7.2 第1课时 排列（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦排列的概念及应用，从“数字游戏”实例（选2个或3个数字组成无重复数字的两位数、三位数）引入，抽象出排列定义（从n个不同元素取m个按顺序排成一列），通过基础练习巩固概念，再以题型示例（判断排列问题、树状图写排列、解决实际问题）构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 资料以情境导入激发数学抽象，用树状图法培养数学建模，通过实例（组成能被5整除的四位数、实习分配方案）强化数学运算。课中教师可引导探究，课后学生通过分层练习查漏补缺，提升解决实际问题能力。

7.2　排列 课标要求 1.通过实例，理解排列的概念；能利用计数原理推导排列数公式（数学抽象）. 2.能运用排列数公式解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 第1课时　排列 　　两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏. 【问题】　（1）从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？ （2）从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　排列的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照　　　　　　排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 　　提醒：排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排成一列”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，2，3与3，2，1为同一排列.（　　） （2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现.（　　） （3）从1，2，3，4中任选两个数字，就组成一个排列.（　　） 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（　　） A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B.甲乙丙、乙丙甲 C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D.甲乙、甲丙、乙丙 3.〔多选〕从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的有（　　） A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 题型一｜排列的有关概念 【例1】　判断下列问题是否为排列问题： （1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ （2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？ （3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 通性通法 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 【跟踪训练】 　下面问题中，是排列问题的是（　　） A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 题型二｜画树状图写排列 【例2】　（链接教科书第65页例1）（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两位数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，一共可以组成多少个排列？ 通性通法 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 （1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式； （2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 【跟踪训练】 　从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来. 题型三｜简单的排列问题 【例3】　用具体数字表示下列问题： （1）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； （2）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，求其分配方案的个数. 通性通法 解决简单的排列实际应用问题的策略 （1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序； （2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成. 【跟踪训练】 1.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的种数为（　　） A.15　　　B.30　　　C.12　　　D.36 2.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数. （1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数. 1.〔多选〕下列问题中，是排列问题的有（　　） A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组 B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动 C.从a，b，c，d这4个字母中取出2个 D.从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数 2.李老师要给4个同学轮流进行心理辅导，每个同学1次，则轮流次序共有（　　） A.6种 B.12种 C.24种 D.48种 3.将《语文》《数学》《英语》三本不同的教科书按上下方式放在一起，则《数学》放在最上面或最下面的不同放法共有（　　） A.2种 B.4种 C.6种 D.9种 4.写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法. 提示：完成课后作业　第七章　7.2　第1课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2　排列 第1课时　排列 【基础落实】 知识点 一定的顺序 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）× 2.C　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙. 3.BD　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字顺序无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的顺序有关，故是排列问题. 【典例研析】 【例1】　解：（1）第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. （2）第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. （3）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. 跟踪训练 　A　对选项A，由于三个数字位置不同所得到的三位数不同，即与顺序有关.A为排列问题，其他B、C、D表述事情均与所选取的元素顺序无关，它们不是排列问题，故选A. 【例2】　解：（1）由题意作出树状图如图： 故组成的所有没有重复数字的两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以组成12个. （2）由题意作出树状图如图： 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.一共可以组成24个排列. 跟踪训练 　解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有4×3×2＝24（种）不同的分法，不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1，2，3，4，画出树状图如图. 由树状图可知，按甲、乙、丙的顺序分的方法为： 语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英 数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英 英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数 物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数. 【例3】　解：（1）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故要确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可， 共有3×2×1＝6（个）. （2）此题可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2＝120（个）分配方案. 跟踪训练 1.B　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）. 2.解：（1）偶数分为两类： 若个位数是0，则共有4×3＝12（个）； 若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有2×3×3＝18（个）， 所以符合条件的三位偶数的个数为12＋18＝30. （2）“凹数”分三类： 若十位是0，则有4×3＝12（个）； 若十位是1，则有3×2＝6（个）； 若十位是2，则有2×1＝2（个）， 所以符合条件的“凹数”的个数为12＋6＋2＝20. 随堂检测 1.AD　A是排列问题，因为2名同学参加的学习小组与顺序有关；B不是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一个两位数. 2.C　从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最后剩下1个同学.按分步计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24（种）. 3.B　第一类《数学》放在最上面，有两种不同的放法，第二类《数学》放在最下面，也有两种不同的放法，则《数学》放在最上面或最下面的不同放法共有4种. 4.解：由题意作“树状图”，如图. 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 学科网（北京）股份有限公司 $