7.3 第1课时 组合与组合数公式（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“组合与组合数公式”核心知识点，通过团代会选代表实例引入，对比排列问题引出组合定义，推导组合数乘积式与阶乘式公式，进而解决简单组合问题，构建从具体情境到抽象概念再到应用的学习支架。 该资料以情境化问题驱动数学抽象，通过判断正误、跟踪训练及“概念辨析-公式运算-问题解决”题型分类，结合通性通法总结，培养逻辑推理与数学运算素养。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升组合知识应用能力。

7.3　组合 课标要求 1.通过实例，了解组合及组合数的概念（数学抽象）. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值（逻辑推理、数学运算）. 3.会用组合知识解决一些简单的组合问题（数学运算、数学建模）. 第1课时　组合与组合数公式 　　在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上台发言. 【问题】　（1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？ （2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？ （3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　组合的定义 　一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素　　　　　　，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 　　提醒：排列与组合的区别是排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关. 知识点二　组合数与组合数公式 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的　　　　　　的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号表示 组合 数公 式 乘积式 ＝　　　　＝　　　　　　　　 阶乘式 ＝　　　　　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，2，3与3，2，1是同一个组合.（　　） （2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（　　） （3）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军是组合问题.（　　） 2.计算＝　　　　，＝　　　　. 3.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为　　　　. 题型一｜组合的有关概念 【例1】　（链接教科书第75页练习1题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ （2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ （3）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ （4）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ （5）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 通性通法 判断一个问题是否是组合问题的流程 【跟踪训练】 　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合. 题型二｜组合数及组合数公式 角度1　利用组合数化简、求值 【例2】　（链接教科书第74页例2）计算： （1）－·； （2）＋. 角度2　利用组合数证明 【例3】　证明：＝. 通性通法 关于组合数公式的选取技巧 　　公式＝常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；公式＝常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒等式. 【跟踪训练】 1.求值：3－2＝　　　　. 2.解方程：11＝24. 题型三｜简单的组合问题 【例4】　在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； （2）甲、乙、丙三人必须参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 通性通法 解简单的组合问题的策略 （1）解简单的组合问题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； （2）要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 提醒　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 【跟踪训练】 某校组织文艺汇演，有8个不同的节目，其中3个舞蹈节目，5个歌唱节目.要从中选取4个节目参加年级汇演，且舞蹈节目至少有1个，有多少种不同的选法？ 1.下列问题中属于组合问题的是（　　） A.从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译 B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D.10个人相互写一封信，共写了几封信 2.＋＝（　　） A.9 B.18 C.28 D.36 3.6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数是（　　） A. B. C.62 D.26 4.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为　　　　（用数字作答）. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　第1课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3　组合 第1课时　组合与组合数公式 【基础落实】 知识点一 并成一组 知识点二 所有组合　　 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.28　35　解析：＝＝28，＝＝35. 3.15　解析：由题意得，不同选法的种数为＝15. 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. （3）选出的2个数作分子或分母，结果是不同的，是排列问题. （4）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （5）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 跟踪训练 　解：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示. 由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种. 【例2】　解：（1）原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0. （2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10， ∴＋＝＋＝466. 【例3】　证明：＝·＝＝. 跟踪训练 1.148　解析：3－2＝3×－2×＝148. 2.解：原方程可化为 11·＝24·， 即11x2－105x－50＝0， 解得x＝10或x＝－. 又x≥3且x∈N*，所以x＝10. 【例4】　解：（1）从中任取5人是组合问题，共有＝792（种）不同的选法. （2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有＝36（种）不同的选法. （3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有＝126（种）不同的选法. （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有＝3（种）选法；再从另外9人中选4人，有种选法.共有×＝378（种）不同的选法. 跟踪训练 　解：可分三类情况. 第一类，选1个舞蹈节目和3个歌唱节目，选法有×＝3×10＝30种； 第二类，选2个舞蹈节目和2个歌唱节目，选法有×＝3×10＝30种； 第三类，选3个舞蹈节目和1个歌唱节目，选法有×＝1×5＝5种. 由分类计数原理，共有30＋30＋5＝65种不同选法. 随堂检测 1.C　A、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题. 2.B　＋＝＋＝3＋15＝18. 3.B　每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就是一次握手，故一共握手的次数是. 4.210　解析：先给甲组选4人，有种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为＝210. 学科网（北京）股份有限公司 $