8.2.3 第2课时 二项分布的综合问题（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦二项分布的综合问题，核心知识点为二项分布的均值与方差。通过梳理两点分布到二项分布的公式推导，搭建从基础概念到参数求解、实际应用及概率最大问题的学习支架，形成完整知识脉络。 资料特色在于结合投篮命中率、游戏得分等生活实例，以例题解析和跟踪训练引导学生用数学思维推理计算，用数学语言建立模型解决实际问题。课中助力教师系统授课，课后帮助学生巩固公式应用与问题分析，有效查漏补缺。

第2课时　二项分布的综合问题 【基础落实】 知识点 1.p　p（1－p）　2.np　np（1－p） 自我诊断 1.2　解析：∵随机变量X～B（6，），∴E（X）＝6×＝2. 2.　解析：E（ξ）＝n·p＝6·p＝2，所以p＝，又因为D（ξ）＝n×p×（1－p）＝6××＝. 【典例研析】 【例1】　（1）C　（2）C　解析：（1）由随机变量X服从二项分布B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝，可得解得p＝.故选C. （2）根据题意知X～B（5，0.6），根据二项分布的均值与方差公式，得E（X）＝5×0.6＝3，D（Y）＝D（10X）＝102D（X）＝100×5×0.6×（1－0.6）＝120. 跟踪训练 1.A　E（X）＝100p＝20，解得p＝0.2，D（X）＝np（1－p）＝100×0.2×（1－0.2）＝16，D（2X－1）＝4D（X）＝64. 2.解：估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率P＝＝. 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，）， 则P（X＝k）＝（）k（1－）3－k（k＝0，1，2，3）， ∴随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P ∴随机变量X的均值E（X）＝3×＝，方差D（X）＝3××（1－）＝. 【例2】　解：（1）依题意，抛掷三次骰子出现6点的次数X的所有可能取值为0，1，2，3.每次抛掷骰子，出现6点的概率均为. X服从二项分布，即X～B（3，）. P（X＝0）＝×（1－）3＝， P（X＝1）＝××（1－）2＝， P（X＝2）＝×（）2×（1－）＝， P（X＝3）＝×（）3＝， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P E（X）＝3×＝，D（X）＝3××（1－）＝. （2）设每盘游戏得分为Y，则Y的所有可能取值为－12，15，120. 由（1）知，Y的概率分布为 Y －12 15 120 P Y的数学期望E（Y）＝－12×＋15×＋120×＝－. 这表明，得分Y的数学期望为负. 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大. 跟踪训练 　解：（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中， 其概率为p3·（1－p），又0＜p＜1， 故p3·（1－p）＝，解得p＝. （2）设X为甲累计获得的分数，则X～B（5，），所以E（X）＝np＝5×＝， 设Y为乙累计获得的分数，则Y的可能取值为0，2，4，6，8，10， P（Y＝0）＝，P（Y＝2）＝×（1－）＝， P（Y＝4）＝（）2×（1－）＝， P（Y＝6）＝（）3×（1－）＝， P（Y＝8）＝（）4×（1－）＝， P（Y＝10）＝（）5＝， 所以Y的概率分布为 Y 0 2 4 6 8 10 P 所以E（Y）＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＋10×＝， 因为E（X）＞E（Y），所以甲获胜的可能性大. 【例3】　解：假设最有可能成活幼苗的数量为k（k∈N且k≤10），则×0.74k×0.2610－k≥×0.74k＋1×0.269－k且×0.74k×0.2610－k≥×0.74k－1×0.2611－k，解得7.14≤k≤8.14，又k∈N，所以k＝8.故最有可能成活8株幼苗. 跟踪训练 　解：由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝××＝××， P（X＝k－1）＝××，k∈N且k≤20. 由不等式≤1，即≤1，解得k≤7. 所以当k≤7时，P（X＝k）≥P（X＝k－1）；当k＞7时，P（X＝k－1）＞P（X＝k）. 因为当k＝7时，P（X＝k－1）＝P（X＝k）. 所以k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值. 随堂检测 1.D　由题意知，随机变量X～B（5，），可得E（X）＝np＝5×＝，所以E（X＋1）＝E（X）＋1＝＋1＝. 2.A　由题意可知ξ～B（n，），∴n＝E（ξ）＝24，∴n＝36，∴D（ξ）＝36××＝8. 3.解：由题意，用X表示10局中甲赢的次数， 则X～B（10，0.51）， 所以E（X）＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局， 用Y表示10局中乙赢的次数，则Y～B（10，0.49）， 所以E（Y）＝10×0.49＝4.9， 即乙平均赢4.9局. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　二项分布的综合问题 　　已知小明投篮10次，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X. 【问题】　（1）你能求出X的均值与方差吗？ （2）对于二项分布的均值与方差公式有简单的求解方法吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二项分布的均值与方差 1.若X服从两点分布，则E（X）＝　　　，D（X）＝　　　　. 2.当X～B（n，p）时，E（X）＝　　　，D（X）＝　　　　，σ＝. 1.已知X～B（6，），则E（X）＝　　　　. 2.已知随机变量ξ～B（6，p），且期望E（ξ）＝2，则方差D（ξ）＝　　　. 题型一｜二项分布的均值与方差 【例1】　（1）已知随机变量X服从二项分布B（n，p）.若E（X）＝2，D（X）＝，则p＝（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. （2）某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分，命中次数为X，得分为Y，则E（X），D（Y）分别为（　　） A.0.6，60 B.3，12 C.3，120 D.3，1.2 通性通法 求二项分布的均值和方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从二项分布； （2）若服从二项分布，则代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差，即X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.特别地，当n＝1时，X服从两点分布. 【跟踪训练】 1.随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（2X－1）＝（　　） A.64 B.128 C.256 D.32 2.为了探究某市在高考志愿中报考“经济类”专业的情况，现从该市考生中随机抽取50名学生进行调查，得到数据如下： 报考“经济类” 不报考“经济类” 合计 人数 20 30 50 以样本中各事件的频率作为概率估计全市考生的报考情况，现从该市全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布、均值与方差. 题型二｜二项分布的均值和方差的实际应用 【例2】　一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次6点获得15分，出现三次6点获得120分，没有出现6点则扣除12分（即获得－12分）. （1）设每盘游戏中出现6点的次数为X，求X的概率分布、均值E（X）及方差D（X）； （2）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象. 通性通法 　　二项分布的均值与方差是反映随机变量取值的平均水平和随机变量偏离均值的程度，从整体上刻画随机变量的取值情况，是生产实际中用于方案制定（决策）的重要理论依据.求解二项分布的均值与方差的应用问题时，可按随机变量的均值与方差的定义求解，也可先判断随机变量的分布类型，再直接利用公式求E（X）及D（X）. 【跟踪训练】 甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为p，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负. （1）若乙得6分的概率为，求p； （2）由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？ 题型三｜二项分布概率最大问题 【例3】　如果某品种幼苗每株成活的概率为0.74，且每株幼苗是否成活相互独立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活几株幼苗？ 通性通法 　　二项分布概率最大问题的求解思路可以用≤1（0≤k≤n－1，k∈N）来求，还可以考虑用不等式组（k∈N，1≤k≤n－1）来求. 【跟踪训练】 　如果X～B，那么当P（X＝k）取得最大值时，k取何值？ 1.已知X～B（5，），则E（X＋1）＝（　　） A. B.1 C. D. 2.设随机变量ξ的概率分布为P（ξ＝k）＝（）k（）n－k，k＝0，1，2，…，n，且E（ξ）＝24，则D（ξ）＝（　　） A.8 B.12 C. D.16 3.甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛.已知各局比赛相互独立，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局. 提示：完成课后作业　第八章　8.2　8.2.3　第2课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $