7.3 第1课时 组合与组合数公式（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“组合与组合数公式”核心知识点，通过对比排列与组合的区别引入组合定义，利用计数原理推导组合数的乘积式与阶乘式，构建从概念理解到公式应用再到解决实际问题的学习支架。 以团代会选代表实例引导学生用数学眼光观察现实问题，通过推导组合数公式培养逻辑推理能力，设置概念辨析、公式计算、实际问题等题型强化数学运算。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第1课时　组合与组合数公式 7.3　组合 课标要求 1.通过实例，了解组合及组合数的概念（数学抽象）. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值（逻辑推理、数学运算）. 3.会用组合知识解决一些简单的组合问题（数学运算、数学建模）. 第1课时　组合与组合数公式 　　在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上台发言. 【问题】　（1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？ （2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？ （3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　组合的定义 　一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素　并成一组　，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 　　提醒：排列与组合的区别是排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关. 知识点二　组合数与组合数公式 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的　所有组合　的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号表示 　　 组合 数公 式 乘积式 ＝　　＝　　 阶乘式 ＝　　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，2，3与3，2，1是同一个组合.（　√　） （2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（　√　） （3）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军是组合问题.（　×　） 2.计算＝28，＝35. 解析：＝＝28，＝＝35. 3.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为15. 解析：由题意得，不同选法的种数为＝15. 题型一｜组合的有关概念 【例1】　（链接教科书第75页练习1题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ （2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ （3）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ （4）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ （5）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解：（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. （3）选出的2个数作分子或分母，结果是不同的，是排列问题. （4）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （5）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 通性通法 判断一个问题是否是组合问题的流程 【跟踪训练】 　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合. 解：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示. 由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种. 题型二｜组合数及组合数公式 角度1　利用组合数化简、求值 【例2】　（链接教科书第74页例2）计算：（1）－·； （2）＋. 解：（1）原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0. （2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*， ∴n＝10， ∴＋＝＋＝466. 角度2　利用组合数证明 【例3】　证明：＝. 证明：＝·＝＝. 通性通法 关于组合数公式的选取技巧 　　公式＝常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；公式＝常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒等式. 【跟踪训练】 1.求值：3－2＝148. 解析：3－2＝3×－2×＝148. 2.解方程：11＝24. 解：原方程可化为 11·＝24·， 即11x2－105x－50＝0， 解得x＝10或x＝－. 又x≥3且x∈N*，所以x＝10. 题型三｜简单的组合问题 【例4】　在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； （2）甲、乙、丙三人必须参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 解：（1）从中任取5人是组合问题，共有＝792（种）不同的选法. （2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有＝36（种）不同的选法. （3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有＝126（种）不同的选法. （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有＝3（种）选法；再从另外9人中选4人，有种选法.共有×＝378（种）不同的选法. 通性通法 解简单的组合问题的策略 （1）解简单的组合问题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； （2）要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 提醒　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 【跟踪训练】 某校组织文艺汇演，有8个不同的节目，其中3个舞蹈节目，5个歌唱节目.要从中选取4个节目参加年级汇演，且舞蹈节目至少有1个，有多少种不同的选法？ 解：可分三类情况. 第一类，选1个舞蹈节目和3个歌唱节目，选法有×＝3×10＝30种； 第二类，选2个舞蹈节目和2个歌唱节目，选法有×＝3×10＝30种； 第三类，选3个舞蹈节目和1个歌唱节目，选法有×＝1×5＝5种. 由分类计数原理，共有30＋30＋5＝65种不同选法. 1.下列问题中属于组合问题的是（　　） A.从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译 B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D.10个人相互写一封信，共写了几封信 解析：C　A、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题. 2.＋＝（　　） A.9 B.18 C.28 D.36 解析：B　＋＝＋＝3＋15＝18. 3.6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数是（　　） A. B. C.62 D.26 解析：B　每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就是一次握手，故一共握手的次数是. 4.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为210（用数字作答）. 解析：先给甲组选4人，有种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为＝210. 1.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为（　　） A.4 B.8 C.28 D.64 解析：C　由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建＝28（条）公路. 2.已知＝15，那么＝（　　） A.20 B.30 C.42 D.72 解析：B　法一　由＝＝15，得n2－n－30＝0，即（n－6）（n＋5）＝0，解得n＝6或n＝－5（舍去），故＝＝30. 法二　由＝知，＝·，故＝·＝15×2＝30. 3.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为（　　） A.3　　　 B.4 C.12　　　 D.24 解析：B　由于与顺序无关，所以是组合问题，故共有＝4个三角形.故选B. 4.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（　　） A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 解析：C　先安排1名学生去甲场馆，有种方法；再从剩余的5名学生中安排2名学生去乙场馆，有种方法；最后剩下的3名学生去丙场馆，有种方法，故不同的安排方法共有＝60（种）. 5.〔多选〕给出下列几个问题，其中是组合问题的是（　　） A.求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数 B.求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数 C.3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数 D.求由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 解析：AB　对于A、B，选出元素就完成了这件事，是组合问题；对于C、D，选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选A、B. 6.〔多选〕下列选项正确的是（　　） A.＝ B.＝m C.÷＝ D.＝ 解析：ACD　A显然成立；对于B选项，＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），＝（n－1）（n－2）…（n－m＋1），所以＝n，故B不成立；对于C选项，÷＝＝＝，故C成立；对于D选项，＝＝＝，故D成立. 7.÷＝. 解析：÷＝÷＝. 8.计算：＋＝7. 解析：∵∴≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，∴＋＝＋＝1＋6＝7. 9.男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女生有2或3人. 解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴×＝30，∴x（x－1）（8－x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝3×4×5.∴x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人. 10.现有5名男司机、4名女司机，需选派5人运货到某市. （1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ （2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 解：（1）从5名男司机中选派3名，有种方法， 从4名女司机中选派2名，有种方法. 根据分步计数原理得，所选派的方法种数为＝60. （2）从9人中任选5人运货有种方法. 其中1名男司机、4名女司机有＝5（种）选法. 所以至少有两名男司机的选派方法有－5＝121（种）. 11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线段在圆内的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（　　） A.36个 B.72个 C.63个 D.126个 解析：D　此题可划归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点有＝126（个）. 12.〔多选〕有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区参与救援，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是（　　） A.－ B.＋＋＋ C.－－ D. 解析：BC　13名医生，其中女医生6人，男医生7人.（1）直接法：2男3女；3男2女；4男1女；5男，所以N＝＋＋＋.（2）间接法：13名医生，任取5人，减去4，5名女医生的情况，即N＝－－.故选B、C. 13.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有126条（用数字作答）. 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有×＝126（种）走法，故从A地到B地的最短路线共有126条. 14.（1）求＋的值； （2）已知－＝，求的值. 解：（1）由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9， 当r＝7时，原式＝＋＝46； 当r＝8时，原式＝＋＝20； 当r＝9时，原式＝＋＝46. （2）根据组合数公式可将原方程化为 －＝， 即60－10（6－m）＝（7－m）（6－m）， 整理得m2－23m＋42＝0， 解得m＝2或m＝21. 又0≤m≤5，m∈N*，所以m＝2. 故＝＝＝28. 15.10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级. （1）他6步就可上完台阶的方法数是多少？ （2）他上完台阶的方法总数是多少？ 解：（1）设跨1级、2级、3级的步数分别为x，y，z， 所以解得或或 所以方法总数为＋＋＝15＋60＋15＝90. （2）由x＋2y＋3z＝10且x，y，z∈N， 所以（x，y，z）的可能组合有（0，2，2），（0，5，0），（1，0，3），（1，3，1），（2，1，2），（2，4，0），（3，2，1），（4，3，0），（4，0，2），（5，1，1），（6，2，0），（7，0，1），（8，1，0），（10，0，0）. 对应的情况数为，，，，，，，，，，，，，， 所以共有6＋1＋4＋20＋30＋15＋60＋35＋15＋42＋28＋8＋9＋1＝274种. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $