8.2.2 第1课时 离散型随机变量的均值（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第1课时　离散型随机变量的均值 1.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（　　） A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 2.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（　　） A. B. C.2 D. 3.一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（　　） A.39元 B.37元 C.20元 D.元 4.设离散型随机变量X的概率分布如下表，且E（X）＝1.6，则a－b＝（　　） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4 5.〔多选〕设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.1 q 0.3 0.4 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有（　　） A.q＝0.3 B.q＝0.2 C.E（X）＝3 D.E（Y）＝5 6.〔多选〕设p为非负实数，随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是（　　 ） A.p∈ B.E（X）最大值为 C.p∈ D.E（X）最大值为 7.已知E（Y）＝6，Y＝4X－2，则E（X）＝　　　　. 8.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的数学期望E（X）＝　　　　. 9.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是　　　　. 10.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为ξ. （1）求ξ的概率分布； （2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）. 11.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的均值是（　　） A.　　　B. C.1　　　D. 12.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金　　　　元. 13.袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励. （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率； （2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的概率分布和均值E（X）. 14.〔多选〕已知随机变量X的概率分布如下： X －1 0 1 P a b 记“函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，则（　　） A.P（A）＝ B.E（X）＝ C.E（X）＝－2a D.E（X2）＝ 15.某学校组织知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的概率分布； （2）为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.2　离散型随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 1.B　因为X的所有可能取值为1，0，且P（X＝1）＝0.8，P（X＝0）＝0.2，所以E（X）＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 2.D　依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以E（X）＝2×＋3×＝. 3.B　设这台机器生产一件产品获利ξ元，易知随机变量ξ的概率分布如下， ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 ∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），故选B. 4.C　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①.又由E（X）＝0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②，由①②解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 5.BD　由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝5.故选B、D. 6.AB　由表可得从而得p∈［0，］，期望值E（X）＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E（X）最大值＝. 7.2　解析：∵Y＝4X－2，∴E（Y）＝4E（X）－2，∴4E（X）－2＝6，即E（X）＝2. 8.　解析：概率分布为： X 0 1 2 P 所以期望E（X）＝0×＋1×＋2×＝＝. 9.1.24　解析：由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的数学期望E（X）＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24. 10.解：（1）ξ的可能取值为－2，1，2，6. P（ξ＝－2）＝＝0.02，P（ξ＝1）＝＝0.1， P（ξ＝2）＝＝0.25，P（ξ＝6）＝＝0.63. ξ的概率分布为： ξ －2 1 2 6 P 0.02 0.1 0.25 0.63 （2）ξ的数学期望为： E（ξ）＝（－2）×0.02＋1×0.1＋2×0.25＋6×0.63＝4.34， 即1件产品的平均利润是4.34万元. 11.D　∵＝××，∴t＝3（t＝－3舍去）.ξ的所有可能取值为0，1，2，其概率分布如下， ξ 0 1 2 P ∴E（ξ）＝＋2×＝. 12.100　解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况：①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，∴甲赢的概率为＋＋＝，∴E（X）＝800×＋0×＝700（元），则乙应得奖金800－700＝100（元）. 13.解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片”为事件A， 则P（A）＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率为. （2）依题意，随机变量X的所有可能取值为0，5，10， 则P（X＝0）＝＝， P（X＝5）＝＝， P（X＝10）＝＝， 所以X的概率分布为 X 0 5 10 P 所以E（X）＝10×＋5×＋0×＝. 14.ACD　因为函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数，所以π＝＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P（A）＝a＋b＝1－＝，E（X）＝（－1）×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，随机变量X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝，P（X2＝1）＝a＋b＝，所以E（X2）＝0×＋1×＝.故选A、C、D. 15.解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100， 则P（X＝0）＝1－0.8＝0.2， P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32， P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的概率分布为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的均值为E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4， 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4， P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12， P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48， 则Y的均值为E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6， 因为E（Y）＞E（X）， 所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答B类问题. 学科网（北京）股份有限公司 $