8.1.2 全概率公式 8.1.3 贝叶斯公式（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学全概率公式与贝叶斯公式，通过古典概型实例引入，系统梳理全概率公式的样本空间划分（互斥且完备事件组）条件及与条件概率、乘法公式的推导关系，贝叶斯公式作为逆问题求解工具，与全概率公式形成因果推理链条，搭建概率计算的逻辑支架。 资料以“取球”“民意调查”等情境问题驱动，培养数学抽象能力，例题从双事件到多事件递进训练数学运算，结合图表直观呈现公式联系。课中助力教师分层教学，课后通过判断、选择、解答题帮助学生巩固，提升逻辑推理与应用意识，有效查漏补缺。

8.1.2　全概率公式8.1.3　贝叶斯公式* 课标要求 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率（数学抽象、数学运算）. 2.了解贝叶斯公式（不作考试要求）（数学抽象、数学运算）. 　　有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红球2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球. 【问题】　如何求取得红球的概率？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全概率公式 　一般地，若事件A1，A2，…，An两两　互斥　，且它们的和Ai＝　Ω　，P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P（B）＝　P（Ai）P（B｜Ai）　.这个公式称为全概率公式. 　　提醒：（1）注意全概率公式的使用条件（i＝1，2，…，n）：①A1，A2，…，An两两互斥；②A1∪A2∪…∪An＝Ω；③P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n.（2）全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＋…＋P（An）P（B｜An）. 知识点二　贝叶斯公式 　一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝＝. 　　提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B｜A）＝乘法公式 　　　　　　　　P（AB）＝P（A）P（B｜A） 　　　　 全概率公式 P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai） 　　　　 贝叶斯公式 P（Ai｜B）＝，i＝1，2，…，n. 【想一想】 贝叶斯公式的几何意义是什么？ 提示：如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P（A｜B）表示原因A在结果B中的比重. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全概率公式中，A1，A2，…，An不一定是一组两两互斥的事件.（　×　） （2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间.（　√　） （3）设A，B为任意两个随机事件，则BA与B是互斥的.（　√　） （4）贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下，探求各原因发生的可能性大小.（　√　） 2.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝.故选C. 3.设甲乘火车、汽车前往某目的地的概率分别为0.4，0.6，火车和汽车正点到达目的地的概率分别为0.8，0.9，则甲正点到达目的地的概率为（　　） A.0.72 B.0.84 C.0.86 D.0.96 解析：C　设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P（B）＝0.4，P（C）＝0.6，P（A｜B）＝0.8，P（A｜C）＝0.9.由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P（A｜C）＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86. 题型一｜两个事件的全概率问题 【例1】　（链接教科书第105页例3）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P（A1）＝，P（A2）＝， 且P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝. 由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×＝. 通性通法 两个事件的全概率问题的求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分，如A1，A2（或A与）； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）. 【跟踪训练】 　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： （1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率； （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 解：记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥. （1）由题意，得P（A）＝＝，P（B）＝＝， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜B）＝. （2）P（A）＝＝， P（B）＝＝， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜B）＝×＋×＝. 题型二｜多个事件的全概率问题 【例2】　（链接教科书第105页例4）甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞碟被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，则飞碟必被击落，求飞碟被击落的概率. 解：设B＝“飞碟被击落”，Ai＝“飞碟被i人击中”，i＝1，2，3， 则B＝A1B＋A2B＋A3B，依题意得P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜A3）＝1. 由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）， 为求P（Ai），设Hi＝“飞碟被第i人击中”，i＝1，2，3，则 P（A1）＝P（H1＋H2＋H3）， P（A2）＝P（H1H2＋H1H3＋H2H3）， P（A3）＝P（H1H2H3）. 又P（H1）＝0.4，P（H2）＝0.5，P（H3）＝0.7， 所以P（A1）＝0.36，P（A2）＝0.41，P（A3）＝0.14， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3） ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 所以飞碟被击落的概率为0.458. 通性通法 “化整为零”求多个事件的全概率问题 （1）如图，P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）； （2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 【跟踪训练】 　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 解：用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P（A1）＝50%，P（A2）＝30%，P（A3）＝20%，且P（B｜A1）＝95%，P（B｜A2）＝90%，P（B｜A3）＝70%，由全概率公式，得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）·P（B｜A3）＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 题型三｜贝叶斯公式* 【例3】　（链接教科书第107页例5）某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为，和，乘飞机不会迟到.结果他迟到了，求他乘汽车去的概率. 解：设A＝“迟到”，B1＝“乘火车”，B2＝“乘轮船”， B3＝“乘汽车”，B4＝“乘飞机”， 根据题意，有P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.1，P（B3）＝0.3，P（B4）＝0.4. P（A｜B1）＝，P（A｜B2）＝，P（A｜B3）＝， P（A｜B4）＝0. 由贝叶斯公式，有P（B3｜A）＝ ＝ ＝＝0.5， 即他乘汽车去的概率为0.5. 通性通法 应用贝叶斯公式求概率的步骤 （1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； （2）利用全概率公式求出P（B）； （3）代入贝叶斯公式求得概率. 【跟踪训练】 甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过上述选盒摸球后，摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率. 解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}， 则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝， P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝，P（B｜A3）＝. 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为 P（A2｜B）＝＝＝. 1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：B　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝. 2.已知P（BA）＝0.4，P（B）＝0.2，则P（B）＝（　　） A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 解析：C　因为P（BA）＝P（A）P（B｜A），P（B）＝P（）P（B｜），所以P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝P（BA）＋P（B）＝0.4＋0.2＝0.6.故选C. 3.小李的朋友从远方来看他，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0，则他迟到的概率为（　　） A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.0 解析：C　设事件A1＝{他乘火车来}，A2＝{他乘船来}，A3＝{他乘汽车来}，A4＝{他乘飞机来}，B＝{他迟到}.显然A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式，得P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.故选C. 4.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为0.8. 解析：设事件B表示“中途停车修理”，事件A1表示“经过的是货车”，事件A2表示“经过的是客车”，则B＝A1B＋A2B，P（A1）＝， P（A2）＝，P（B｜A1）＝0.02，P（B｜A2）＝0.01.由贝叶斯公式有P（A1｜B）＝＝＝0.8. 1.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（　　） A.0.025% B.0.032% C.0.048% D.0.02% 解析：A　设不吸烟患肺癌的概率为x，则0.2×0.004＋0.8x＝0.001，解得x＝0.000 25＝0.025%.故选A. 2.已知事件A，B满足P（A）＝，P（B｜A）＝，P（｜）＝，则P（B）＝（　　） A.　　 　 B. C.　　 　 D. 解析：C　由题意可得：P（）＝1－P（A）＝，P（B｜）＝1－P（｜）＝，所以P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝.故选C. 3.在一个水果市场，有三个摊位售卖苹果.一号摊位的苹果来自果园A，共50箱，其中优质果率为80%；二号摊位的苹果来自果园B，共40箱，优质果率为70%；三号摊位的苹果来自果园C，共30箱，优质果率为60%.随机购买一箱苹果，则买到优质苹果的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：B　设事件M表示“买到优质苹果”，B1，B2，B3分别表示购买的苹果来自一号、二号、三号摊位.则P（B1）＝＝，P（B2）＝＝，P（B3）＝＝.P（M｜B1）＝0.8，P（M｜B2）＝0.7，P（M｜B3）＝0.6.由全概率公式可得P（M）＝P（B1）P（M｜B1）＋P（B2）P（M｜B2）＋P（B3）P（M｜B3）＝×0.8＋×0.7＋×0.6＝＋＋＝＝. 4.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，而在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：B　设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，由全概率公式得，P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（）P（A｜）＝×1＋×＝.又由贝叶斯公式得，P（B｜A）＝＝＝.故选B. 5.〔多选〕若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有（　　） A.P（A｜B）＝ B.P（AB）＝P（A）P（B｜A） C.P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜） D.P（A｜B）＝ 解析：BCD　由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜），故D正确.故选B、C、D. 6.〔多选〕箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（　　） A.P（A）＝ B.P（B）＝ C.P（B｜A）＝ D.P（B｜）＝ 解析：AD　P（A）＝＝，A正确；P（B｜A）＝＝＝，P（B｜）＝＝＝.由全概率公式可知，P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝.所以B、C错误，D正确. 7.有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内装30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是. 解析：设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”（i＝1，2），则P（B1）＝P（B2）＝，P（A｜B1）＝＝，P（A｜B2）＝＝，利用全概率公式，P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝. 8.某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%. 解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%＝74%，解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%. 9.某厂的产品中96%是合格品.现有一验收方法，把合格品判为“合格品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.当用此验收方法判一产品为“合格品”时，则此产品为合格品的概率为0.997 9. 解析：设“一产品经验收判为合格品”为事件A，“一产品为合格品”为事件B.由题知P（B）＝0.96，P（A｜B）＝0.98，P（）＝0.04，P（A｜）＝0.05.由贝叶斯公式得P（B｜A）＝＝≈0.997 9.故一产品经验收判为“合格品”时，此产品为合格品的概率约为0.997 9. 10.李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会.根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率. 解：用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P（B｜A）是乘出租车迟到的概率，P（B｜）是骑自行车迟到的概率. 根据题意P（A）＝0.01，P（B｜）＝0.05，P（B｜A）＝0.50. 因为A，互斥，所以AB，B互斥. 利用概率的可加性得到P（B）＝P（AB∪B）＝P（AB）＋P（B）. 因为P（A）＞0，P（）＞0，再由全概率公式可知，李老师迟到的概率P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.01×0.50＋（1－0.01）×0.05＝0.054 5. 11.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：B　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示“丢失的1箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得P（A）＝P（Bk）P（A｜Bk）＝×＋×＋×＝，P（B1｜A）＝＝＝.故选B. 12.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为64%. 解析：设A＝“利率下调”，＝“利率不变”，B＝“股票价格上涨”.依题意知P（A）＝60%，P（）＝40%，P（B｜A）＝80%，P（B｜）＝40%，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 13.在一个抽奖活动中，有三个抽奖箱.抽奖箱A中有5个红球、3个白球、2个黑球，抽奖箱B中有4个红球、4个白球、2个黑球，抽奖箱C中有3个红球、5个白球、2个黑球.抽奖者先随机选择一个抽奖箱，然后从该箱中抽取一个球.若抽到红球可获得一等奖，抽到白球可获得二等奖，抽到黑球无奖.现在已知抽到了二等奖，那么该奖是从抽奖箱B中抽取的概率为. 解析：设事件A表示“抽到二等奖（即抽到白球）”，B1，B2，B3分别表示选择抽奖箱A，B，C.则P（B1）＝P（B2）＝P（B3）＝.P（A｜B1）＝，P（A｜B2）＝，P（A｜B3）＝.由全概率公式得P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）·P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝×＋×＋×＝.由贝叶斯公式得P（B2｜A）＝＝＝. 14.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 解：（1）从甲箱中任取2个产品的取法种数为＝＝28， 这2个产品都是次品的取法种数为＝3， 所以这2个产品都是次品的概率为. （2）设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥. P（B1）＝＝，P（B2）＝＝， P（B3）＝＝， P（A｜B1）＝，P（A｜B2）＝，P（A｜B3）＝， 所以P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝×＋×＋×＝. 15.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解：设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.3，P（B3）＝0.5， P（A｜B1）＝0.95，P（A｜B2）＝0.9， P（A｜B3）＝0.8. （1）由全概率公式得P（A）＝P（Bi）P（A｜Bi）＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. （2）由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝＝＝， P（B2｜A）＝＝＝， P（B3｜A）＝＝＝＝. 由以上3个数比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性大. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $