8.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦条件概率的性质及应用核心知识点，承接条件概率定义，通过“三张奖券抽取”问题情境引入，系统梳理概率乘法公式及条件概率的互斥事件可加性等性质，构建从概念到应用的学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察事件关系，通过判断、计算、证明等题型设计培养数学运算与逻辑推理能力，课中辅助教师引导探究，课后练习题与跟踪训练助力学生巩固知识，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

第2课时　条件概率的性质及应用 【基础落实】 知识点一 P（B｜A）P（A） 知识点二 （1）1　（2）0　（3）P（B1｜A）＋P（B2｜A） （4）1－P（B｜A） 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）× 2.0.18　解析：由概率的乘法公式可得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝0.3×0.6＝0.18. 3.解：记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P（B｜A）＝.∴P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝0.9×0.8＝0.72. 【典例研析】 【例1】　（1）C　（2）72%　解析：（1）由题意，知P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝. （2）记A：合格品， 记B：一等品，由于B⊆A，则P（B）＝P（AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P（B｜A）＝75%，故P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝96%×75%＝0.72，即一等品率为72%. 跟踪训练 1.B　设“每年七月份刮台风”为事件A，“每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P（A）＝，P（B｜A）＝，由概率的乘法公式得P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝.故选B. 2.　解析：没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝，P（G1R2）＝P（G1）P（R2｜G1）＝×＝，所以没有取到黄球的概率为P＝＋＝. 【例2】　C　由题知，P（A）＝1－P（）＝，P（｜A）＝＝⇒P（A）＝P（A）×＝，P（BA）＝P（A）－P（A）＝－＝，又P（B｜）＝＝⇒P（B）＝P（）×＝，则P（B）＝P（BA）＋P（B）＝＋＝. 跟踪训练 1.C　因为P（B｜A）＝P（B｜），由条件概率公式可得＝，即P（AB）[1－P（A）]＝P（A）P（B）＝P（A）[P（B）－P（AB）]，所以P（AB）＝P（A）P（B），故选C. 2.解：设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”， 则P（A）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，所以P（B｜A）＝＝，P（C｜A）＝＝， 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝. 【例3】　证明：①必要性： 若P（B｜A）＝P（B），则＝P（B）， 即P（AB）＝P（A）P（B）. 又因为B＝B＋AB，所以P（B）＝P（B）＋P（AB），　 所以P（B｜）＝＝＝＝＝P（B）. ②充分性： 若P（B｜）＝P（B），则＝P（B）， 即P（B）＝P（）P（B）， 由P（B）＝P（B）＋P（AB），得P（B）＝P（B）－P（AB）， 故P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B）， 所以P（AB）＝P（A）P（B）， 所以P（A）P（B｜A）＝P（A）P（B），P（A）≠0， 所以P（B｜A）＝P（B）. 由①②可知，P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜）＝P（B）. 跟踪训练 　B　由P（B｜A）＝，当0＜P（A）＜1时，P（B｜A）＞P（AB），A错误；要使P（B｜A）＝，即P（AB）＝P（B），当B恰好为A的子事件时成立，B正确；当A或B为不可能事件时，P（B｜A）＝0，C错误；P（A｜A）＝＝1，D错误. 随堂检测 1.B　因为事件A，B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以P（A｜B）＝＝P（A）＝0.8. 2.C　设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮疹”，则P（A）＝2%，P（B｜A）＝99%，所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝2%×99%＝1.98%.故选C. 3.　解析：由题意知，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C）＝，P（B｜C）＝＝＝，则P（A｜C）＝P（A∪B｜C）－P（B｜C）＝－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　条件概率的性质及应用 课标要求 1.掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实际问题（数学抽象、数学运算）. 2.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥（对立）事件的条件概率（数学抽象、数学运算）. 　　 　　三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”. 【问题】　（1）事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？ （2）P（AB）、P（B｜A）与P（B）、P（A）有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　概率的乘法公式 由条件概率的公式可知P（AB）＝　　　　.通常将此公式称为概率的乘法公式. 　　提醒：（1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB）中，样本空间为所有事件的总和；（2）当P（B｜A）＝P（B）时，事件A与事件B是相互独立事件. 知识点二　条件概率的性质 条件概率有如下性质： （1）P（Ω｜A）＝　　　； （2）P（⌀｜A）＝　　　； （3）若B1，B2互斥，则P（（B1＋B2）｜A）＝　　　　　　　　； （4）设和B互为对立事件，则P（｜A）＝　　　　　. 　　提醒：（1）B1与B2互斥，即B1，B2不同时发生，则P（B1B2）＝0，故P（B2｜B1）＝0；（2）互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）P（B｜A）＜P（AB）.（　　） （2）对任意两个事件A与B，必有P（AB）＝P（A）·P（B｜A）.（　　） （3）P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）.（　　） 2.已知P（A）＝0.3，P（B｜A）＝0.6，且事件A与B相互独立，则P（AB）＝　　　　. 3.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，求这粒水稻种子能成长为幼苗的概率. 题型一｜概率的乘法公式 【例1】　（链接教科书第103页例2）（1）已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（　　） A. B. C. D. （2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则该厂产品的一等品率是　　　　. 通性通法 应用乘法公式求概率的一般步骤 　　概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直接计算P（AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率： （1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0； （2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或P（B）、P（A｜B）； （3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝P（B）P（A｜B）求解. 【跟踪训练】 1.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（　　） A. B. C. D. 2.盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为　　　　. 题型二｜条件概率性质的应用 【例2】　已知P（）＝，P（｜A）＝，P（B｜）＝.则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 通性通法 应用条件概率的性质解题的方法 　　在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若B与C互斥，那么P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A），此公式可推广到多个事件互斥的情况. 【跟踪训练】 1.设A，B是两个随机事件，已知0＜P（A）＜1，P（B）＞0且P（B｜A）＝P（B｜），则下列结论中一定成立的是（　　） A.P（A｜B）＝P（｜B） B.P（A｜B）≠P（｜B） C.P（AB）＝P（A）P（B） D.P（AB）≠P（A）P（B） 2.某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，求在周六晚上或周五晚上值班的概率. 题型三｜与条件概率公式有关的证明问题 【例3】　当0＜P（A）＜1时，求证：P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜）＝P（B）. 通性通法 　　利用事件A与事件B相互独立的定义P（AB）＝P（A）P（B）及条件概率的性质进行转化变形、推理论证，这里要注意互斥事件、对立事件及相互独立事件的区别. 【跟踪训练】 已知A，B为两个事件，则（　　） A.P（B｜A）＜P（AB） B.P（B｜A）＝是可能的 C.0＜P（B｜A）＜1 D.P（A｜A）＝0 1.已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A｜B）＝（　　） A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16 2.某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为（　　） A.99.02% B.98.02% C.1.98% D.0.98% 3.已知事件A和B是互斥事件，P（C）＝，P（BC）＝，P（A∪B｜C）＝，则P（A｜C）＝　　　　. 提示：完成课后作业　第八章　8.1　8.1.1　第2课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $