第7章 培优课 排列与组合的综合应用（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学讲义通过题型分类系统构建排列组合知识体系，将分组分配、综合问题、“至多至少”问题等核心内容按“题型-角度-例题-通性通法-跟踪训练”层级梳理，用结构化策略总结（如分组问题的均匀/非均匀分类、分配问题的排列组合结合）呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如不同元素分组用“先选后排”培养数学思维的推理能力，相同元素分配用隔板法渗透数学语言的模型意识，跟踪训练从基础题到综合题覆盖不同层次。配套解析详细，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

题型一｜分组、分配问题 角度1　不同元素分组、分配问题 【例1】　按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （3）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本. 解：（1）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有种方法，所以一共有××＝90（种）方法. （2）先在6本书中任取1本，作为一份，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一份，有种取法，最后余下3本书作为一份，有种取法，共有××＝60（种）方法. （3）分成三份共有××种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有×××＝360（种）. 通性通法 分组、分配问题的求解策略 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不需要考虑重复现象. （2）分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 【跟踪训练】 　将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 解：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）放法. （2）这是全排列问题，共有＝24（种）放法. （3）法一　先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球放入四个盒子中的三个盒子，有种方法，故共有×＝144（种）放法. 法二　先取4个球中的两个“捆”在一起，有种方法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种方法，所以共有×＝144（种）放法. （4）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有×＝12（种）放法. 角度2　相同元素分配问题 【例2】　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数. （1）每个盒子都不空； （2）恰有一个空盒子. 解：（1）先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有＝10（种）放法. （2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法.由分步计数原理得，共有＝40（种）放法. 通性通法 相同元素分配问题的处理策略 （1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题； （2）将n个相同的元素分给m个不同的对象（n≥m，每个对象都有元素），有种方法，可描述为（n－1）个空中插入（m－1）块隔板的方法. 【跟踪训练】 1.〔多选〕某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（　　） A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法 B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 解析：BD　若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126种，故C错误，D正确.故选B、D. 2.方程x1＋x2＋x3＋x4＝12的正整数解的数目为（　　） A.165 B.120 C.38 D.35 解析：A　如图，将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是x1，x2，x3，x4，显然满足x1＋x2＋x3＋x4＝12，故（x1，x2，x3，x4）是方程x1＋x2＋x3＋x4＝12的一组解，反之，方程x1＋x2＋x3＋x4＝12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程x1＋x2＋x3＋x4＝12的正整数解的数目为＝＝165. 题型二｜排列与组合的综合问题 角度1　特殊元素（位置）问题 【例3】　有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 解：从0与1两个特殊值着眼，可分三类： ①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有种方法；0可在后两位，有种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时不同的三位数有·22个. ②取1不取0，同上分析，不同的三位数有·22·个. ③0和1都不取，不同的三位数有·23·个. 综上所述，不同的三位数共有···22＋·22·＋·23·＝432（个）. 通性通法 　　解特殊元素（位置）的排列与组合问题要遵循的两个原则 （1）按元素（位置）的性质进行分类； （2）按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）. 【跟踪训练】 　由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数，可以组成480个. 解析：因为数字1与2不相邻，故可用插空法.先排数字3，4，5，6，有种不同排法，每种排法留出五个空位，再将1，2插入，有种排法，所以由分步计数原理可知共有＝480（种）不同排法. 角度2　选排问题 【例4】　有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数. （1）有女生但人数必须少于男生； （2）某女生一定担任语文课代表； （3）某男生必须包括在内，但不担任语文课代表. 解：（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有＋种，后排有种， 所以共有不同选法（＋）·＝5 400（种）. （2）除去一定担任语文课代表的女生后，先选后排，共有不同选法·＝840（种）. （3）先选后排，但先安排不担任语文课代表的该男生，所以共有不同选法··＝3 360（种）. 通性通法 解排列、组合中选排问题的一般思路 （1）“先选后排”，即先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列； （2）按元素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步顺序； （3）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件及其联系，从某一个限制条件出发，考虑合理分类、分步，一般优先考虑特殊的元素. 【跟踪训练】 已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（　　） A.12 B.14 C.16 D.18 解析：B　依据题意，分两种情况讨论，情况一：高低高低高依次对应1～5号位置，规定甲在2号位，则乙在1号位或4号位，而甲、丁不相邻，当乙在1号位时，为乙甲戊丙丁，共1种，当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种；情况二：低高低高低依次对应1～5号位置，假设戊在2号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种，故符合题意的情况有8＋6＝14种. 题型三｜“至多”与“至少”问题 【例5】　〔多选〕在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则抽出的3件产品中（　　） A.至多有1件不合格品的抽法种数为 B.都是合格品的抽法种数为 C.至少有1件不合格品的抽法种数为＋ D.至少有1件不合格品的抽法种数为－ 解析：CD　对于A，分两种情况：①抽出的3件产品都是合格品，抽法种数为；②抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为，所以抽法种数为＋，故A错误，B错误.对于C，分两种情况：①抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为；②抽出的3件产品中有2件不合格品，抽法种数为.所以抽法种数为＋.故C正确.对于D，用“正难则反”，知抽法种数为－，故D正确. 通性通法 　　“至多”“至少”型问题，常用“直接分类法”与“间接法”解答，通常考虑三种途径 （1）元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其他元素； （2）位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其他位置； （3）“正难则反”：涉及“至多”“至少”等组合问题，当从正面分析问题分的类较多、较复杂或计算量较大时，不适合用直接分类法求解，不妨从反面入手，特别是可先算出不带限制条件的组合数，再减去不满足限制条件的组合数. 【跟踪训练】 某市工商局对35种商品进行检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种. （1）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （2）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ （3）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：（1）由题意可知不同的取法共有·＝2 100（种）. （2）至少有2种假货在内，可能有2种假货，可能有3种假货，故有·＋＝2 555（种）. （3）至多有2种假货在内，可能没有假货，可能有1种假货，可能有2种假货，故共有＋＋＝6 090（种）. 1.＝（　　） A.120 B.160 C.180 D.240 解析：A　＝＝120. 2.从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则不同的选派方案共有（　　） A.60种 B.80种 C.100种 D.120种 解析：D　从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则不同的选派方案共有＝6×5×4＝120（种）.故选D. 3.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（　　） A.60种 B.48种 C.30种 D.10种 解析：C　根据题意，分3步进行：①从5名志愿者中选派4人参加活动，有＝5种选法；②将4人分为2组，有＝3种分法；③将2组进行全排列，对应星期六和星期日，有＝2种情况，则共有5×3×2＝30种不同的选派方法，故选C. 4.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（　　） A.240种 B.192种 C.96种 D.48种 解析：B　分三步：先排甲，有1种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边，各有4种方法；再排其余4人，有种方法，故共有2×4×＝192（种）不同的站法.故选B. 5.〔多选〕某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展某种疾病的防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（　　） A.若C企业最多派1名医生，则所有不同的分派方案共48种 B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同的分派方案共36种 C.若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同的分派方案共12种 D.所有不同的分派方案共43种 解析：ABC　对于选项A，若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16（种），若C企业派1名医生，则有·23＝32（种），所以共有16＋32＝48（种）；对于选项B，若每家企业至少分派1名医生，则有＝36（种）；对于选项C，若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若A企业分2人，则有＝6（种），若A企业分1人，则有＝6（种），所以共有6＋6＝12（种）；对于选项D，所有不同的分派方案共有34种. 6.〔多选〕某班某学习小组有6人，在体育课上，体育老师对这6人分组安排训练任务，其中分配种数计算正确的是（　　） A.分成三组，第一组1人训练跳高，第二组2人训练跳远，第三组3人训练掷实心球，共60种分法 B.分成三组，人数分别是1，1，4，一组训练跳高，一组训练跳远，一组训练掷实心球，共90种分法 C.分成三组，每组2人，分别参加乒乓球、羽毛球、网球的训练赛，共540种分法 D.分成两组，每组3人，两组间进行三人篮球训练赛，共20种分法 解析：ABD　A选项，分3步完成，先选1人训练跳高有种，再选2人训练跳远有种，剩余3人训练掷实心球有种，根据分步计数原理可知，共有··＝6×10×1＝60种分法，故A正确；B选项，先分好三组，有＝15种分法，再安排3组去参加不同的训练，有种安排方法，所以由分步计数原理知共有15＝90种分法，故B正确；C选项，先选2人参加乒乓球训练赛有种，再选2人参加羽毛球训练赛有种，再选2人参加网球训练赛有种，由分步计数原理知共有··＝90种分法，故C错误；D选项，先分成2组，每组3人有＝10种，再分成2队有种分法，由分步计数原理知共有10＝20种分法，故D正确. 7.不等式－n＜5的解集为{2，3，4}. 解析：由－n＜5，得－n＜5，所以n2－3n－10＜0.解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，4，故原不等式的解集为{2，3，4}. 8.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表.要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为288（用数字作答）. 解析：先在前3节课中选一节安排数学，有种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有种安排方法；其余4节课无约束条件，有种安排方法.根据分步计数原理，不同的排法种数为××＝288. 9.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为42. 解析：利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为－－＝42. 10.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤、2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还要准备不同的素菜7种. 解析：设餐厅至少还要准备不同的素菜x种，则·≥200，即x（x－1）≥40.∵x取正整数，∴x最小取7.∴x≥7.故餐厅至少还要准备不同的素菜7种. 11.如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有401种. 解析：如图，当路线经过点C时，从A到C有1种，从C到B有种；当路线经过点D时，从A到D有种，从D到B有＋种；当路线经过点E时，从A到E有种，从E到B有种；当路线经过点F时，从A到F有种，从F到B有种；当路线经过点G时，从A到G有种，从G到B有1种，所以不同的走法共有1×＋（＋）＋＋＋1×＝28＋180＋150＋36＋7＝401（种）. 12.平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线. （1）这9个点，可确定多少条不同的直线？ （2）以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？ 解：共线的4点记为A，B，C，D. （1）第一类：A，B，C，D确定1条直线； 第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定条直线； 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线. 根据分类计数原理，共有不同直线1＋＋＝1＋10＋20＝31（条）. （2）第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形. 共有＋＋＝80（个）三角形. 13.为弘扬我国古代的六艺文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设礼乐射御书数六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中射不排在第一周，数不排在最后一周的所有可能排法种数； （2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教数的课程安排方案种数. 解：（1）分两种情况讨论： 当射排在最后一周时，则有＝120种排法； 当当射不排在最后一周，则射有4种排法，数也有4种排法，剩下的4门课程全排列，有4×4×＝384种排法， 所以共有120＋384＝504种不同排法. （2）分两种情况讨论： 当甲教两科时，则有＝240种安排方法； 当甲教一科时，则有＝1 200种安排方法. 所以共有240＋1 200＝1 440种不同安排方案. 14.在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； （2）已知每检测一件产品需要检测费用100元，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？ 解：（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法； 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有＝24种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有＝48种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有＝48种抽法； 综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. （2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况： ①4次抽到的均为正品，共有＝24种抽法； ②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有··＝72种抽法. 所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $