7.2 第3课时 排列的综合应用（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦排列的综合应用核心知识点，承接排列基本概念，系统梳理元素“在”与“不在”、“相邻”与“不相邻”、定序三类问题，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过排队、数字排列等实例培养数学眼光，提炼捆绑法、插空法等通性通法发展数学思维，跟踪训练与课后练习助力数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

第3课时　排列的综合应用 题型一｜元素“在”与“不在”问题 【例1】　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. （1）甲不在首位的排法有多少种？ （2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ （3）甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ （4）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 通性通法 “在”与“不在”问题的解决方法 【跟踪训练】 　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. 题型二｜“相邻”与“不相邻”问题 【例2】　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数. （1）选其中5人排成一排； （2）全体站成一排，男、女各站在一起； （3）全体站成一排，男生不能站在一起. 通性通法 处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略 （1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列； （2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中. 【跟踪训练】 1.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（　　） A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 2.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是（　　） A.24 B.16 C.8 D.12 题型三｜定序问题 【例3】　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有　　　　种（用数字作答）. 通性通法 部分元素定序的排列问题的两种解法 （1）把不要求定序的元素首先排列，剩余的位置就是定序的元素，这些定序的元素只有一种排法，所以问题就转化为不要求定序的元素有多少种排法； （2）用“倍缩法”，有（m＋n）个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这（m＋n）个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法. 【跟踪训练】 1.6名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边且乙必须站在丙的左边（均可以不相邻）的不同站法有（　　） A.720种 B.144种 C.120种 D.24种 2.用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有　　　　个七位数符合条件. 1.六人站成两排，甲、乙站前排，其余人站后排，排法种数为（　　） A.24 B.48 C.120 D.240 2.由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（　　） A.144 B.192 C.216 D.240 3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　） A.144 B.120 C.72 D.24 4.某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ 提示：完成课后作业　第七章　7.2　第3课时 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　排列的综合应用 【典例研析】 【例1】　解：（1）法一　把元素作为研究对象. 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步计数原理，有4×种排法. 由分类计数原理知，共有＋4×＝2 160（种）排法. 法二　把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法. 由分步计数原理知，共有＝2 160（种）排法. 法三（间接法）　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种， 所以符合要求的排法有－＝2 160（种）. （2）把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步计数原理，共有＝1 800（种）排法. （3）把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步计数原理，共有＝1 200（种）排法. （4）间接法.总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有－2＋＝1 860（种）排法. 跟踪训练 　解：（1）第一步，排个位，有种排法； 第二步，排十万位，有种排法； 第三步，排其他位，有种排法. 故共有＝288个六位奇数. （2）十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类. 第一类，当个位排0时，有个； 第二类，当个位不排0时，有个. 故符合题意的六位数共有＋＝504个. （3）分三种情况， ①当千位上排1，3时，有个； ②当千位上排2时，有个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有个； 形如41××的有个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数. 故共有＋＋2＋＋2＝110个. 【例2】　解：（1）从7个元素中选出5个进行排列，有＝2 520种排法. （2）男生站在一起，有种排法， 女生站在一起，有种排法， 全体男生、女生各视为一个元素，有种排法， 由分步计数原理知，共有＝288种排法. （3）先安排女生共有种排法， 男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法，故共有＝1 440种排法. 跟踪训练 1.A　第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种摆法；第二步：丙、丁两本书必须相邻，将丙、丁两本书视为整体，与其他两本共三个元素全排列，有种摆法.∴不同的摆法种数为＝24. 2.A　根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有＝6种情况，则不同排课法的种数是2×2×6＝24. 【例3】　40　解析：法一（整体法）　5个元素无约束条件的全排列有种排法，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有×2＝40（种）. 法二（插空法）　若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法.所以不同的排列方法有＋＝20（种）.同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.因此，满足条件的排列方法有20＋20＝40（种）. 跟踪训练 1.C　不同的站法有＝120种. 2.210　解析：法一（直接转化法）　七个位置先安排2，4，6三个数的排法为，然后1，3，5，7的顺序按照要求只能是1种，由分步计数原理得符合条件的七位数的个数为×1＝210. 法二（重复插空法）　先将1，3，5，7按固定顺序排好，这四个数有5个空隙，将2插入，有5个空隙可以选择，然后再将4插入，有6个空隙可以选择，最后将7插入，有7个空隙可以选择，所以由分步计数原理得符合条件的七位数的个数为5×6×7＝210. 随堂检测 1.B　甲、乙两人站前排，站法为，剩余4人站在后排，站法为，根据分步计数原理，总的排法种数为＝48. 2.C　因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位上的数字只能是0或5，万位上的数字不能是0.当个位上的数字是0时，共有＝120（种）可能；当个位上的数字是5时，共有＝96（种）可能.因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是120＋96＝216.故选C. 3.D　先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有＝24种放法.故选D. 4.解：不考虑任何条件限制共有种排法，其中不符合条件的有： （1）数学排在最后一节，有种； （2）体育排在第一节，有种. 但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况，有种（即重复）， 故共有－2＋＝504（种）. 学科网（北京）股份有限公司 $