7.1 第1课时 两个基本计数原理及简单应用（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦“两个基本计数原理”核心知识点，通过广州到成都的出行实例引入，抽象出分类计数原理（完成一件事分n类方式，方法数相加）和分步计数原理（需n个步骤，方法数相乘），并对比两者区别（分类独立完成，分步需各步完成），构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以真实情境问题驱动教学，如背景1、2的出行问题培养数学抽象素养，题型示例（班级选学生、组成三位偶数）强化数学运算能力。课中助力教师引导学生理解原理，课后练习题与跟踪训练帮助学生巩固应用，查漏补缺，体现数学建模与问题解决的学科特色。

7.1　两个基本计数原理 课标要求 1.通过实例，了解分类计数原理、分步计数原理及其意义（数学抽象）. 2.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 第1课时　两个基本计数原理及简单应用 背景1：小李计划从广州前往成都旅游，有三种交通工具可供挑选：长途客车、火车、飞机.若每天长途客车有3班，火车有4班，飞机有2班.问总共有多少种不同的出行方式？ 背景2：小李打算从广州到成都旅游，若想途中到武汉参观武汉大学，已知从广州到武汉有4种出行方式，从武汉到成都有3种出行方式.问从广州经过武汉到成都总共有多少种不同的出行方式？ 【问题】　（1）背景1中从广州到成都按照不同的交通工具可分为几类出行方式？ （2）背景2中从广州经过武汉到成都有几个步骤？每步的每种方法能否单独达成从广州经过武汉到成都的目的？ （3）上述两个背景问题有何区别？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　分类计数原理 　如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　　　　　　　　种不同的方法. 知识点二　分步计数原理 　如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　　　　　　种不同的方法. 　　提醒：两个计数原理的区别与联系 分类计数原理 分步计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（　　） （2）在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（　　） （3）在分步计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（　　） （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题.（　　） 2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么从A地到B地的不同方法数为（　　） A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9 C.3×4×2＝24 D.以上都不对 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（　　） A.7 B.12 C.64 D.81 题型一｜分类计数原理 【例1】　（链接教科书第60页例1（1））某校高三共有三个班，各班人数如下表： 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三（1）班 30 20 50 高三（2）班 30 30 60 高三（3）班 35 20 55 （1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 通性通法 利用分类计数原理计数时的解题流程 【跟踪训练】 1.某中学需从2024年师范大学毕业的3名女大学生和5名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（　　） A.3 B.5 C.8 D.15 2.设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（　　） A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 题型二｜分步计数原理 【例2】　（链接教科书第61页例2（2））从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ （1）三位数； （2）三位偶数. 通性通法 利用分步计数原理计数时的解题流程 【跟踪训练】 1.某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有4种测试方案.某人参加该项测试，不同的测试方法种数为（　　） A.3＋4＝7 B.3×4＝12 C.34 D.43 2.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　　） A.6种 B.24种 C.64种 D.81种 题型三｜两个计数原理的简单应用 【例3】　现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营. （1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ （2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ （3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则共有多少种选法？ 通性通法 使用两个计数原理的原则 　　使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，用分步计数原理. 【跟踪训练】 （1）在图1的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图2的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？ 1.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有（　　） A.8种 B.6种 C.14种 D.48种 2.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则xy的不同的值的个数是（　　） A.2 B.3 C.6 D.9 3.某校教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层走到第四层的方法共有　　　　种（用数字作答）. 4.某科技公司计划组建项目团队，现有人选来自软件开发组、硬件设计组和测试组.软件开发组有6名高级工程师、8名中级工程师；硬件设计组有5名高级工程师、7名中级工程师；测试组有4名高级工程师、6名中级工程师. （1）若从所有人员中选1名作为项目负责人，有多少种不同的选法？ （2）若从软件开发组、硬件设计组、测试组中各选1名高级工程师组成核心项目小组，有多少种不同的选法？ （3）若要求从三个组中选2名不同组的中级工程师参与项目前期筹备，有多少种不同的选法？ 提示：完成课后作业　第七章　7.1　第1课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章　计数原理 7.1　两个基本计数原理 第1课时　两个基本计数原理及简单应用 【基础落实】 知识点一 m1＋m2＋…＋mn 知识点二 m1×m2×…×mn 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√ 2.B　根据分类计数原理可得，一天内从A地乘坐这三种交通工具到B地的不同走法种数为3＋4＋2＝9. 3.B　第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4×3＝12（种）不同的配法. 【典例研析】 【例1】　解：（1）从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案： 第一类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第二类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第三类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类计数原理，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法. （2）从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案： 第一类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第二类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第三类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类计数原理，从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法. 跟踪训练 1.C　选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从5名男大学生中选聘1人，有5种选法，根据分类计数原理，可知不同的选法种数为3＋5＝8，故选C. 2.A　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6（个）. 【例2】　解：（1）三位数有三个数位： 百位 十位 个位 ，故可分三个步骤完成： 第一步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法； 第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法. 根据分步计数原理，共有4×3×2＝24（个）满足要求的三位数. （2）分三个步骤完成： 第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法； 第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法. 根据分步计数原理，共有2×3×2＝12（个）满足要求的三位偶数. 跟踪训练 1.B　因过第一关有3种测试方法，过第二关有4种测试方法.由分步计数原理知，不同的测试方法共有3×4＝12种. 2.D　每名学生都有3种选择，则4名学生的报名方式共有34＝81（种）.故选D. 【例3】　解：（1）分三类：从高一学生中选1人作总负责人有50种选法；从高二学生中选1人作总负责人有42种选法；从高三学生中选1人作总负责人有30种选法.由分类计数原理，可知共有50＋42＋30＝122（种）选法. （2）分三步：从高一学生中选1名负责人有50种选法；从高二学生中选1名负责人有42种选法；从高三学生中选1名负责人有30种选法.由分步计数原理，可知共有50×42×30＝63 000（种）选法. （3）分三类：①从高一和高二学生中各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100（种）选法；②从高二和高三学生中各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260（种）选法；③从高一和高三学生中各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500（种）选法.故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（种）选法. 跟踪训练 　解：（1）在图1中，按要求接通电路，只要在A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可.根据分类计数原理，共有2＋3＝5（种）不同的方法. （2）在图2中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的1只开关.根据分步计数原理，共有2×3＝6（种）不同的方法. 随堂检测 1.C　由分类计数原理，得完成升旗这一任务分两类，安排方法共有8＋6＝14（种）. 2.D　x从2，3，7中选一个，有3种方法，y从－31，－24，4中选一个，有3种方法，故xy共有3×3＝9（个）不同的值. 3.8　解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有2×2×2＝23＝8种. 4.解：（1）分三类情况： 第一类：从软件开发组选，该组共有6＋8＝14人，所以有14种选法； 第二类：从硬件设计组选，该组共有5＋7＝12人，所以有12种选法； 第三类：从测试组选，该组共有4＋6＝10人，所以有10种选法. 根据分类计数原理，不同的选法共有14＋12＋10＝36种. （2）分三步来完成： 第一步：从软件开发组选1名高级工程师，有6种选法； 第二步：从硬件设计组选1名高级工程师，有5种选法； 第三步：从测试组选1名高级工程师，有4种选法. 根据分步计数原理，不同的选法共有6×5×4＝120种. （3）分三类情况： 第一类：从软件开发组和硬件设计组中各选1名中级工程师.从软件开发组的8名中级工程师选1名有8种选法，从硬件设计组的7名中级工程师选1名有7种选法，根据分步计数原理，这类选法有8×7＝56种. 第二类：从软件开发组和测试组中各选1名中级工程师.从软件开发组的8名中级工程师选1名有8种选法，从测试组的6名中级工程师选1名有6种选法，根据分步计数原理这类选法有8×6＝48种. 第三类：从硬件设计组和测试组中各选1名中级工程师.从硬件设计组的7名中级工程师选1名有7种选法，从测试组的6名中级工程师选1名有6种选法，根据分步计数原理这类选法有7×6＝42种. 再根据分类计数原理，从三个组中选2名不同组的中级工程师参与项目前期筹备，不同的选法共有56＋48＋42＝146种. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $