7.1 第1课时 两个基本计数原理及简单应用（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“两个基本计数原理”，通过“广州到成都出行方式”等背景问题引入，引导学生区分分类与分步，明确分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法）的定义及联系，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料以数学抽象和数学建模为核心，通过真实情境问题培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。题型分层设计，从基础判断到综合应用，课中辅助教师引导原理应用，课后帮助学生巩固练习，提升数学运算与问题解决能力。

7.1　两个基本计数原理 课标要求 1.通过实例，了解分类计数原理、分步计数原理及其意义（数学抽象）. 2.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 第1课时　两个基本计数原理及简单应用 背景1：小李计划从广州前往成都旅游，有三种交通工具可供挑选：长途客车、火车、飞机.若每天长途客车有3班，火车有4班，飞机有2班.问总共有多少种不同的出行方式？ 背景2：小李打算从广州到成都旅游，若想途中到武汉参观武汉大学，已知从广州到武汉有4种出行方式，从武汉到成都有3种出行方式.问从广州经过武汉到成都总共有多少种不同的出行方式？ 【问题】　（1）背景1中从广州到成都按照不同的交通工具可分为几类出行方式？ （2）背景2中从广州经过武汉到成都有几个步骤？每步的每种方法能否单独达成从广州经过武汉到成都的目的？ （3）上述两个背景问题有何区别？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　分类计数原理 　如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m1＋m2＋…＋mn　种不同的方法. 知识点二　分步计数原理 　如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m1×m2×…×mn　种不同的方法. 　　提醒：　两个计数原理的区别与联系 分类计数原理 分步计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（　×　） （2）在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（　√　） （3）在分步计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（　√　） （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题.（　√　） 2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么从A地到B地的不同方法数为（　　） A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9 C.3×4×2＝24 D.以上都不对 解析：B　根据分类计数原理可得，一天内从A地乘坐这三种交通工具到B地的不同走法种数为3＋4＋2＝9. 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（　　） A.7 B.12 C.64 D.81 解析：B　第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4×3＝12（种）不同的配法. 题型一｜分类计数原理 【例1】　（链接教科书第60页例1（1））某校高三共有三个班，各班人数如下表： 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三（1）班 30 20 50 高三（2）班 30 30 60 高三（3）班 35 20 55 （1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解：（1）从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案： 第一类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第二类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第三类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类计数原理，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法. （2）从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案： 第一类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第二类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第三类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类计数原理，从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法. 通性通法 利用分类计数原理计数时的解题流程 【跟踪训练】 1.某中学需从2024年师范大学毕业的3名女大学生和5名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（　　） A.3 B.5 C.8 D.15 解析：C　选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从5名男大学生中选聘1人，有5种选法，根据分类计数原理，可知不同的选法种数为3＋5＝8，故选C. 2.设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（　　） A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 解析：A　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6（个）. 题型二｜分步计数原理 【例2】　（链接教科书第61页例2（2））从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ （1）三位数； （2）三位偶数. 解：（1）三位数有三个数位： 百位 十位 个位 ，故可分三个步骤完成： 第一步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法； 第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法. 根据分步计数原理，共有4×3×2＝24（个）满足要求的三位数. （2）分三个步骤完成： 第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法； 第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法. 根据分步计数原理，共有2×3×2＝12（个）满足要求的三位偶数. 通性通法 利用分步计数原理计数时的解题流程 【跟踪训练】 1.某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有4种测试方案.某人参加该项测试，不同的测试方法种数为（　　） A.3＋4＝7 B.3×4＝12 C.34 D.43 解析：B　因过第一关有3种测试方法，过第二关有4种测试方法.由分步计数原理知，不同的测试方法共有3×4＝12种. 2.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　　） A.6种 B.24种 C.64种 D.81种 解析：D　每名学生都有3种选择，则4名学生的报名方式共有34＝81（种）.故选D. 题型三｜两个计数原理的简单应用 【例3】　现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营. （1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ （2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ （3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则共有多少种选法？ 解：（1）分三类：从高一学生中选1人作总负责人有50种选法；从高二学生中选1人作总负责人有42种选法；从高三学生中选1人作总负责人有30种选法.由分类计数原理，可知共有50＋42＋30＝122（种）选法. （2）分三步：从高一学生中选1名负责人有50种选法；从高二学生中选1名负责人有42种选法；从高三学生中选1名负责人有30种选法.由分步计数原理，可知共有50×42×30＝63 000（种）选法. （3）分三类：①从高一和高二学生中各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100（种）选法；②从高二和高三学生中各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260（种）选法；③从高一和高三学生中各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500（种）选法.故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（种）选法. 通性通法 使用两个计数原理的原则 　　使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，用分步计数原理. 【跟踪训练】 （1）在图1的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图2的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？ 解：（1）在图1中，按要求接通电路，只要在A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可.根据分类计数原理，共有2＋3＝5（种）不同的方法. （2）在图2中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的1只开关.根据分步计数原理，共有2×3＝6（种）不同的方法. 1.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有（　　） A.8种 B.6种 C.14种 D.48种 解析：C　由分类计数原理，得完成升旗这一任务分两类，安排方法共有8＋6＝14（种）. 2.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则xy的不同的值的个数是（　　） A.2 B.3 C.6 D.9 解析：D　x从2，3，7中选一个，有3种方法，y从－31，－24，4中选一个，有3种方法，故xy共有3×3＝9（个）不同的值. 3.某校教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层走到第四层的方法共有8种（用数字作答）. 解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有2×2×2＝23＝8种. 4.某科技公司计划组建项目团队，现有人选来自软件开发组、硬件设计组和测试组.软件开发组有6名高级工程师、8名中级工程师；硬件设计组有5名高级工程师、7名中级工程师；测试组有4名高级工程师、6名中级工程师. （1）若从所有人员中选1名作为项目负责人，有多少种不同的选法？ （2）若从软件开发组、硬件设计组、测试组中各选1名高级工程师组成核心项目小组，有多少种不同的选法？ （3）若要求从三个组中选2名不同组的中级工程师参与项目前期筹备，有多少种不同的选法？ 解：（1）分三类情况： 第一类：从软件开发组选，该组共有6＋8＝14人，所以有14种选法； 第二类：从硬件设计组选，该组共有5＋7＝12人，所以有12种选法； 第三类：从测试组选，该组共有4＋6＝10人，所以有10种选法. 根据分类计数原理，不同的选法共有14＋12＋10＝36种. （2）分三步来完成： 第一步：从软件开发组选1名高级工程师，有6种选法； 第二步：从硬件设计组选1名高级工程师，有5种选法； 第三步：从测试组选1名高级工程师，有4种选法. 根据分步计数原理，不同的选法共有6×5×4＝120种. （3）分三类情况： 第一类：从软件开发组和硬件设计组中各选1名中级工程师.从软件开发组的8名中级工程师选1名有8种选法，从硬件设计组的7名中级工程师选1名有7种选法，根据分步计数原理，这类选法有8×7＝56种. 第二类：从软件开发组和测试组中各选1名中级工程师.从软件开发组的8名中级工程师选1名有8种选法，从测试组的6名中级工程师选1名有6种选法，根据分步计数原理这类选法有8×6＝48种. 第三类：从硬件设计组和测试组中各选1名中级工程师.从硬件设计组的7名中级工程师选1名有7种选法，从测试组的6名中级工程师选1名有6种选法，根据分步计数原理这类选法有7×6＝42种. 再根据分类计数原理，从三个组中选2名不同组的中级工程师参与项目前期筹备，不同的选法共有56＋48＋42＝146种. 1.如果某礼堂共有4个门，规定从一个门进，另一个门出，那么不同的走法共有（　　） A.81种　 　B.64种　 　C.16种　 　D.12种 解析：D　分两步：第一步，进门有4种方法；第二步，出门有3种方法.共有4×3＝12（种）不同的走法. 2.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　） A.26 B.20 C.24 D.19 解析：D　因为信息可以从不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种办法：12→5→3；12→6→4；12→6→7；12→8→6.故单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19. 3.阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（　　） A.50 B.60 C.125 D.243 解析：D　由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是35＝243.故选D. 4.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（　　） A.18 B.17 C.16 D.10 解析：B　分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9（个）在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8（个）在第一、二象限内的点.由分类计数原理，共有9＋8＝17（个）点在第一、二象限内. 5.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.从3名射击运动员、2名游泳运动员和5名跳水运动员中选1名作为运动员代表发言，有10种不同的选法 B.将3名同学分配到3个班级，每班1人，有9种不同的方案 C.将3名同学分配到3个班级，有27种不同的方案 D.某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，则有35种不同的方案 解析：ACD　从3名射击运动员、2名游泳运动员和5名跳水运动员中选1名作为运动员代表发言，根据分类计数原理，有3＋2＋5＝10（种）选法，故选项A正确；将3名同学分配到3个班级，每班1人，有3×2×1＝6（种）不同的方案，故选项B错误；将3名同学分配到3个班级，有33＝27（种）不同的方案，故选项C正确；某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，每封电子邮件都有3种不同的发法，根据分步计数原理，则有35种不同的方案，故选项D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的是（　　） A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法 解析：ABC　对于A，分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法，A正确；对于B，分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法，B正确；对于C，分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画.由分步计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的选法；第3类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法，C正确；对于D，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法.根据分步计数原理，不同挂法的种数是N＝5×4＝20，D错误，故选A、B、C. 7.从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是6. 解析：要完成的一件事情是“从A村经B村去C村”，不同路线的条数是3×2＝6. 8.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成60组. 解析：分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30（组）不同的结果.第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60（组）. 9.已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，则能使logab＞1的对数值有9个. 解析：分四类，当a＝2时，有b取3，5，7，9四种情况；当a＝4时，有b取5，7，9三种情况；当a＝6时，有b取7，9两种情况；当a＝8时，有b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10（种），又log23＝log49，所以能使logab＞1的对数值有9个. 10.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. （1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ （2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 解：（1）分三类： 第一类，选出的是医生，有3种选法； 第二类，选出的是护士，有5种选法； 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法. 根据分类计数原理，共有3＋5＋2＝10（种）选法. （2）分三步： 第一步，选1名医生，有3种选法； 第二步，选1名护士，有5种选法； 第三步，选1名麻醉师，有2种选法. 根据分步计数原理知，共有3×5×2＝30（种）选法. 11.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对（a，b）的个数为（　　） A.14 B.13 C.12 D.10 解析：B　由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.∴所求（a，b）的个数为4＋4＋3＋2＝13. 12.〔多选〕设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为（　　） A.20 B.27 C.32 D.30 解析：ABC　东面上山的种数为：2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的种数为：3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为：3×（2＋3＋4）＝27，北面上山的种数为：4×（2＋3＋3）＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32. 13.某人持100元人民币到银行兑换成10元、20元、50元的零钱，共有10种不同的兑换方式.（有足够数量的零钱，且相同面值之间没有区别） 解析：①有两张50元的情况有1种；②有一张50元的情况有3种；③没有50元的情况有6种.按分类计数原理，共有1＋3＋6＝10（种）兑换方式. 14.某学校共有20人自愿组成数学建模社团，其中高一年级5人，高二年级8人，高三年级7人. （1）每个年级各选一名组长，有多少种不同的选法？ （2）选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？ 解：（1）根据题意，共分为3步. 第1步：从高一学生中选出1人，有5种选法；第2步：从高二学生中选出1人，有8种选法；第3步：从高三学生中选出1人，有7种选法. 由分步计数原理可得共有5×8×7＝280（种）选法. （2）根据题意，可分为3类. 第1类：选出的是高一、高二学生，有5×8＝40（种）选法； 第2类：选出的是高一、高三学生，有5×7＝35（种）选法； 第3类：选出的是高二、高三学生，有8×7＝56（种）选法. 由分类计数原理可得，共有40＋35＋56＝131（种）选法. 15.用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}. （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若an＝341，求n. 解：（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133. （2）这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64（项）. （3）比an＝341小的数有两类： ① 1 × × 2 × × ② 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）. 所以n＝44＋1＝45. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $