9.1.2 第1课时 经验回归方程（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“一元线性回归模型”中的经验回归方程，以恩格尔系数案例引入，衔接变量相关关系，系统讲解随机误差的定义及产生原因，通过最小二乘法推导参数估计方法，构建从实际问题到模型构建的完整学习支架。 该资料以现实情境（如气温与用电量、学生成绩关联）为载体，引导学生用数学眼光观察数据规律，用数学思维推导最小二乘原理，培养数学建模与数据分析素养。题型涵盖概念辨析、方程求解及预测应用，课中辅助教师突破重点，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

9.1.2　一元线性回归模型 第1课时　经验回归方程 【基础落实】 知识点一 1.a＋bx　ɛ　2.（1）确定性函数　（2）某些因素的影响　（3）观测 知识点二 1.a＋bx＋ɛ　－　2.回归截距　回归系数　回归值 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.AD　＝x＋表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选A、D. 3.B　∵＝0.8x＋0.1，∴＝0.8×15＋0.1＝12.1（亿元）. 【典例研析】 【例1】　C　对于A中，线性回归模型y＝bx＋a＋ε中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B中，因变量y不是由自变量x唯一确定的，所以B错误；对于C中，因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差ε的产生，所以C正确；对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误.故选C. 跟踪训练 　①②③④　解析：根据线性回归模型的含义可知，以上说法均正确. 【例2】　解：（1）散点图如图所示. （2）因为＝×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2，＝×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8， xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054， ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174， 所以＝≈0.625， ＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.050. 因此y关于x的经验回归方程为＝22.050＋0.625x. 跟踪训练 　解：＝＝33，＝＝28， ＝ ＝ ＝2.6，＝－＝28－2.6×33＝－57.8， ∴y关于x的经验回归方程为＝2.6x－57.8. 【例3】　C　由题意可知，＝＝5，＝＝54.∵经验回归直线经过样本中心点，∴54＝10.5×5＋，＝1.5，经验回归方程为＝10.5x＋1.5，当x＝20时，y的估计值为10.5×20＋1.5＝211.5.故选C. 跟踪训练 1.B　∵身高与年龄的回归模型为＝8.25x＋60.13，∴可以估计孩子在2～9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均约增加8.25 cm，选项B正确；对于A，身高与年龄是相关关系，不是一次函数关系；对于C，这个模型可以估计孩子在2～9岁时可能的身高，而不是平均身高；对于D，可以估计孩子在2～9岁时可能的身高，这是一个预报值，不是确定的值.故选B. 2.A　由题意可得， ＝＝45，＝＝85，则＝－＝85－×45＝55，故点（，）为，在直线x－45y－20＝0的右下方. 随堂检测 1.D　根据实际情况能够判定变量x，y具有线性相关性的顺序为：收集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图；求经验回归方程；对所求出的回归方程作出解释.故选D. 2.B　结合散点图可知，变量x，y之间是负相关，且纵截距大于0，故选B. 3.D　＝＝1.5，＝＝，将其代入＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故选D. 4.18　9　解析：＝＝4，＝＝5，则中心点为（4，5），代入经验回归方程得＝5－1.3×4＝－0.2，所以＝1.3x－0.2.当x＝14时，＝1.3×14－0.2＝18（万元），即估计使用14年时，维修总费用是18万元.令＝1.3x－0.2＞12，解得x＞9.4，即据此模型预测该设备最多可使用9年. 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1.2　一元线性回归模型 课标要求 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件（数学抽象、数学建模、数据分析）. 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测（数学建模、数学运算、数据分析）. 第1课时　经验回归方程 　　恩格尔系数（Engel’s Coefficient）是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标.其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额. 一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 【问题】　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　随机误差 1.定义：具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ɛ，其中　　　　是确定性函数，　　　称为随机误差. 2.产生的原因 （1）所用的　　　　　　不恰当引起的误差； （2）忽略了　　　　　　　　； （3）存在　　　　误差. 知识点二　经验回归方程 1.线性回归模型中a，b值的求法 y＝　　　　　　称为一元线性回归模型. a，b的估计值为，，则 上述方法称为“最小二乘法”. 2.经验回归直线和经验回归方程 直线＝＋x称为经验回归直线，此直线方程称为y关于x的经验回归方程，称为　　　　　　，称为　　　　　　，称为　　　　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差.（　　） （2）回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且经验回归直线过样本点的中心（，）.（　　） （3）求回归方程前可以不进行相关性检验.（　　） （4）利用回归方程求出的值是准确值.（　　） 2.〔多选〕下列有关回归方程＝x＋的叙述正确的是（　　） A.反映与x之间的函数关系 B.反映y与x之间的函数关系 C.表示与x之间不确定关系 D.表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 3.某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1（单位：亿元），则预计今年该地区居民收入为15亿元时，年支出y的估计值是（　　） A.8.1　　　　　　　　B.12.1 C.16.1 D.20.1 题型一｜线性回归模型的理解 【例1】　在线性回归模型y＝bx＋a＋ε中，下列说法正确的是（　　） A.y＝bx＋a＋ε是一次函数 B.因变量y是由自变量x唯一确定的 C.因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差ε的产生 D.随机误差ε是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差ε的产生 通性通法 　　在线性回归模型y＝bx＋a＋ε中，模型中的y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与ε的和（叠加），前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 【跟踪训练】 　关于线性回归模型给出下列说法： ①表达式y＝bx＋a＋ε刻画的是变量y与变量x之间的线性相关关系；②bx＋a反映了由于x的变化而引起的y的线性变化；③误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E（ε）＝0；④对于所有的x值，ε的方差σ2都相同.其中正确的是　　　　（填序号）. 题型二｜求经验回归方程 【例2】　（链接教科书第164页例3）某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 （1）画出散点图； （2）求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程（结果保留三位小数）. 参考公式： ＝＝，＝－. 通性通法 求经验回归方程的基本步骤 （1）画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； （2）计算，，xiyi，，xiyi； （3）代入公式求出＝x＋中参数，的值； （4）写出经验回归方程. 提醒　只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义. 【跟踪训练】 　入夏以来，天气炎热，某地区用电负荷连创新高，某用户随机统计了家里某4天用电量（kW·h）与当天气温（℃）的情况，数据如表： 气温x（℃） 30 32 34 36 用电量y（kW·h） 20 26 30 36 请根据提供的数据，计算，，并求出y关于x的经验回归方程. 参考公式：＝，＝－. 题型三｜利用经验回归方程对总体进行估计 【例3】　（链接教科书第165页例5）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程＝10.5x＋，据此模型预测当x＝20时，y的估计值为（　　） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5 通性通法 　　解题的关键是先确定两个变量y与x是线性相关关系，求出经验回归方程进行估计和预测. 【跟踪训练】 1.某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y（单位：cm）与年龄x（单位：岁）的经验回归方程为＝8.25x＋60.13，下列说法中正确的是（　　） A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm B.该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm C.该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm D.利用这个模型可以准确地预测该地区每个2～9岁儿童的身高 2.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下： 零件个数 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间 62 68 75 81 89 95 102 108 设经验回归方程为＝x＋，若＝，则点（，）在直线x－45y－20＝0的（　　） A.右下方 B.右上方 C.左下方 D.左上方 1.在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求经验回归方程；④根据所搜集的数据绘制散点图.若根据实际情况能够判定变量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是（　　） A.①②④③ B.③②④① C.②③①④ D.②④③① 2.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为（　　） A.＝1.5x＋2 B.＝－1.5x＋2 C.＝1.5x－2 D.＝－1.5x－2 3.已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得y关于x的经验回归方程为＝2.2x＋0.7，则m＝（　　） A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5 4.某设备的使用年限x（单位：年）与所支出的维修总费用y（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修总费用y/万元 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0 根据上表可得经验回归方程为＝1.3x＋.若使用年限为14年，估计维修总费用为　　　　万元；若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用　　　　年. 提示：完成课后作业　第九章　9.1　9.1.2　第1课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $