7.4.2 二项式系数的性质及应用（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学中二项式系数的性质及应用核心知识点，在二项式定理基础上，通过杨辉三角引入，系统梳理二项式系数的对称性、增减性与最大值、各项系数和等性质，构建从观察归纳到应用解决展开式问题的学习支架。 该资料融合数学文化（杨辉三角历史背景），以观察分析（如锯齿形数列规律）培养逻辑推理，通过赋值法求系数和、待定系数法找最大项等例题强化数学运算，课中辅助教师引导学生探究，课后助力学生通过通性通法总结与跟踪训练查漏补缺，提升解决问题能力。

7.4.2　二项式系数的性质及应用 课标要求 1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系（逻辑推理）. 2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题（数学运算）. 　　我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a＋b）n的展开式的各项系数. 【问题】　观察上图，你能借助二项式系数的性质分析上图中的数吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二项式系数的性质 　一般地，（a＋b）n展开式的二项式系数，，…，有如下性质： （1）＝； （2）＋＝　　； （3）当r＜时，　＜　；当r＞时，　＜　； （4）＋＋…＋＝　2n　. 　　提醒：（1）在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都为2n－1. 1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　） 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A.8 B.6 C.4 D.2 解析：B　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6. 2.（1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝（　　） A.7 B.8 C.10 D.11 解析：C　（1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，每一项系数即二项式系数，分别为，，…，.二项展开式中只有一项的二项式系数最大，则n为偶数，二项式系数最大.则x5的系数最大，故＝5，n＝10. 3.（2x－1）6展开式中各项系数的和为1；各项的二项式系数和为64. 解析：令展开式中x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 题型一｜二项式系数表 【例1】　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值. 解：由题意及二项式系数表的特点可得 S16＝（1＋2）＋（3＋3）＋（6＋4）＋（10＋5）＋…＋（36＋9）＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＝（＋＋＋…＋）＋（2＋3＋…＋9）＝＋＝164. 通性通法 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 （1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； （2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律； （3）将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解. 【跟踪训练】 　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b＝（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 解析：C　根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22. 题型二｜二项展开式的系数和 【例2】　（链接教科书第88页习题13题）已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值. （1）a0＋a1＋a2＋…＋a5； （2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜； （3）a1＋a3＋a5. 解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. （2）令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由（2x－1）5的通项Tr＋1＝（－1）r×25－rx5－r知a1，a3，a5为负值， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. （3）由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5， 两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 【母题探究】 　（变设问）在本例条件下，求下列各式的值： （1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5； （2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解：（1）因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数， 所以a0＝25·（－1）0＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. （2）因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 通性通法 二项展开式的系数和的求法 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1）， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【跟踪训练】 　在（2x－3y）10的展开式中，求： （1）奇数项的系数和与偶数项的系数和； （2）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解：（1）设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10. 令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.　① 令x＝1，y＝－1（或x＝－1，y＝1），得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.　② ①＋②，得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510. 所以奇数项的系数和为. ①－②，得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510. 所以偶数项的系数和为. （2）x的奇次项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝. x的偶次项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝. 题型三｜二项式系数性质的应用 【例3】　已知（＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）展开式中系数最大的项. 解：（1）由（＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于37，即＋＋＝37，解得n＝8，即二项式为（＋2x）8， 所以展开式中第5项的二项式系数最大，T5＝（）4×24x4＝x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为. （2）设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则 解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项， 即T8＝（）1×27x7＝28x7，T9＝（）0×28x8＝28x8. 通性通法 1.二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论： （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，即和最大； （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即. 2.展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项. 【跟踪训练】 　在的展开式中： （1）求二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：（1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项. 故T5＝（－2）4x－6＝1 120x－6. （2）因为Tk＋1＝·（）8－k＝（－1）k··2k·. 设第k＋1项系数的绝对值最大， 则 即 整理得 于是k＝5或k＝6. 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 1.的展开式中二项式系数最大的项是（　　） A.第6项 B.第8项 C.第5，6项 D.第6，7项 解析：D　由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大. 2.已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（　　） A.5　　　　 B.10 C.20　　　　 D.40 解析：B　因为的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以的二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝（x2）5－k＝x10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，故二项展开式中x4的系数为＝10. 3.已知二项式（1－x）8，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； （2）展开式中系数最小的项. 解：（1）因为（1－x）8的展开式中共有9项，所以中间一项（第5项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为（－x）4＝70x4. （2）二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，T4＝（－x）3＝－56x3，T6＝（－x）5＝－56x5，所以展开式中系数最小的项是－56x3和－56x5. 1.在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是（　　） A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 解析：B　第6项的二项式系数为，又因为＝，所以第16项符合条件. 2.的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是（　　） A.－15 B.－20 C.15 D.20 解析：C　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以的展开式的通项为Tk＋1＝（x2）6－k·＝（－1）kx12－3k.令12－3k＝0得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4＝15.故选C. 3.（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式中各项系数之和为（　　） A.2n＋1 B.2n－1 C.2n＋1－1 D.2n＋1－2 解析：D　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.故选D. 4.若x10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，则a8的值为（　　） A.10 B.45 C.－9 D.－45 解析：B　x10＝[1＋（x－1）]10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，∴a8＝＝＝45. 5.〔多选〕关于（a－b）11的说法，正确的是（　　） A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 解析：AC　（a－b）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确. 6.〔多选〕已知（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则（　　） A.n＝7 B.所有项的系数和为0 C.偶数项的系数和为－64 D.展开式的中间项为－35x3和35x4 解析：ABC　由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，（x－1）7的展开式中共有8项，且奇数项系数为正，偶数项系数为负，各项的系数的绝对值与其二项式系数相等.取x＝1代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝x4·（－1）3＝－35x4，T5＝x3·（－1）4＝35x3，故A、B、C正确，D错误. 7.在（1＋2x）8的展开式中，第5项的二项式系数最大，该项的系数是1 120. 解析：因为n＝8，展开式有9项，中间项即第5项的二项式系数最大；又T5＝（2x）4＝1 120x4，故第5项系数是1 120. 8.已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为10. 解析：∵展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴展开式的通项Tr＋1＝25－rx15－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为＝10. 9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. 10.设（2x－1）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，求｜a1｜＋2｜a2｜＋3｜a3｜＋4｜a4｜＋5｜a5｜＋6｜a6｜＋7｜a7｜的值. 解：对（2x－1）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7的两边同时求导， 得14（2x－1）6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6， 其中（2x－1）6展开式的通项为＝（2x·（－1）r＝··（－1）r·， 所以当r为奇数时系数为负数，r为偶数时系数为正数， 即a1＞0，a3＞0，a5＞0，a7＞0，a2＜0，a4＜0，a6＜0， 令x＝－1，则a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14×（－2－1）6＝10 206， 所以｜a1｜＋2｜a2｜＋3｜a3｜＋4｜a4｜＋5｜a5｜＋6｜a6｜＋7｜a7｜＝10 206. 11.〔多选〕已知（ax2＋）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是（　　） A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 解析：BCD　因为（ax2＋）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以＝，解得n＝10.因为展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，又a＞0，所以a＝1.则原式为（x2＋）10，其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝×（x2）10－k×（）k＝.展开式中奇数项的二项式系数之和为×1 024＝512，故A错误；因为展开式中二项式系数与对应项的系数一样，且展开式有11项，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；令20－k＝0，解得k＝8，又0＜8＜10，所以展开式中存在常数项，故C正确；令20－k＝15，解得k＝2，又＝45，故D正确. 12.设n为正整数，（a＋b）2n的展开式中二项式系数的最大值为x，（a＋b）2n＋1的展开式中二项式系数的最大值为y，若13x＝7y，则n＝6. 解析：由题意知x＝，y＝，因为13x＝7y，所以13＝7，即13×＝7×，即13＝7×，故13×（n＋1）＝7×（2n＋1），解得n＝6. 13.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第34行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以∶＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 14.设（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： （1）a1＋a2＋a3＋a4； （2）（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2； （3）｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜. 解：（1）由（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 令x＝0，得（0－3）4＝a0， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝1－81＝－80. （2）在（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.　① 令x＝－1，得（－2－3）4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.　② 所以（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2 ＝（a0－a1＋a2－a3＋a4）（a0＋a1＋a2＋a3＋a4） ＝（－2－3）4（2－3）4＝（2＋3）4（2－3）4＝625. （3）由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 由（2）中①＋②得2（a0＋a2＋a4）＝626， 由（2）中①－②得2（a1＋a3）＝－624， 所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜ ＝－a1＋a2－a3＋a4 ＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3）－a0 ＝313＋312－81＝544. 15.已知（ax－）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值； （2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 解：（1）由题意得，＋＋＝16， 即1＋n＋＝16. 解得n＝5或n＝－6（舍去）， 所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以（a－1）5＝1，解得a＝2. （2）不存在.理由如下： 因为（ax－）n＝（2x－）5， 所以Tk＋1＝（2x）5－k（－）k＝（－1）k25－k（k∈N*）. 令5－＝0，解得k＝∉N*，所以展开式中不存在常数项. （3）由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2·25－2x5－3＝80x2，T4＝（－1）3·25－3＝－40. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $