全概率公式与数列综合问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

全概率公式与数列综合问题讲义 全概率公式与数列综合问题讲义 知识点解析 一、核心考向 1. 由多阶段随机试验（如摸球、闯关、重复试验、状态转移），用全概率公式推导第次试验的概率与前次概率的递推关系； 1. 将概率递推式转化为等差/等比数列（一阶线性递推为主），求的通项公式； 1. 结合数列性质，求的最值、极限、前项和，或证明概率的单调性、有界性。 二、核心方法技能 步骤1：定义概率数列，确定初始状态 设为第次试验达到目标状态的概率（或第步处于某状态的概率），根据题意直接求出初始值（关键，无初始值无法求解递推数列）。 步骤2：用全概率公式推导递推关系 全概率公式核心：（为样本空间的划分，两两互斥且并为全集）。 应用关键：找到第次状态的所有前置划分条件（如第次成功/失败、处于状态1/状态2），分别计算前置条件的概率×前置条件下第次达目标的概率，求和即得的递推式。 高频模型：一阶线性递推（最常见），形式为（为常数，由全概率公式推导得出）。 步骤3：将概率递推式转化为等差/等比数列求解通项 针对高频的一阶线性非齐次递推，用构造等比数列法求解： 1. 设构造式：（为待定常数）； 2. 展开对比：，与原递推式对比，得（）； 3. 求通项：是首项为、公比为的等比数列，故，整理得通项； 4. 特殊情况：若，则为等差数列，公差为，直接用等差通项求解。 步骤4：结合数列性质解决后续问题 1. 求概率最值：根据的通项（等差/等比），结合和概率范围，求最值； 1. 求概率极限：若，则（稳态概率）； 1. 求前项和：利用等差/等比数列求和公式计算； 1. 证明单调性/有界性：通过通项或递推式，结合作差法（）判断单调性，结合概率定义判断有界性（）。 例题分析 例1．（24-25高二下·福建福州·月考）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东威海·一模·多选）甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·广东·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 例4．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. (1)若，求的分布列和期望； (2)若，，1，2，3，，，求的最大值； (3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 例5．（25-26高三上·广东惠州·月考）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. (2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 变式训练 变式1．（24-25高二下·山东烟台·月考）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 变式2．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末·多选）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 变式3．（2025·黑龙江·模拟预测）从分别标有数字2024，2025，2026的三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，记下数字后放回，以此类推，抽取次后，记下的个数字之和为奇数的概率为______. 变式4．（2025·广东·模拟预测）五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件. (1)求第2号社区有2名男医生的概率； (2)当时，求与i的关系式； (3)记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望. 变式5．（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 实战演练 1．（24-25高二下·广西南宁·月考）某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码． (1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率； (2)记前n周中使用了乙密码的次数为Y，求． 2．（24-25高二下·河北衡水·月考）某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的种疫苗后，再为居民们接种，记第位居民（不包含张医生）接种四种疫苗的概率分别为. (1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大； (2)张医生认为，一段时间后接种四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种四种的概率，解释张医生观点的合理性. 参考数据：. 3．（24-25高二下·广东茂名·月考）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 4．（24-25高二下·江苏盐城·月考）神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里程碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间内．现将成绩分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛. (1)求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）； (2)复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $全概率公式与数列综合问题讲义 全概率公式与数列综合问题讲义 知识点解析 一、核心考向 1. 由多阶段随机试验（如摸球、闯关、重复试验、状态转移），用全概率公式推导第次试验的概率与前次概率的递推关系； 1. 将概率递推式转化为等差/等比数列（一阶线性递推为主），求的通项公式； 1. 结合数列性质，求的最值、极限、前项和，或证明概率的单调性、有界性。 二、核心方法技能 步骤1：定义概率数列，确定初始状态 设为第次试验达到目标状态的概率（或第步处于某状态的概率），根据题意直接求出初始值（关键，无初始值无法求解递推数列）。 步骤2：用全概率公式推导递推关系 全概率公式核心：（为样本空间的划分，两两互斥且并为全集）。 应用关键：找到第次状态的所有前置划分条件（如第次成功/失败、处于状态1/状态2），分别计算前置条件的概率×前置条件下第次达目标的概率，求和即得的递推式。 高频模型：一阶线性递推（最常见），形式为（为常数，由全概率公式推导得出）。 步骤3：将概率递推式转化为等差/等比数列求解通项 针对高频的一阶线性非齐次递推，用构造等比数列法求解： 1. 设构造式：（为待定常数）； 2. 展开对比：，与原递推式对比，得（）； 3. 求通项：是首项为、公比为的等比数列，故，整理得通项； 4. 特殊情况：若，则为等差数列，公差为，直接用等差通项求解。 步骤4：结合数列性质解决后续问题 1. 求概率最值：根据的通项（等差/等比），结合和概率范围，求最值； 1. 求概率极限：若，则（稳态概率）； 1. 求前项和：利用等差/等比数列求和公式计算； 1. 证明单调性/有界性：通过通项或递推式，结合作差法（）判断单调性，结合概率定义判断有界性（）。 例题分析 例1．（24-25高二下·福建福州·月考）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，， ，则， 于是得，即，而，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是. 故选：C 例2．（2026·山东威海·一模·多选）甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）：球在甲手里，； 若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A正确； 第次拋硬币后，球在甲手中的概率为（*）， 其中表示球在丙手中的概率，且由对称性知，则，故C正确； 因 ，则，代入（*）可得：， 同理，由对称性，则有. 又由可得，即数列为首项是，公比为的等比数列， 则，即，同理，故 ，故D正确； 因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立， 则，故其方差为，故B错误. 故选：ACD. 例3．（24-25高二下·广东·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 【答案】 【详解】设第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球给乙、丙的概率为：， 故，则， 即数列为等比数列，其首项为，公比为， 则，即. 故答案为：. 例4．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. (1)若，求的分布列和期望； (2)若，，1，2，3，，，求的最大值； (3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 【答案】(1)分布列详见解析， (2)5 (3)1，， 【详解】（1）当 时，中奖次数 服从二项分布 . ， ， 故分布列为：      0 1 2 3                     期望 . （2）由于 ，即 因为 对所有 ，1，2，3，，成立， 所以需满足， 即，解得：， 故； 又当时， 当时， ，易知当时，， 故，即， 所以在单调递减，又由， 可得，当时，恒成立. 故的最大值为5. （3）设 为 次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率。考虑第一次抽奖结果： 若第一次中奖（概率 ），则后 次未出现连续两次不中奖的概率为 ； 若第一次不中奖（概率 ），则第二次必须中奖（概率 ），后 次未出现连续两次不中奖的概率为 ， 得递推关系： 初始条件：，，计算得： 构造等比数列求通项： 设存在常数 使得 ，代入递推式，比较系数得： 解方程 ，得 ，， 取 ，，则有： 令 ，则 ，且 ， 所以：，即： 另取 ，，同理可得： 令 ，则 ，且 ， 所以：即： 得： 当 足够大时：由于 和 ，故 . 实际意义：当抽奖次数 非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于 0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况. 例5．（25-26高三上·广东惠州·月考）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. (2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有： ，共9个样本点. 所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为. 依题意，X可取0，1，2，3， ， ， ， . 0 1 2 3 . （2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为； ②第次由小明投掷，第次由小芳投掷， 其概率为. 因为①②两种情形是互斥的， ∴， ∴. 因为，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. ∴， ∴. 变式训练 变式1．（24-25高二下·山东烟台·月考）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 【答案】C 【详解】由题意可知，要使得次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中， 所以，，即， 因为，则，所以，， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 则，即， 对于A，，故A正确； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应于， 则不同的传球方式有：①，②， ③，④，⑤， ⑥，故共有6种情况，故D正确. 变式2．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末·多选）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 【答案】AC 【详解】对于A：由题意可得， 所以，A正确； 对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为， 因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误； 对于C：由得，所以是等比数列， 首项为，公比为， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值， 综上，的最大值为，C正确； 对于D：当为奇数时，，随的增大而增大； 当为偶数时，随增大而减小，D错误； 故选：AC. 变式3．（2025·黑龙江·模拟预测）从分别标有数字2024，2025，2026的三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，记下数字后放回，以此类推，抽取次后，记下的个数字之和为奇数的概率为______. 【答案】 【详解】从分别标有数字2024，2025，2026的三张卡片中随机抽取一张， 取到奇数的概率为，取得偶数的概率为， 设为抽取次后和为奇数的概率， 可得，整理得， 又由，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 故答案为：. 变式4．（2025·广东·模拟预测）五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件. (1)求第2号社区有2名男医生的概率； (2)当时，求与i的关系式； (3)记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）依题意第2号社区有2名男医生的概率 ； （2）当时, ， 由 , 故 ， 即有， 又，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以. （3）依题意的可能取值为，，， 易知10号社区有1名男医生的概率与有3名男医生的概率相同，即， 所以， ， 所以的分布列为： 所以. 变式5．（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. 实战演练 1．（24-25高二下·广西南宁·月考）某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码． (1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率； (2)记前n周中使用了乙密码的次数为Y，求． 【答案】(1)第3周和第4周使用甲密码的概率分别为和 (2) 【详解】（1）设第k周使用甲密码的概率为， 因为，， 所以，， 所以第3周和第4周使用甲密码的概率分别为和． （2）因为第k周使用甲密码的概率为，则 第周使用甲密码的概率为， 整理得， 因为，所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即． 设第k周使用甲密码的次数为，则服从分布， 所以 ． 所以前n周中使用甲密码次数的均值， 又因为乙、丙、丁地位相同，所以． 2．（24-25高二下·河北衡水·月考）某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的种疫苗后，再为居民们接种，记第位居民（不包含张医生）接种四种疫苗的概率分别为. (1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大； (2)张医生认为，一段时间后接种四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种四种的概率，解释张医生观点的合理性. 参考数据：. 【答案】(1)疫苗 (2)答案见解析 【详解】（1）第1位居民接种疫苗的概率分别为， 若第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种B，C，D疫苗，， 第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种C，D疫苗， 同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于， 故第2位居民接种疫苗的概率最大； （2）因为， 所以， 故数列是公比为的等比数列. 又，所以 即， 从而， 同理， ， 所以， 第10位居民接种疫苗概率应该相差无几. 第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理. 3．（24-25高二下·广东茂名·月考）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)1 【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： ;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. （3）由全概率公式可得： , 即：, 又, 所以, 所以, 又, 所以, 所以, 所以, 所以. 4．（24-25高二下·江苏盐城·月考）神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里程碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间内．现将成绩分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛. (1)求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）； (2)复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为，求． 【答案】(1)，复赛分数线为分 (2) 【详解】（1）依题意：，①， ，②， 由①②解得. 前三组的频率之和为，， 第组的频率为， 所以分位数为分， 即复赛分数线是分. （2）依题意，，，即， 所以， 所以数列是首项为为首项，公比为的等比数列， 所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $