第07讲 二项式定理（知识清单+10题型讲解举一反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第07讲 二项式定理 知识清单 知识点01：二次项展开式与通项 知识点02：二项式系数与项的系数 知识点03：赋值法在求各项系数和中的应用 知识点04：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 题型讲解 （举一反三） 题型1：求二项展开式 题型2：二项展开式的应用 题型3：求二项展开式的第k项 题型4：求指定项的二项式系数 题型5：二项式系数的增减性和最值 题型6：二项展开式各项的系数和 题型7：奇次项与偶次项的系数和 题型8：三项展开式的系数问题 题型9：由二项展开式各项系数和求参数 题型10：二项式系数的性质及应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01二次项展开式与通项 二项 展开式 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 二项式 的通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤 知识点02二项式系数与项的系数 二项式 系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 项的 系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 知识点03赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　 知识点04求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型1：求二项展开式 【例1-1】展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【答案】B 【分析】，再利用二项展开式定理展开即可求解． 【详解】因为 所以 则 共有12项， 故选：B． 【变式1-1】(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 【答案】B 【分析】利用二项式定理的知识即可求解. 【详解】因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10. 故选:B. 【变式1-2】（25-26高二·江苏·假期作业）求多项式的展开式． 【答案】 【分析】先将多项式等价转化成二项式，再利用二项式定理可得展开式. 【详解】， ． 【变式1-3】求的展开式； 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【详解】方法一： ． 方法二： ． 题型2：二项展开式的应用 【例2-1】（24-25高二下·江苏镇江·期中）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】A 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理得 . 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·江苏·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果. 【详解】二项式展开式的通项为． 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项． 故选：B． 【变式2-2】 ． 【答案】 【分析】构造项后即可轻易看出该式符合二项式定理的展开式，利用二项式定理化简后即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二下·江苏南京·期中）我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据组合数定义进行计算，并比较即可得出结论； （2）根据从特殊到一般的思想可得，再结合二项式定理即可得证； （2），比较等式左右两侧的系数即可得证. 【详解】（1），， 从而，； （2），证明如下： ，等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即； （3），等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为 ， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证. 题型3：求二项展开式的第k项 【例3-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，可得答案. 【详解】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 【变式3-1】已知，的展开式中含x的项的系数为12，则的展开式中含的项的系数的最小值是（    ） A．18 B．25 C．27 D．30 【答案】C 【分析】由条件可得，然后写出含的项的系数，然后消元，利用二次函数的知识可得最值. 【详解】因为的展开式中含x的项的系数为12， 所以， 所以的展开式中含的项的系数为 ， 因为对应的二次函数的对称轴为， 所以当时取得最小值， 故选：C 【变式3-2】式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项，即可得出答案. 【详解】由，所以二项展开式的通项公式，，， 令，可得展开式的第六项为. 故答案为：. 【变式3-3】已知． (1)展开式中的中间一项； (2)展开式中常数项的值． 【答案】(1) (2)375 【分析】（1）先求出展开式的通项，再求其第4项即可. （2）令展开式的通项中系数为零，解出，再代入通项求解即可. 【详解】（1）展开式的通项为，， 展开式一共7项，中间一项为第4项，， . （2）令，解得. ，故展开式中常数项的值. 题型4：求指定项的二项式系数 【例4-1】（24-25高二下·江苏镇江·月考）的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式式系数为. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件得出，结合，可求得的值. 【详解】因为展开式中第、、项的二项式系数依次成等差数列，即， 即，整理得，即， 又因为，，故的值为. 故选：D. 【变式4-2】在展开式中，含项的系数是（    ） A．120 B．56 C．84 D．35 【答案】A 【分析】依题意可得含项的系数是，再由组合数的性质计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 所以的展开式中， 含项的系数是 ， 故选：A. 【变式4-3】展开式中含项的系数是 . 【答案】240 【分析】先对二项式因式分解，分别写出展开式的通项，令的指数为 1 ，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为 ， 的展开式通项为 ， 的展开式通项为 ，其中 ， 所以 的展开式通项为 ， 由 ，可得 或 ， 因此，展开式中含 x 项的系数为 . 故答案为： 题型5：二项式系数的增减性和最值 【例5-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 【变式5-1】若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】B 【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解． 【详解】由题意，二项式的展开式的系数与二项式系数相同，即，解得， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项． 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为 . 【答案】2 【分析】利用二项式定理求出展开式中x的系数，再结合二项式系数的性质求解. 【详解】的展开式中含x的项为， 依题意，，所以. 故答案为：2 【变式5-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知的展开式中共有11项． (1)求展开式中含的项的系数；结果用数字作答 (2)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)960； (2) 【分析】（1）结合二项式定理通项计算，即可求解； （2）结合（1）的通项公式以及二项式系数的增减性，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，解得， 展开式的通项为， 令，解得， 故展开式中含的项的系数为； （2）由可得二项式系数最大的项为第六项， 即. 题型6：二项展开式各项的系数和 【例6-1】（24-25高二下·江苏·月考）已知，则的值为（    ） A．64 B． C．63 D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，令得到，再令得到，即可求值. 【详解】令，， 再令，， 所以. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，则（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据赋值法令计算求出系数和. 【详解】因为，令，得出， 令，得出， 则. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·江苏连云港·期末）若，则的值为 ． 【答案】11 【分析】利用赋值法及二项展开式通项求解可得结果. 【详解】令，可得， 令，可得. 由可得，，， 所以. 故答案为：11. 【变式6-3】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知（）的展开式中各项的二项式系数之和为512. (1)求n的值及展开式中各项的系数之和； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1)，展开式中各项的系数之和为 (2) 【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，利用赋值法可求出展开式中各项的系数之和； （2）利用通项公式可求出结果. 【详解】（1）由已知可得， 在的展开式中，令，得展开式中各项的系数之和为. （2）的展开式的通项为， 令，可得，所以， 即展开式中的常数项为. 题型7：奇次项与偶次项的系数和 【例7-1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】令得，则，利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，则， 则有， 所以，， 所以令有 ， 所以， 故选：B. 【变式7-1】已知，则等于（    ） A．1 B．121 C． D．243 【答案】D 【分析】赋值可得，再由系数正负及整体关系可得. 【详解】， ， 令，得， ． 故选：D． 【变式7-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）对任意实数，有，则 ．（参考数据:） 【答案】 【分析】利用赋值法，分别令，可求解结果. 【详解】令，则①， 令，则②， ①＋②得：. 解得. 令，则， 解得. 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高二下·江苏连云港·月考）设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 【答案】(1)-1 (2) (3) 【分析】（1）令可求的值； （2）可得，再结合（1）可求的值； （3）由，结合（1）（2）可得答案. 【详解】（1）令，则①； （2），则 ，则②； 得，③ （3）得，④ ④-③化简 题型8：三项展开式的系数问题 【例8-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【分析】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【详解】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D 【变式8-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．90 B．60 C．30 D．20 【答案】A 【分析】根据这一项的生成过程，即可求解. 【详解】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出， 即，所以的系数为. 故选：A 【变式8-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】确定展开式中对应的各项指数组合，即可列出该项得解. 【详解】展开式中含项的为，则其系数为. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中），则 【答案】 【分析】结合组合数的运算，即可得到结果. 【详解】展开式中，每个括号可选， 要得到项，需要满足四个括号中选的项的的指数和为， 可选一次，三次，则项为， 所以. 故答案为： 题型9：由二项展开式各项系数和求参数 【例9-1】已知，若，则（    ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 【答案】D 【分析】借助赋值法令可计算出，再借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】令，则有， 即，故， 即有， 对，有， 令，则有， 即. 故选：D. 【变式9-1】的展开式的各项系数和为0，则该展开式中含x9项的系数是（　　） A．-15 B．-75 C．15 D．75 【答案】A 【分析】的展开式的各项系数和为0，令得到，再由，然后利用通项公式求解. 【详解】解：因为的展开式的各项系数和为0， 令得，解得， 则， 所以展开式中含x9项为， 所以该展开式中含x9项的系数是-15， 故选：A 【变式9-1】若，则 ． 【答案】 【分析】求出，利用赋值法，令即可求得答案. 【详解】由可得， 令，则， 故， 故答案为： 【变式9-3】已知，若，且，则实数 ． 【答案】 【分析】令，利用赋值法可得出，结合可求得的值. 【详解】令，则， ， 由已知可得， ，解得. 故答案为：. 题型10：二项式系数的性质及应用 【例10-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（   ） A．0 B．3 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求出的值，再根据系数和求出的值，最后计算除以的余数. 【详解】由二项式系数和，得 代入，得，解得： 计算除以： 先把写成，则 根据二项式定理得： 除了这项外，其余项都含有因数能被整除 所以除以余数和除以余数相同 除以商余， 所以除以余数是 故选：C. 【变式10-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，且，若能被整除，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出的展开式，即可得到能被整除，从而得解. 【详解】因为 ， 因为能被整除，又，即能被整除， 即能被整除， 所以能被整除，又且，所以. 故选：C 【变式10-2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）被8整除的余数为 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于， 由于均能被8整除，所以除以8的余数为7， 故答案为：7 【变式10-3】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 【答案】(1)25 (2)30 (3)2.033 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解. 【详解】（1）根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25. （2）当， 时， 项的系数为 （3）展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则为（    ） A． B．1 C．32 D．243 【答案】B 【分析】利用赋值法令计算可得. 【详解】因为， 令可得. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏南通·月考）的展开式中的系数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式求出展开式中含的项，即可求解. 【详解】多项式的展开式中含的项为， 所以的系数是4. 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．一 B．二 C．三 D．日 【答案】A 【分析】根据二项式定理可得除以的余数，进而得到结论. 【详解】 ， ，能被整除， 又，再过天后是星期一. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏南京·月考）等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题利用二项式系数和公式分别求出分子、分母的值即可得出答案. 【详解】根据二项式系数和分子的值为，分母的值为代入原式得 故选：A. 5．（24-25高二下·江苏镇江·期中）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出展开式通项，对比所求项的指数，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得， 因此，展开式中的系数为. 故选：D. 6．（24-25高二下·江苏徐州·期中）（且）展开式中的系数为（    ） A．45 B．55 C．120 D．165 【答案】D 【分析】根据二项展开式的公式可知系数为，结合组合数性质计算即可. 【详解】的通项为，则系数为， 因为，则 . 故选：D. 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【答案】D 【分析】利用赋值法即可判断ABC；根据二项式展开式的通项即可求解D. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故D确． 故选：D 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）设，则的值为（    ） A．128 B．-128 C． D． 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，确定各项的正负，再利用赋值法求解. 【详解】依题意，的通项公式为， 则都为负数，都为正数， 因此 ，取，得， 所以. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏无锡·期中）的展开式中，下列结论正确的是（   ） A．展开式共5项 B．含项的系数为40 C．无常数项 D．所有项的系数之和为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对A：因为的展开式中有6项，故A错误； 对C：因为， 由无整数解，故展开式无对常数项，故C正确； B：展开式中，的系数为：，故B正确； 对D：令，得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD 10．（24-25高二下·江苏南京·月考）对于的二项展开式，以下判断中正确的有（    ） A．展开式中有常数项 B．展开式中没有常数项 C．展开式中没有的三次项 D．展开式中有的三次项 【答案】BD 【分析】写出展开式的通项，令的指数为、，求出的值，即可得出结论. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，故展开式中没有常数项，A错B对； 令，解得，故展开式中有的三次项，C错D对. 故选：BD. 11．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知的展开式中常数项为32，则（    ） A． B．二项式系数和为64 C．含的项的系数为80 D．所有项的系数和为243 【答案】AD 【分析】先写出二项展开式的通项，令即可得到常数项，从而求出的值，判断A选项；B选项利用二项式系数公式进行求解；C选项令可求解；D选项采用赋值法可得解. 【详解】设的展开式的通项为， 对于A选项，因为展开式中常数项为32，所以令得，， 解得，故A正确； 对于B选项，二项式系数和为，故B错误； 对于C选项，令，则， 所以含的项的系数为40，故C错误； 对于D选项，令，则所有项的系数和为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏镇江·月考）的展开式中所有项的系数和为 ． 【答案】16 【分析】令，计算即可求解. 【详解】令得， 所以的展开式中所有项的系数和为. 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】函数求导得，求含的项即可求出的常数项，求的常数项和含的项即可求出的常数项，通过求和即可求得的展开式中的常数项. 【详解】由得， 因为的通项公式， 令，， 所以的常数项为. 因为的通项公式, 令，， 令，, 所以的常数项为. 的展开式中的常数项为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为 ． 【答案】511 【分析】利用赋值法，分别令，作差即可得解. 【详解】设， 令，则， 令，则， 两式相减可得，， 解得. 故答案为：511 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 【答案】(1)256． (2)． 【分析】（1）利用赋值法，令即可得解； （2）利用二项展开式通项公式求解. 【详解】（1）当时， 因为，令时， 则的二项展开式中各项系数的和为． （2）因为的二项展开式的第项， ， 因为的二项展开式中常数项为24， 所以，即， 又因为，所以，即． 16．（24-25高二下·江苏南京·期中）在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 【答案】(1)， (2)，84 【分析】（1）根据后三项的二项式系数的和求出，再根据二项式系数最大结合通项公式求解即可； （2）根据通项公式结合常数项得出及的范围计算求解. 【详解】（1）由， 得，显然. 二项式系数中最大的项是第5项与第6项， 其中； （2）依题意，展开式中有常数项，则且， 则，常数项为 17．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是． (1)求的值，并判断是否有常数项； (2)展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】(1)，没有常数项 (2)第项 【分析】（1）利用二项式系数比可得出关于的方程，可求出的值，然后写出二项展开式，令的指数为零，求出参数值，即可得出结论； （2）设展开式中系数的最大的项为，可得出，求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得，即，解得. 展开式通项为， 由可得，故展开式中没有常数项. （2）设展开式中系数的最大的项为， 由解得，因为，故， 因此展开式中第项的系数最大. 18．（24-25高二下·江苏镇江·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7∶6． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式求出第项与第项的系数，再根据它们的比值求出的值； （2）根据的值确定二项式系数最大的项的位置，再利用通项公式求出该项； （3）通过对已知等式求导，然后代入特定值来计算所求式子的值. 【详解】（1）在的展开式中， 因为第5项与第3项的系数之比为7∶6，所以， 即，解之得或（舍），所以. （2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为. （3）由得，， 两边对x求导，得， 令得：， 所以. 19．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 【答案】(1) (2) (3)，或 【分析】（1）依题意，再代入计算可得； （2）由，写出展开式，即可分析要能被整除，再分为偶数、奇数讨论，分别确定的最小值； （3）写出展开式的通项，即可得到，根据组合数公式整理得到，则为完全平方数，即可确定的值，同时取出相应的. 【详解】（1）因为 ，， 当时，所以； （2）因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为； （3）因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二项式定理 知识清单 知识点01：二次项展开式与通项 知识点02：二项式系数与项的系数 知识点03：赋值法在求各项系数和中的应用 知识点04：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 题型讲解 （举一反三） 题型1：求二项展开式 题型2：二项展开式的应用 题型3：求二项展开式的第k项 题型4：求指定项的二项式系数 题型5：二项式系数的增减性和最值 题型6：二项展开式各项的系数和 题型7：奇次项与偶次项的系数和 题型8：三项展开式的系数问题 题型9：由二项展开式各项系数和求参数 题型10：二项式系数的性质及应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01二次项展开式与通项 二项 展开式 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 二项式 的通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤 知识点02二项式系数与项的系数 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 知识点03赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　 知识点04求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型1：求二项展开式 【例1-1】展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【变式1-1】(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 【变式1-2】（25-26高二·江苏·假期作业）求多项式的展开式． 【变式1-3】求的展开式； 题型2：二项展开式的应用 【例2-1】（24-25高二下·江苏镇江·期中）的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【变式2-1】（24-25高二上·江苏·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】 ． 【变式2-3】（24-25高二下·江苏南京·期中）我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究. (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 题型3：求二项展开式的第k项 【例3-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【变式3-1】已知，的展开式中含x的项的系数为12，则的展开式中含的项的系数的最小值是（    ） A．18 B．25 C．27 D．30 【变式3-2】式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【变式3-3】已知． (1)展开式中的中间一项； (2)展开式中常数项的值． 题型4：求指定项的二项式系数 【例4-1】（24-25高二下·江苏镇江·月考）的展开式的第二项的二项式式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在展开式中，含项的系数是（    ） A．120 B．56 C．84 D．35 【变式4-3】展开式中含项的系数是 . 题型5：二项式系数的增减性和最值 【例5-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【变式5-1】若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【变式5-2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为 . 【变式5-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知的展开式中共有11项． (1)求展开式中含的项的系数；结果用数字作答 (2)求二项式系数最大的项． 题型6：二项展开式各项的系数和 【例6-1】（24-25高二下·江苏·月考）已知，则的值为（    ） A．64 B． C．63 D． 【变式6-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，则（    ） A．2 B． C． D．0 【变式6-2】（24-25高二下·江苏连云港·期末）若，则的值为 ． 【变式6-3】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知（）的展开式中各项的二项式系数之和为512. (1)求n的值及展开式中各项的系数之和； (2)求展开式中的常数项. 题型7：奇次项与偶次项的系数和 【例7-1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知，则（ ） A． B． C． D．0 【变式7-1】已知，则等于（    ） A．1 B．121 C． D．243 【变式7-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）对任意实数，有，则 ．（参考数据:） 【变式7-3】（24-25高二下·江苏连云港·月考）设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 题型8：三项展开式的系数问题 【例8-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【变式8-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．90 B．60 C．30 D．20 【变式8-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）展开式中含项的系数为 ． 【变式8-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中），则 题型9：由二项展开式各项系数和求参数 【例9-1】已知，若，则（    ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 【变式9-1】的展开式的各项系数和为0，则该展开式中含x9项的系数是（　　） A．-15 B．-75 C．15 D．75 【变式9-1】若，则 ． 【变式9-3】已知，若，且，则实数 ． 题型10：二项式系数的性质及应用 【例10-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（   ） A．0 B．3 C．10 D．11 【变式10-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，且，若能被整除，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）被8整除的余数为 . 【变式10-3】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则为（    ） A． B．1 C．32 D．243 2．（24-25高二下·江苏南通·月考）的展开式中的系数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．一 B．二 C．三 D．日 4．（24-25高二下·江苏南京·月考）等于（    ） A． B．1 C．2 D． 5．（24-25高二下·江苏镇江·期中）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏徐州·期中）（且）展开式中的系数为（    ） A．45 B．55 C．120 D．165 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）设，则的值为（    ） A．128 B．-128 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏无锡·期中）的展开式中，下列结论正确的是（   ） A．展开式共5项 B．含项的系数为40 C．无常数项 D．所有项的系数之和为 10．（24-25高二下·江苏南京·月考）对于的二项展开式，以下判断中正确的有（    ） A．展开式中有常数项 B．展开式中没有常数项 C．展开式中没有的三次项 D．展开式中有的三次项 11．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知的展开式中常数项为32，则（    ） A． B．二项式系数和为64 C．含的项的系数为80 D．所有项的系数和为243 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏镇江·月考）的展开式中所有项的系数和为 ． 13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 14．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 16．（24-25高二下·江苏南京·期中）在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 17．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是． (1)求的值，并判断是否有常数项； (2)展开式中系数最大的项是第几项？ 18．（24-25高二下·江苏镇江·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7∶6． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值． 19．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $