8.2.4 超几何分布（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

8.2.4　超几何分布 　　 1.下列关于超几何分布的说法错误的是（　　） A.超几何分布的模型是不放回抽样 B.超几何分布的总体里可以只有一类物品 C.超几何分布中的参数是N，M，n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 2.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 3.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的数学期望值是（　　） A.N B.（n－1） C.n D.（n＋1） 4.已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为ξ.若P（ξ＝1）＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（　　） A.10% B.20% C.30% D.40% 5.〔多选〕某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是（　　） A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为 B.答对1道题的概率为 C.答对2道题的概率为 D.合格的概率为 6.〔多选〕在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论中正确的是（　　） A.P（X＝1）＝ B.随机变量X服从二项分布 C.随机变量X服从超几何分布 D.E（X）＝ 7.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为　　　　. 8.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则P（X≤1）＝　　　　. 9.某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为　　　　. 10.已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球. （1）求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； （2）求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列. 11.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 12.〔多选〕2024年夏季奥运会在法国巴黎举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了奥运会项目科普活动.为了调查学生对奥运会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解奥运会项目的人数如图所示. 若从这10所学校中随机选取3所学校进行奥运会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解奥运会项目的人数在30以上的学校数，则下列说法中正确的是（　　） A.X的可能取值为0，1，2，3 B.P（X＝0）＝ C.E（X）＝ D.D（X）＝ 13.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为　　　　. 14.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的概率分布，并计算其均值； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 15.在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球为红球. （1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的概率分布，并求ξ的数学期望E（ξ）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.4　超几何分布 1.B　由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M（M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为r时的概率为P（X＝r）＝，故B错误，C、D正确. 2.D　若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.任取10个球中恰有6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝（注意袋中球的个数为80＋20＝100）. 3.C　设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的数学期望值E（X）＝，故选C. 4.B　设这10件产品中有n件次品，则P（ξ＝1）＝＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为×100%＝20%.故选B. 5.CD　对于A，答对0道题的概率为P0＝＝，答对3道题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确. 6.ACD　由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确.X的取值分别为0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝. 法一　E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 法二　X服从超几何分布，且参数分别为N＝6＋4＝10，M＝4，n＝4，则E（X）＝＝.故A、D正确.故选A、C、D. 7.　解析：设甲班恰有X人被选到，则X～H（4，4，12），则P（X＝2）＝＝. 8.　解析：由题意知，X服从参数为N＝7，n＝3，M＝2的超几何分布，因此P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝. 9.　解析：成员有11＋4＋5＝20（人），从中任选2人的不同选法有种，其中不属于同一国家的有＋＋种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝＝. 10.解：（1）有放回抽样时，取到黄球的次数X可能的取值为0，1，2，3. 每次抽到黄球的概率均为，3次取球可以看成3重伯努利试验，则X～B（3，）， 则期望E（X）＝3×＝，方差D（X）＝3××（1－）＝. （2）不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为0，1，2. P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝， 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 11.A　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 12.ACD　由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），则P（X＝0）＝＝，故B错误；E（X）＝＝，故C正确；D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，故D正确. 13.　解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，因此，所求概率为P＝＝. 14.解：（1）设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得X服从超几何分布， 且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值为1，2，3， ∵P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， ∴X的概率分布为 X 1 2 3 P ∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝2. 由题意可得Y～B（3，）， ∴P（Y＝0）＝×（）0×（）3＝， P（Y＝1）＝×（）1×（）2＝＝， P（Y＝2）＝×（）2×（）1＝＝， P（Y＝3）＝×（）3×（）0＝， ∴Y的概率分布为 Y 0 1 2 3 P ∴E（Y）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. （2）D（X）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝， D（Y）＝np（1－p）＝3××＝， ∵D（X）＜D（Y），E（X）＝E（Y）， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 15.解：（1）设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P（A）＝，所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝×（）2×＝. （2）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 P（B）＝ ＝＝， 整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4， 所以红球的个数为10－3－4＝3. （3）ξ的可能取值为2，3，4，5，6， P（ξ＝2）＝＝， P（ξ＝3）＝＝， P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝， P（ξ＝6）＝＝， 所以ξ的概率分布为 ξ 2 3 4 5 6 P 所以E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $