第8章 8.2.4 第2课时 超几何分布的综合问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第8章 <<< 第2课时 超几何分布的综合问题 1.掌握超几何分布的均值的计算. 2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系. 学习目标 上节课学习了超几何分布模型，这节课我们重点研究超几何分布模型的应用. 导 语 一、超几何分布的均值 二、二项分布与超几何分布的区别与联系 课时对点练 三、超几何分布的综合应用 随堂演练 内容索引 一 超几何分布的均值 一般地，当X~H(n，M，N)时，E(X)= =，其中l=min｛n，M｝. 知识梳理 　　　(课本例2)　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数. (1)求获一等奖的概率； 例 1 7 随机变量X服从超几何分布H(5，10，30). 由公式①得 H(4；5，10，30)==≈0.029 5. 故获一等奖的概率约为0.029 5. 8 (2)求E(X). 9 X的概率分布如表所示. X 0 1 2 3 4 5 P 因此，随机变量X的均值为 E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×= ≈1.666 7. 答　获得一等奖的概率约为0.029 5，随机变量X的数学期望E(X)约为1.666 7. 10 　　　某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两“族”人数占各自小区总人数的比例如下： 例 1 A小区 低碳族 非低碳族 比例 C小区 低碳族 非低碳族 比例 B小区 低碳族 非低碳族 比例 11 (1)从A，B，C三个小区中各随机选出1人，求恰好有2人是“低碳族”的概率； 设事件A为“3人中恰好有2人是‘低碳族’”，则P(A)=××+××+××=. 12 (2)从B小区中随机选出20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的概率分布及均值. 13 从B小区中随机选出的20户中，“非低碳族”有4户. 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，P(X=k)=，k=0，1，2，3. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×= 14 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值. (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率. (3)利用均值公式求解. 反 思 感 悟 求超几何分布均值的步骤 15 　　　　　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.已知在这8道试题中甲能答对6道，记甲答对试题的个数为X，则甲能通过自主招生初试的概率为 　，E(X)=　　.  跟踪训练 1 3 16 依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为 P(X=3)+P(X=4)=+ =+=. 由于X的所有可能取值为2，3，4， P(X=2)==， 故E(X)=2×+3×+4×=3. 17 二 二项分布与超几何分布的区别与联系 　　　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495］，(495，500］，…，(510，515］，由此得到样本的频率分布直方图如图. 例 2 (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； 19 质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3， 所以质量超过505克的产品数量为 40×0.3=12(件). 20 (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的概率分布，并求其均值； 21 质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， ∴X的概率分布为 22 方法一　∴X的均值为E(X)=0×+1×+2×=. 方法二　X~H(2，12，40)，则E(X)==. X 0 1 2 P 23 (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的概率分布. 24 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为=. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B， P(Y=k)=××，k=0，1，2， ∴P(Y=0)=×=， 25 P(Y=1)=××=， P(Y=2)=×=. ∴Y的概率分布为 Y 0 1 2 P 26 反 思 感 悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算. 　　　　　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值； 跟踪训练 2 28 方法一　由题意知X的可能取值为0，1，2. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==. ∴随机变量X的概率分布为 29 E(X)=0×+1×+2×=. 方法二　由题意知P(X=k)=，k=0，1，2， ∴随机变量X服从超几何分布，n=3，M=2，N=10， ∴E(X)===. X 0 1 2 P 30 (2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 由题意知，抽取1次取到次品的概率为=， 随机变量Y服从二项分布Y~B， ∴E(Y)=3×=， D(Y)=3××=. 31 三 超几何分布的综合应用 　　　某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 例 3 　　专业　 性别 中文 英语 数学 体育 男 n 1 m 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同). (1)求m，n的值； 33 设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”， 由题意，可知数学专业的同学共有(1+m)名， 则P(A)==， 解得m=3. 因为m+n+6=10，所以n=1. 34 (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； 设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”， 则P(B)==. 35 (3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的概率分布、均值及方差. 36 由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ=0)==， P(ξ=1)===， P(ξ=2)===， P(ξ=3)===. 37 所以ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 均值E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 方差D(ξ)=×+×+×+ ×=. 38 反 思 感 悟 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等. 　　　　　目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，通过垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，生活垃圾中有30%~40%可以回收再利用，分出可回收物既环保，又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%~50%. 跟踪训练 3 40 现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如表所示：   A小区 B小区 C小区 D小区 E小区 废纸投 放量(吨) 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投 放量(吨) 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3 41 (1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率； 42 记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A. 由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨， 所以P(A)=. 43 (2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的概率分布及均值. 44 因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. 则X的所有可能取值为0，1，2. P(X=0)==， P(X=1)===， P(X=2)==. 45 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 46 1.知识清单： (1)超几何分布的均值. (2)二项分布与超几何分布的区别与联系. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样. 课堂小结 47 随堂演练 四 1 2 3 4 1.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概率为的事件是 A.没有白球 B.至少有一个白球 C.至少有一个红球 D.至多有一个白球 =+表示任取的两个球中只有一个白球或两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率. √ 2.(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是 A.随机变量X服从超几何分布 B.随机变量X服从二项分布 C.P(X=2)= D.E(X)= 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 由题设描述知，随机变量X~H(3，6，10)，故A正确，B错误； P(X=2)==，故C正确； E(X)=n·=3×=，故D正确. 3.袋中装有大小、质地相同的3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)为 A.0 B.1 C.2 D.4 1 2 3 4 由题意，得X的可能取值为0或2，其中“X=0”表示取得2个白球，“X=2”表示取得1个白球，1个红球，所以P(X=0)==，P(X=2)==，故X的均值E(X)=0×+2×=1. √ 4.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在［90，100］的学生人数为8，且有4个女生的成绩在［50，60)中，则n=　　　，现由成绩在［50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取的学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是　　.  1 2 3 4 50 1 2 3 4 由(0.012+0.016+0.018+0.024+x)×10=1，解得x=0.03. 依题意得0.016×10n=8，则n=50. 成绩在［50，60)的人数为0.012×10×50=6， 其中4个为女生，2个为男生. ξ的可能取值为0，1，2. P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==， 故E(ξ)=0×+1×+2×=. 课时对点练 五 1.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由题意知10件产品中有2件次品， 故所求概率为P(X=1)==. 2.某电视台对收看新闻节目的观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人.用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于是分层抽样，所以在5名观众中，年龄为20至40岁的有×5= 2(人).设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从参数为N=5，M=2，n=2的超几何分布，故P(X=1)==. 3.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则E(X)为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， P(X=3)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=. 方法二　由题意得X~H(3，3，8)，则E(X)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为 A. B. C.1- D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，则出现二级品的概率为1-. 5.(多选)在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是 A.P(X=2)= B.E(X)= C.随机变量X服从超几何分布 D.P(1<X<4)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，X~H(4，4，10)，则E(X)==，所以B错误，C正确； 又由P(X=2)==，P(X=3)==， 所以P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=+=，所以A，D正确. 6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所选3人中的女生人数为X，则X服从参数为N=6，M=2，n=3的超几何分布，且P(X=k)= (k=0，1，2)， 故所求概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为　　.  设口袋中有白球x个，所取2个球中取到白球的个数为X，则X服从超几何分布，由超几何分布的均值公式得，E(X)==，解得x=3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.为推动滑雪运动的发展，某滑雪比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，设事件A为“选出的4人中，恰有2名种子选手，且2名种子选手来自同一协会”，则事件A发生的概率为　　　；设X为选出的4 人中种子选手的人数，则随机变量X的均值E(X)=　　　.  69 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得P(A)==， ∴事件A发生的概率为. 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. P(X=k)=(k=1，2，3，4). ∴随机变量X的概率分布为 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 E(X)=1×+2×+3×+4×=. X 1 2 3 4 P 71 9.盒内有大小相同的9个球，其中2个红球，3个白球，4个黑球.规定取出1个红球得1分，取出1个白球得0分，取出1个黑球得-1分.现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P=1-=. (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“取出1个红球，2个白球”为事件B，“取出2个红球，1个黑球”为事件C，则P(B+C)=P(B)+P(C)=+=. (3)设ξ为取出的3个球中白球的个数，求ξ的概率分布. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ可能的取值为0，1，2，3，ξ服从超几何分布， P(ξ=k)=，k=0，1，2，3. 故P(ξ=0)==， P(ξ=1)==， P(ξ=2)==， P(ξ=3)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， ∴X的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 E(X)=0×+1×+2×=1. X 0 1 2 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性. (参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 新药无效的情况有10人中有1人痊愈、10人中有0人痊愈， ∴p=×+×= ≈0.01<0.05. 故该试验方案合理. 11.把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，则这3个三角形中钝角三角形的个数X的均值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，一共能画出=10(个)三角形， 其中钝角三角形有7个，所以X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)==，P(X=1)===， P(X=2)===，P(X=3)===， 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 12.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6，n∈N*)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ，则随着n(1≤n≤6，n∈N*)的增加，下列说法正确的是 A.E(ξ)增加，D(ξ)增加 B.E(ξ)增加，D(ξ)减小 C.E(ξ)减小，D(ξ)增加 D.E(ξ)减小，D(ξ)减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球的个数X服从超几何分布， X的分布列为P(X=k)=， 其中k∈N，k≤3且k≤n，E(X)==. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的(n+1)个球中取一球，取到红球个数为ξ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故P(ξ=1)==+， 随机变量ξ服从两点分布，所以E(ξ)=P(ξ=1)==+，随着n的增加，E(ξ)减小； D(ξ)=P(ξ=1)·［1-P(ξ=1)］=-，随着n的增加，D(ξ)增加. 13.已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　随机变量X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==. ∴E(X)=0×+1×+2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N=10，M=3，n=2，则由超几何分布的均值公式知 E(X)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“生产新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的均值为　　　　.  由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，且P(X=190)==，P(X=150)==，P(X=110)==，则E(X)=190×+150×+110×=158. 158 15.某公司决定在联欢晚会后，拟通过摸券兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额. (1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 用X表示员工所获得的奖励额. 因为P(X=80)==， P(X=120)==， 所以P(X=80)=P(X=120)， 故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4张奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一种方案为(20，20，100，100)， 设员工所获得的奖励额为X1，则X1的概率分布为 X1 40 120 200 P 所以X1的数学期望为E(X1)=40×+120×+200×=120， X1的方差为D(X1)=(40-120)2×+(120-120)2×+(200-120)2×=； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二种方案为(40，40，80，80)， 设员工所获得的奖励额为X2，则X2的概率分布为 所以X2的数学期望为E(X2)=80×+120×+160×=120， X2的方差为D(X2)=(80-120)2×+(120-120)2×+(160-120)2×=， 又因为500E(X1)=500E(X2)=60 000(元)， X2 80 120 160 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应选择第二种方案. 第一章 <<< $$ 第2课时　超几何分布的综合问题 ［学习目标］　1.掌握超几何分布的均值的计算.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系. 导语 上节课学习了超几何分布模型，这节课我们重点研究超几何分布模型的应用. 一、超几何分布的均值 知识梳理 一般地，当X~H(n，M，N)时，E(X)= =，其中l=min｛n，M｝. 例1　(课本例2)　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数. (1)求获一等奖的概率； (2)求E(X). 解　(1)随机变量X服从超几何分布H(5，10，30). 由公式①得 H(4；5，10，30)==≈0.029 5. 故获一等奖的概率约为0.029 5. (2)X的概率分布如表所示. X 0 1 2 3 4 5 P 因此，随机变量X的均值为 E(X)=0×+1×+2× +3×+4×+5×= ≈1.666 7. 答　获得一等奖的概率约为0.029 5，随机变量X的数学期望E(X)约为1.666 7. 例1　某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两“族”人数占各自小区总人数的比例如下： A小区 低碳族 非低碳族 比例 B小区 低碳族 非低碳族 比例 C小区 低碳族 非低碳族 比例 (1)从A，B，C三个小区中各随机选出1人，求恰好有2人是“低碳族”的概率； (2)从B小区中随机选出20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的概率分布及均值. 解　(1)设事件A为“3人中恰好有2人是‘低碳族’”，则P(A)=××+××+××=. (2)从B小区中随机选出的20户中，“非低碳族”有4户. 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，P(X=k)=，k=0，1，2，3. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 反思感悟　求超几何分布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值. (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率. (3)利用均值公式求解. 跟踪训练1　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.已知在这8道试题中甲能答对6道，记甲答对试题的个数为X，则甲能通过自主招生初试的概率为　　　　，E(X)=　　　　.  答案　　3 解析　依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为 P(X=3)+P(X=4)=+ =+=. 由于X的所有可能取值为2，3，4， P(X=2)==， 故E(X)=2×+3×+4×=3. 二、二项分布与超几何分布的区别与联系 例2　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495］，(495，500］，…，(510，515］，由此得到样本的频率分布直方图如图. (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的概率分布，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的概率分布. 解　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3， 所以质量超过505克的产品数量为 40×0.3=12(件). (2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， ∴X的概率分布为 X 0 1 2 P 方法一　∴X的均值为E(X)=0×+1×+2×=. 方法二　X~H(2，12，40)，则E(X)==. (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为=. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B， P(Y=k)=××，k=0，1，2， ∴P(Y=0)=×=， P(Y=1)=××=， P(Y=2)=×=. ∴Y的概率分布为 Y 0 1 2 P 反思感悟　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算. 跟踪训练2　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 解　(1)方法一　由题意知X的可能取值为0，1，2. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==. ∴随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 方法二　由题意知P(X=k)=，k=0，1，2， ∴随机变量X服从超几何分布，n=3，M=2，N=10， ∴E(X)===. (2)由题意知，抽取1次取到次品的概率为=， 随机变量Y服从二项分布Y~B， ∴E(Y)=3×=， D(Y)=3××=. 三、超几何分布的综合应用 例3　某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 　　专业 　　 性别 中文 英语 数学 体育 男 n 1 m 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同). (1)求m，n的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的概率分布、均值及方差. 解　(1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”， 由题意，可知数学专业的同学共有(1+m)名， 则P(A)==， 解得m=3. 因为m+n+6=10，所以n=1. (2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”， 则P(B)==. (3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ=0)==， P(ξ=1)===， P(ξ=2)===， P(ξ=3)===. 所以ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 均值E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 方差D(ξ)=×+×+×+×=. 反思感悟　超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等. 跟踪训练3　目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，通过垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，生活垃圾中有30%~40%可以回收再利用，分出可回收物既环保，又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%~50%. 现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如表所示： A小区 B小区 C小区 D小区 E小区 废纸投 放量(吨) 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投 放量(吨) 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3 (1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率； (2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的概率分布及均值. 解　(1)记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A. 由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨， 所以P(A)=. (2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. 则X的所有可能取值为0，1，2. P(X=0)==， P(X=1)===， P(X=2)==. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 1.知识清单： (1)超几何分布的均值. (2)二项分布与超几何分布的区别与联系. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样. 1.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概率为的事件是 (　　) A.没有白球 B.至少有一个白球 C.至少有一个红球 D.至多有一个白球 答案　B 解析　=+表示任取的两个球中只有一个白球或两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率. 2.(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是 (　　) A.随机变量X服从超几何分布 B.随机变量X服从二项分布 C.P(X=2)= D.E(X)= 答案　ACD 解析　由题设描述知，随机变量X~H(3，6，10)，故A正确，B错误； P(X=2)==，故C正确； E(X)=n·=3×=，故D正确. 3.袋中装有大小、质地相同的3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　B 解析　由题意，得X的可能取值为0或2，其中“X=0”表示取得2个白球，“X=2”表示取得1个白球，1个红球，所以P(X=0)==，P(X=2)==，故X的均值E(X)=0×+2×=1. 4.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在［90，100］的学生人数为8，且有4个女生的成绩在［50，60)中，则n=　　　　，现由成绩在［50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取的学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是　　　　.  答案　50　 解析　由(0.012+0.016+0.018+0.024+x)×10=1，解得x=0.03. 依题意得0.016×10n=8，则n=50. 成绩在［50，60)的人数为0.012×10×50=6， 其中4个为女生，2个为男生. ξ的可能取值为0，1，2. P(ξ=0)==， P(ξ=1)==， P(ξ=2)==， 故E(ξ)=0×+1×+2×=. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知10件产品中有2件次品， 故所求概率为P(X=1)==. 2.某电视台对收看新闻节目的观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人.用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由于是分层抽样，所以在5名观众中，年龄为20至40岁的有×5=2(人).设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从参数为N=5，M=2，n=2的超几何分布，故P(X=1)==. 3.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则E(X)为 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， P(X=3)==. 因此随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=. 方法二　由题意得X~H(3，3，8)，则E(X)==. 4.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为 (　　) A. B. C.1- D. 答案　C 解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，则出现二级品的概率为1-. 5.(多选)在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是 (　　) A.P(X=2)= B.E(X)= C.随机变量X服从超几何分布 D.P(1<X<4)= 答案　ACD 解析　由题意知，X~H(4，4，10)，则E(X)==，所以B错误，C正确；又由P(X=2)==，P(X=3)==， 所以P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=+=，所以A，D正确. 6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设所选3人中的女生人数为X，则X服从参数为N=6，M=2，n=3的超几何分布，且P(X=k)= (k=0，1，2)， 故所求概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)==. 7.(5分)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为　　　　.  答案　3 解析　设口袋中有白球x个，所取2个球中取到白球的个数为X，则X服从超几何分布，由超几何分布的均值公式得，E(X)==，解得x=3. 8.(5分)为推动滑雪运动的发展，某滑雪比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，设事件A为“选出的4人中，恰有2名种子选手，且2名种子选手来自同一协会”，则事件A发生的概率为　　　；设X为选出的4 人中种子选手的人数，则随机变量X的均值E(X)=　　　.  答案　　 解析　由已知得P(A)==， ∴事件A发生的概率为. 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. P(X=k)=(k=1，2，3，4). ∴随机变量X的概率分布为 X 1 2 3 4 P E(X)=1×+2×+3×+4×=. 9.(11分)盒内有大小相同的9个球，其中2个红球，3个白球，4个黑球.规定取出1个红球得1分，取出1个白球得0分，取出1个黑球得-1分.现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2分) (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(4分) (3)设ξ为取出的3个球中白球的个数，求ξ的概率分布.(5分) 解　(1)P=1-=. (2)记“取出1个红球，2个白球”为事件B，“取出2个红球，1个黑球”为事件C，则P(B+C)=P(B)+P(C)=+=. (3)ξ可能的取值为0，1，2，3，ξ服从超几何分布， P(ξ=k)=，k=0，1，2，3. 故P(ξ=0)==， P(ξ=1)==， P(ξ=2)==， P(ξ=3)==. 所以ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 10.(13分)根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值；(6分) (2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.(7分) (参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 解　(1)X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， ∴X的概率分布为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=1. (2)新药无效的情况有10人中有1人痊愈、10人中有0人痊愈， ∴p=×+×= ≈0.01<0.05. 故该试验方案合理. 11.把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，则这3个三角形中钝角三角形的个数X的均值为 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，一共能画出=10(个)三角形， 其中钝角三角形有7个，所以X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)==， P(X=1)===， P(X=2)===， P(X=3)===， 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 12.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6，n∈N*)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ，则随着n(1≤n≤6，n∈N*)的增加，下列说法正确的是 (　　) A.E(ξ)增加，D(ξ)增加 B.E(ξ)增加，D(ξ)减小 C.E(ξ)减小，D(ξ)增加 D.E(ξ)减小，D(ξ)减小 答案　C 解析　由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球的个数X服从超几何分布， X的分布列为P(X=k)=， 其中k∈N，k≤3且k≤n，E(X)==. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的(n+1)个球中取一球，取到红球个数为ξ. 故P(ξ=1)==+， 随机变量ξ服从两点分布，所以E(ξ)=P(ξ=1)==+，随着n的增加，E(ξ)减小； D(ξ)=P(ξ=1)·［1-P(ξ=1)］=-，随着n的增加，D(ξ)增加. 13.(5分)已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)=　　　　.  答案　 解析　方法一　随机变量X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==. ∴E(X)=0×+1×+2×=. 方法二　由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N=10，M=3，n=2，则由超几何分布的均值公式知 E(X)===. 14.(5分)某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“生产新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的均值为　　　　　　.  答案　158 解析　由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，且P(X=190)==，P(X=150)==，P(X=110)==，则E(X)=190×+150×+110×=158. 15.(15分)某公司决定在联欢晚会后，拟通过摸券兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额. (1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；(6分) (2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4张奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由.(9分) 解　(1)用X表示员工所获得的奖励额. 因为P(X=80)==， P(X=120)==， 所以P(X=80)=P(X=120)， 故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等. (2)第一种方案为(20，20，100，100)， 设员工所获得的奖励额为X1，则X1的概率分布为 X1 40 120 200 P 所以X1的数学期望为E(X1)=40×+120×+200×=120， X1的方差为D(X1)=(40-120)2×+(120-120)2×+(200-120)2×=； 第二种方案为(40，40，80，80)， 设员工所获得的奖励额为X2，则X2的概率分布为 X2 80 120 160 P 所以X2的数学期望为E(X2)=80×+120×+160×=120， X2的方差为D(X2)=(80-120)2×+(120-120)2×+(160-120)2×=， 又因为500E(X1)=500E(X2)=60 000(元)， 所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应选择第二种方案. 学科网（北京）股份有限公司 $$