第9章 培优课 概率与统计的综合问题（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学讲义通过“回归分析与独立性检验交汇”“回归分析与概率统计交汇”“独立性检验与概率统计交汇”三大题型构建统计与概率知识体系，用表格整理2×2列联表数据，公式梳理χ²、相关系数计算方法，通性通法总结提炼解题步骤，清晰呈现知识内在联系与重难点。 讲义亮点在于“情境化交汇题型”设计，如例1以环境监测为背景融合回归分析与独立性检验，培养数据意识与模型观念。跟踪训练分层设置，基础题巩固计算能力，综合题提升逻辑推理，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供系统支持。

题型一｜回归分析与独立性检验交汇 【例1】　环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）（i＝1，2，3，…，50）的散点图，并用直线x＝1 500与y＝100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8. （1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”有关联？ 汽车日流量x＜1 500 汽车日流量x≥1 500 合计 PM2.5的平均浓度y＜100 PM2.5的平均浓度y≥100 合计 （2）经计算得经验回归方程为＝0.12x－73.36，且这50天的汽车日流量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.求样本相关系数r（若｜r｜≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性），并判断该经验回归方程是否有价值. 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 10.828 经验回归方程＝＋x，其中＝，样本相关系数r＝. 通性通法 　　此类题型只需遵循回归分析的步骤，运用独立性检验的原理，掌握好计算公式、表格的整理与读取即可. 【跟踪训练】 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表： 零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数Y 甲 6 14 17 17 6 乙 m 8 8 8 22 由表中数据得Y关于X的经验回归方程为＝－171.7＋190X（1.01≤X≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01 cm. （1）求m的值； （2）判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关联？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 题型二｜回归分析与概率、统计交汇 【例2】　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. （1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用＝＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（，用分数表示）； （2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的概率分布及均值. 参考数据（其中ti＝）： tiyi －7 1 750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据（μ1，ν1），（μ2，ν2），…，（μn，νn），其经验回归方程＝＋μ的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 通性通法 回归分析与概率、统计交汇问题的解题思路 （1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率、均值、方差等； （2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的； （3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型. 【跟踪训练】 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得＝80，＝9 000，（xi－）（yi－）＝800. （1）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的样本相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度； （2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的概率分布. 附：样本相关系数 r＝，≈1.414 题型三｜独立性检验与概率、统计交汇 【例3】　某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （1）应收集多少位女生的样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率； （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请列出每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 通性通法 独立性检验与概率、统计交汇问题的解题思路 　　本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解. 【跟踪训练】 在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划、北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2024年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人） 参加“强基培训” 不参加“强基培训” 男生 25 35 女生 5 25 （1）根据表中数据判断是否有95%的把握认为参加“强基培训”与性别有关联？ （2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2024年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为X，求X的概率分布及数学期望E（X）. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 提示：完成课后作业　第九章　培优课 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　概率与统计的综合问题 【例1】　解：（1）2×2列联表如下： 汽车日流量x＜1 500 汽车日流量x≥1 500 合计 PM2.5的平均浓度y＜100 16 8 24 PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26 合计 22 28 50 原假设为H0：“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”无关， 因为χ2＝≈9.62＞6.635， 所以有99%的把握认为“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”有关. （2）因为经验回归方程为＝0.12x－73.36，所以＝＝0.12， 又因为＝252，＝36， 所以r＝＝·＝0.12×＝0.84. 因为｜r｜＝0.84＞0.75，所以y与x有较强的线性相关性， 所以该经验回归方程有价值. 跟踪训练 　解：（1）依题意，得＝1.03，＝， 由＝－171.7＋190X，得＝－171.7＋190×1.03，解得m＝14， 所以m的值为14. （2）由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm， 所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为： 合格零件数 不合格零件数 合计 甲 48 12 60 乙 24 36 60 合计 72 48 120 原假设为H0：加工零件的质量与甲、乙机床无关， 根据以上数据得，χ2＝＝20＞6.635， 所以有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关. 【例2】　解：（1）因为＝＋，令ti＝，则＝＋t. 因为＝＝500， 所以＝ ＝＝＝， 所以＝－＝500－×0.37＝， 所以＝＋t， 所以所求回归方程为＝＋. （2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5， P（X＝3）＝（）3＋（）3＝， P（X＝4）＝（）2××＋（）2××＝， P（X＝5）＝（）2×（）2×＋（）2×（）2×＝. 所以随机变量X的概率分布为 X 3 4 5 P E（X）＝3×＋4×＋5×＝. 跟踪训练 　解：（1）样本（xi，yi）（i＝1，2，…， 20）的样本相关系数为 r＝ ＝＝≈0.94. 由于样本相关系数｜r｜的值越大，相关性越强. 故r＝0.94∈[0.75，1]，相关性很强. （2）由题意得X的可能取值为0，1，2， 20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数， 所以P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P 【例3】　解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据. （2）由频率直方图得该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为1－2×（0.100＋0.025）＝0.75， 所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75. （3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225位学生的每周平均体育运动时间超过4小时，75位学生的每周平均体育运动时间不超过4小时. 又因为样本数据中有210个是关于男生的，90个是关于女生的，且有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，所以每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表如下： 男生 女生 合计 不超过4小时 45 30 75 超过4小时 165 60 225 合计 210 90 300 原假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关联. 结合2×2列联表可得 χ2＝＝≈4.762＞3.841. 所以有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联. 跟踪训练 　解：（1）原假设为H0：参加“强基培训”与性别无关联， 由题意，χ2＝＝5.625＞3.841， 所以有95%的把握认为参加“强基培训”与性别有关联. （2）由题意知，考生参加“强基培训”的概率P＝＝，不参加“强基培训”的概率为， 结合题意知X的可能取值为0，1，2，3，则X～B（3，）， P（X＝0）＝（）3＝， P（X＝1）＝××（）2＝， P（X＝2）＝×（）2×＝， P（X＝3）＝（）3＝， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 由X～B（3，），得数学期望E（X）＝3×＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $