法总结 1.AD 2.B解析：由分类加法计数原理，得不同的取法共有3+4+5= 分类计数原理的解题思路： 12(种).故选B. (1)根据题目特点选择恰当的分类标准。 (2)分类时应注意完咸这件率情的任何一种方法必领属于某一类， 3.C解析：由分步乘法计数原理，得不同的选取方法有2×6×5= 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复， 60(种).故选C 参考答案学霸31