7.4.2 第2课时 二项式定理的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

7.4.2 第2课时 二项式定理的综合应用 [课时跟踪检测] 1.(x2+2)展开式中的常数项是 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:选D　展开式的通项为Tk+1=(-1)k=(-1)k.令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.故(x2+2)展开式中的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3. 2.(1-x)4(1-)3展开式中x2的系数是 (　　) A.-6 B.-3 C.0 D.3 解析:选A　(1-x)4展开式的通项为Tk+1=(-1)kxk,(1-)3展开式的通项为Tr+1=(-1)r,当k=0时,=2,即r=4>3,不符合题意;当k=1时,=1,即r=2,此时x2的系数为(-1)(-1)2=-12;当k=2时,=0,即r=0,此时x2的系数为(-1)2·1=6,所以x2的系数是-12+6=-6. 3.今天是星期三,经过7天后还是星期三,那么经过天后是 (　　) A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 解析:选C　因为82 025=(1+7)2 025=+×7+×72+…+×72 025,所以82 025被7除的余数为1,故经过82 025天后是星期四,故选C. 4.[多选](1+x2)(2+x)4的展开式中 (　　) A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 解析:选AC　(1+x2)(2+x)4=(2+x)4+x2(2+x)4,展开式中x3的系数分为两部分,一部分是(2+x)4中x3的系数·2=8,另一部分是(2+x)4中x的系数·23=32,所以x3的系数是8+32=40;展开式中常数项只有(2+x)4展开式中的常数项,为24=16. 5.若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a= (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选D　展开式的通项是Tk+1=x10-k=x10-2k,的展开式中含x4,x6项的系数分别为,.因为(x2-a)的展开式中含x6的项由x2与展开式中含x4的项的乘积以及-a与展开式中含x6的项的乘积两部分构成,得-a=120-45a=30,解得a=2. 6.定义:两个正整数a,b,若它们除以正整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a≡b(mod m),比如:35≡25(mod 10).已知n=-10+102-103+…+1010,满足n≡p(mod 7),则p可以是 (　　) A.44 B.32 C.35 D.29 解析:选A　n=-10+102-103+…+1010=(1-10)10=910,910=(7+2)10=710+79×2+×78×22+…+×7×29+×210,所以n除以7的余数是210=1 024,1 024除以7的余数是2,选项中44除以7的余数是2,32除以7的余数是4,35除以7的余数是0,29除以7的余数是1. 7.[多选](a-x)(1+x)6的展开式中,x的奇数次幂项的系数之和为64,则下列结论正确的是 (　　) A.a=3 B.展开式中常数项为3 C.展开式中x4的系数为30 D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64 解析:选ABD　设(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1),① 令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0,② ①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1), 因为展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64, 即a1+a3+a5+a7=64, 所以2×64=64(a-1),解得a=3, 即(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 令x=0,得a0=3,即展开式中常数项为3. ①+②,得2(a0+a2+a4+a6)=64×2, 所以a0+a2+a4+a6=64, 即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64. (3-x)(1+x)6的展开式中x4的系数为3×-1×=25.故选ABD. 8.记M=“720的不同正因数的个数”,N=“(1+x-y)5的展开式中x2y2项的系数”,则 (　　) A.2M-N=0 B.M-N=0 C.M-N>0 D.M+N<0 解析:选B　因为720=24×32×5,所以720的正因数有5×3×2=30个,即M=30,又(1+x-y)5展开式的项可以看作从5个盒子中各取出一个元素相乘,每个盒子中均有1,x,-y,要得到x2y2,需从2个盒子中取出x,2个盒子中取出-y,1个盒子中取出1,所以N==30,所以M=N,即M-N=0. 9.(5分)在(2x-1)6的展开式中,x3的系数是　　.(用数字作答)  解析:由题意得,(2x-1)6的展开式中含x3的项为x(2x)2(-1)4+(2x)4(-1)2=-180x3,所以展开式中x3的系数为-180. 答案:-180 10.(5分)在(ax-y+z)7的展开式中,记xmynzk项的系数为f(m,n,k),若f(3,2,2)=,则a的值为　　　　.  解析:因为在(ax-y+z)7的展开式中,记xmynzk项的系数为f(m,n,k),所以xmynzk项的系数f(m,n,k)=am(-1)n,即f(m,n,k)=(-1)nam,由f(3,2,2)=,可得(-1)2a3=,即35×6a3=,所以a=. 答案: 11.(5分)的展开式中的常数项为　　　.  解析:因为==(x+1)5+(x+1)4·+(x+1)3+(x+1)2+(x+1)1+,所以展开式中的常数项为··15+··13+··11=51. 答案:51 12.(5分)已知(2-)n(n∈N*,n<10)的展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列,则(x2-x+y)n的展开式中x5y2的系数为　　　　.  解析:由题意得+=2,即n2-21n+98=0,因为n∈N*,n<10,所以n=7,所以(x2-x+y)n=(x2-x+y)7.(x2-x+y)7的展开式中含x5y2的项为(x2-x)5y2,因为(x2-x)5的展开式中x5的系数为-,所以(x2-x+y)7的展开式中x5y2的系数为×(-)=-21. 答案:-21 13.(10分)证明:5151-1能被7整除. 证明:5151-1=(49+2)51-1=×4951+×4950×2+…+×49×250+×251-1,易知除×251-1以外各项都能被7整除. 又×251-1=(23)17-1=(7+1)17-1=×717+×716+…+×7+-1=7×(×716+×715+…+),显然上式能被7整除,所以5151-1能被7整除. 14.(10分)已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,n∈N*,且2≤n≤7,求n的值. 解:由题意知的展开式中没有常数项,没有含x-1的项,没有含x-2的项,∵的展开式的通项为Tr+1=xn-r=xn-4r(0≤r≤n,r∈N,n∈N*,且2≤n≤7), ∴n-4r不能取0,-1,-2.若n=4,则n-4r可以为0, 若n=3或n=7,则n-4r可以为-1,若n=2或n=6,则n-4r可以为-2, 只有当n=5时,n-4r不能取0,-1,-2,故n=5. 15.(10分)求(1+x+x2)8展开式中x5的系数. 解:法一　因为(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8,所以Tr+1=(x+x2)r,0≤r≤8,r∈N, 则x5的系数由(x+x2)r来决定,Tk+1=xr-kx2k=xr+k,0≤k≤r,k∈N, 令r+k=5,解得或或所以展开式中x5的系数为++=504. 法二　因为(1+x+x2)8=[(1+x)+x2]8=(1+x)8+(1+x)7x2+(1+x)6(x2)2+(1+x)5(x2)3+…+(1+x)(x2)7+(x2)8,所以展开式中x5的系数为++=504. 法三　(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)·…·(1+x+x2)(共8个),这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个: ①有2个括号各出1个x2,其余6个括号恰有1个括号出1个x,共有种; ②有1个括号出1个x2,其余7个括号中恰有3个括号各出1个x,共有种; ③没有1个括号出x2,恰有5个括号各出1个x,共有种.所以x5的系数是++=504. 学科网（北京）股份有限公司 $