8.1.2～8.1.3 全概率公式～贝叶斯公式（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

8.1.2 & 8.1.3　全概率公式　贝叶斯公式* 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．结合古典概型，会用全概率公式计算概率． 2．了解贝叶斯公式． 重点 难点 重点：全概率公式的应用． 难点：全概率公式的理解. 1．全概率公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i＝_Ω_，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝.这个公式称为全概率公式． *2.贝叶斯公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)，因此P(Ai|B)＝，再由全概率公式得P(Ai|B)＝.这个公式称为贝叶斯公式． 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　 ) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：选C　从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. *2.12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，则先取的1件为次品的概率为________． 解析： 令A＝{先取的1件为次品}，则P(A)＝，P()＝，令B＝{后取的2件皆为正品}，则P(A)＝＝，P()＝＝，由贝叶斯公式得P(B)＝＝＝＝. 答案： —————————————————————————————————— 对全概率公式的理解 —————————————————————————————————————— [典例1]　已知P()＝，P(|A)＝，P(B|)＝，求P()，P(|B)． [解]　因为P()＝，P(B|)＝，所以P(A)＝，P(|)＝. 又因为P(|A)＝，由全概率公式， 得P()＝P(A)·P(|A)＋P()·P(|)＝×＋×＝， P(B)＝P()·P(B|)＝×＝. 又由P(B)＝1－P()＝， 所以P(|B)＝＝＝. [方法技巧] (1)对于样本空间Ω的一个划分，条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个；条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生． (2)如果我们把Bi看成导致事件A发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们：事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均． (3)应用全概率公式计算的关键是寻找样本空间的一个划分． [对点训练] 1．已知P(B)＝0.3，P＝0.9，P＝0.2，则P＝(　 ) A. B. C．0.33 D．0.1 解析：选A　由全概率公式可得P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)，即0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，解得P(A)＝. —————————————————————————————————— 全概率公式的综合应用 —————————————————————————————————————— [典例2]　一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为. (1)若至少有一次及格他就能取得某种资格，求他取得该种资格的概率； (2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率． [解]　设Ai＝{他第i次及格}(i＝1,2)，则P(A1)＝P(A2|A1)＝p，P(A2|1)＝. (1)设B＝{至少有一次及格}，则＝{两次均不及格}＝12，∴P(B)＝1－P()＝1－P(12)＝1－P(1)P(2|1)＝1－[1－P(A1)][1－P(A2|1)]＝1－(1－p)＝p－p2. (2)∵P(A1A2)＝P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝p2，∴由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝p·p＋(1－p)·＝＋，∴P(A1|A2)＝＝＝. [方法技巧] 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． [对点训练] 2．某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明的母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为. (1)求小明父母都参加活动的概率； (2)求小明父亲参加活动的概率． 解：设事件B表示“小明的母亲参加活动”，事件A表示“